多孔介質(zhì)中的Darcy方程組解的連續(xù)依賴性

石金誠 ,肖勝中

(1.廣州華商學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 511300;2.廣東農(nóng)工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院 科研處，廣東廣州 510507)

§1 引言

Straughan和Hutter在文獻(xiàn)[1]中提出了描述多孔介質(zhì)中的具有Soret效應(yīng)的不可壓縮的對(duì)流擴(kuò)散方程,這類方程具有雙擴(kuò)散效應(yīng),而且在推導(dǎo)過程中采用Darcy逼近,通常稱這類方程為Darcy方程,有關(guān)Darcy方程的詳細(xì)介紹可見文獻(xiàn)[2-3].本文所討論的連續(xù)依賴性屬于偏微分方程結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性研究的一個(gè)方面.相比傳統(tǒng)的穩(wěn)定性,結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性主要強(qiáng)調(diào)模型本身的變化對(duì)模型解的影響,而不是初始數(shù)據(jù)的變化對(duì)解的影響.有關(guān)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的本質(zhì)可見文獻(xiàn)[4].

近年來,多孔介質(zhì)中流體方程組解的性態(tài)研究是數(shù)學(xué)與力學(xué)領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題,目前已有的研究主要集中在Brinkman,Darcy和Forchheimer方程組上.在Nield和Beijan[2]以及Straughan[3]的著作中討論了多孔介質(zhì)中的這些模型.文獻(xiàn)[5]討論了Darcy方程組的Saint-Venant原則.關(guān)于Brinkman,Darcy,Forchheimer和其他多孔介質(zhì)方程的最新研究主要集中在結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性上,Franchi和Straughan[6],Lin和Payne[7],Chen和Liu[8]等人已有一些研究進(jìn)展,文獻(xiàn)[9-17]也得到了一些新的結(jié)果.本文考慮Darcy方程組

其中ui,p,T,C分別表示為速度,壓強(qiáng),溫度和鹽濃度.gi(x)和hi(x)為重力函數(shù),且|g|,|h|,|?g|,|?h|≤1.Δ為拉普拉斯算子.σ是Soret系數(shù)且是大于零的常數(shù).

方程組(1)在Ω×[0,τ]區(qū)域內(nèi)成立,其中Ω是R3中的一個(gè)有界單連通的星形區(qū)域,τ是給定的常數(shù)且0≤τ ≤∞.其邊界條件為

此外，初始條件為

本文研究了方程組(1)的解對(duì)Soret系數(shù)σ的連續(xù)依賴性.以往的文獻(xiàn)在處理此類問題時(shí),往往需要借助溫度與鹽濃度的最大值,去處理交叉項(xiàng)的估計(jì).而在本文中,由于鹽濃度所滿足的方程含有Soret項(xiàng),導(dǎo)致無法得到鹽濃度的最大值.利用鹽濃度的四階范數(shù)估計(jì),得到了交叉項(xiàng)的估計(jì),從而很好的解決了這個(gè)難題.為了得到鹽濃度的四階范數(shù)估計(jì),所構(gòu)造的輔助函數(shù)是本文的最大創(chuàng)新之處.同時(shí)巧妙的運(yùn)用H¨older不等式與Sobolev不等式也是本文的另一特色.

本文采取以下符號(hào)約定,用逗號(hào)表示求偏導(dǎo),用,i表示對(duì)xi求偏導(dǎo),如:u,i表示為,重復(fù)指標(biāo)表示求和,.

§2 先驗(yàn)估計(jì)

本節(jié)得到一些溫度T和鹽濃度C的先驗(yàn)估計(jì).

引理2.1對(duì)于可微的函數(shù)Ψ=Ψ(x,t),有如下估計(jì)

其中ε0是任意大于零的常數(shù).

證對(duì)于可微的函數(shù)Ψ=Ψ(x,t),(x,t)∈Ω ×[0,τ],由散度定理,可知

由于Ω是有界單連通的星形區(qū)域,設(shè),，則

對(duì)式(6)利用Schwarz不等式,可得

其中ε0是任意大于零的常數(shù).

引理2.2對(duì)于溫度T和鹽濃度C,有如下估計(jì)

其中k1是大于零的常數(shù),m1(t)是單調(diào)遞增且大于零的函數(shù).

證在方程(1)3兩邊同時(shí)乘以4T3,并在Ω上積分,可得

式(8)左邊第二項(xiàng),由散度定理和式(2),可得

式(8)右邊第一項(xiàng),由散度定理,式(2),H¨older不等式和Young不等式,可得

聯(lián)合式(8)-(10),可得

式(4)中,取Ψ=T,ε0=3,可得

聯(lián)合式(11)和(12),可得

在方程(1)4兩邊同時(shí)乘以4C3,并在Ω上積分,可得

式(14)右邊第一項(xiàng),由散度定理,式(2),H¨older不等式和Young不等式,可得

式(14)右邊第二項(xiàng),由散度定理,式(2),H¨older不等式和Young不等式,可得

其中ε1是任意大于零的常數(shù).

