鞏金秋

摘 要：“直線的傾斜角與斜率”是高中解析幾何的第一節(jié)課，學(xué)生通過(guò)該節(jié)課展現(xiàn)的解析幾何研究的基本方法和思路，可以了解解析幾何的研究?jī)?nèi)容。教學(xué)設(shè)計(jì)從學(xué)生已有的知識(shí)出發(fā)，注重知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，借助已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的平面向量和三角函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，讓學(xué)生理解直線的傾斜角與斜率概念提出的合理性和必要性，在新舊知識(shí)的聯(lián)系與遷移中感受概念的生成。

關(guān)鍵詞：解析幾何;概念教學(xué);傾斜角與斜率;教學(xué)設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：2095-624X（2021）33-0056-03

一、課前分析

（一）教材分析

本節(jié)課是《普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》（人教A版）第二章第1節(jié)第1課時(shí)“直線的傾斜角與斜率”的內(nèi)容。本節(jié)課的學(xué)習(xí)是高中解析幾何內(nèi)容的開始，傾斜角與斜率是解析幾何中的重要概念，也是在平面直角坐標(biāo)系中研究直線方程、兩直線的位置關(guān)系和其幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)。直線是比較全面地運(yùn)用解析幾何基本思想方法研究的第一個(gè)基本圖形[1]。通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生可以初步體會(huì)把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題的過(guò)程，滲透解析幾何的基本思想和方法，提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)[2]。所以，本節(jié)課起著承上啟下的作用。

（二）學(xué)情分析

學(xué)生在高一已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面向量和三角函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，同時(shí)初中對(duì)直線的性質(zhì)有了一定了解，這些為本節(jié)課的教學(xué)打下了基礎(chǔ)。針對(duì)三角函數(shù)值的計(jì)算，學(xué)生習(xí)慣將其放入直角三角形中求解。教師在教學(xué)中可以根據(jù)角的范圍分類討論，也可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系三角函數(shù)的定義，通過(guò)平移向量，利用點(diǎn)的坐標(biāo)求出三角函數(shù)值。后一種處理方式更能幫助學(xué)生進(jìn)一步明確三角函數(shù)的定義，體現(xiàn)新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，使學(xué)生在學(xué)習(xí)新知的過(guò)程中回憶、鞏固舊知，完善數(shù)學(xué)認(rèn)知體系，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)的概括與遷移[3]。

（三）教學(xué)目標(biāo)

目標(biāo)一：掌握直線