式(4)中,取Ψ=C2,可得

聯(lián)合式(14)-(17),可得

由方程(1)3和(1)4,可知

式(19)右邊第一項(xiàng),由散度定理,式(2),H¨older不等式和Young不等式,可得

其中ε2是任意大于零的常數(shù).

式(19)右邊第二項(xiàng),由散度定理和式(2),可得

式(19)右邊第三項(xiàng),由散度定理,式(2),H¨older不等式和Young不等式,可得

式(19)右邊第四項(xiàng),由散度定理,式(2),H¨older不等式和Young不等式,可得

其中ε3,ε4是任意大于零的常數(shù).

聯(lián)合式(19)-(23),并由式(4),可得

其中ε5,ε6是任意大于零的常數(shù).

聯(lián)合式(13),(18)和(24),可得

其中k1,k2是任意大于零的常數(shù).式(25)中取

其中k7,k8均為可計(jì)算大于零的常數(shù).

對(duì)式(26)兩邊同時(shí)從0到t積分,并由Gronwall不等式,可得

其中

引理2.3對(duì)于溫度T,有如下估計(jì)

其中m2(t)是大于零的函數(shù).

證在方程(1)3兩邊同時(shí)乘以2T,并在Ω上積分,可得

式(29),由散度定理,式(2),H¨older不等式和算術(shù)幾何平均不等式,可得

式(4)中,取Ψ=T,ε0=1,可得

聯(lián)合式(30)和(31),可得

對(duì)式(32)兩邊同時(shí)從0到t積分,可得

由式(33)和Gronwall不等式,可得

將式(34)代入(33),可得

其中

§3 解對(duì)Soret系數(shù)的連續(xù)依賴性

假設(shè)(ui,T,C,p)是如下Darcy方程組的解

邊界條件為

初始條件為

此外假設(shè)(是如下Darcy方程組的解

邊界條件為

初始條件為

定義解的差

則(ωi,θ,S,π)滿足如下初邊值問題

邊界條件為

初始條件為

定理3.1設(shè)(ui,T,C,p)為初邊值問題式(36)-(38)的經(jīng)典解,(為初邊值問題式(39)-(41)的經(jīng)典解,(ωi,θ,S,π)是這兩個(gè)解的差.當(dāng)Soret系數(shù)差σ趨于0時(shí),解(ui,T,C,p) 收斂于解(.而且解的差(ωi,θ,S,π)滿足

其中k9,k10是大于零的常數(shù),m3(t)是大于零的函數(shù).

證在方程(42)1兩邊同時(shí)對(duì)xj求偏導(dǎo),然后乘以(ωi,j ?ωj,i),并在Ω上積分,由式(43),H¨older不等式和算術(shù)幾何平均不等式,可得

由式(43),散度定理,可得

聯(lián)合式(46)和(47),可得

在方程(42)3兩邊同時(shí)乘以2θ,并在Ω上積分,可得

對(duì)于式(49)左邊第二項(xiàng),由散度定理和式(43),可得

對(duì)于式(49)右邊第一項(xiàng),由散度定理和式(43),可得

聯(lián)合式(49)-(51),并由散度定理和H¨older不等式,可得

運(yùn)用[18]的結(jié)論,由于ωi=0,(x,t)∈?Ω ×[0,τ],可知

其中c2是大于零的常數(shù).聯(lián)合式(7),(52)和(53),可得

在方程(42)4兩邊同時(shí)乘以2S,并在Ω上積分,可得

對(duì)于式(55)右邊三項(xiàng),由散度定理,式(37)和式(43),可得

對(duì)于式(55)左邊第二項(xiàng),由散度定理和式(43),可得

聯(lián)合式(55)-(57),可得

在式(58)中運(yùn)用H¨older不等式和Young不等式,可得

聯(lián)合式(7),(53)和(59),可得

聯(lián)合式(48),(54)和(60),可得

其中k9,k10是任意大于零的常數(shù).

由式(61)，可得

式(62)兩邊同時(shí)從0到t積分,由式(28),可得

式(63),由Gronwall不等式,可得

不等式(64)表明,當(dāng)Soret系數(shù)差σ趨于0時(shí),解(ui,T,C,p)收斂于解(.

§4 結(jié)論

本文研究了方程組的解對(duì)Soret系數(shù)σ的連續(xù)依賴性結(jié)果.采用文中的方法,同樣可以得到解對(duì)其他系數(shù)的連續(xù)依賴性結(jié)果.后續(xù)將考慮在有界區(qū)域內(nèi)解對(duì)邊界系數(shù)的連續(xù)依賴性與收斂性結(jié)果.由于本文中的速度所滿足的方程是線性方程,能夠得到梯度的估計(jì),接著將討論速度所滿足的方程是非線性方程的情況,此時(shí)如何得到梯度的估計(jì)將會(huì)是很困難的事情,如何克服這些困難,將會(huì)在后續(xù)論文中進(jìn)行研究.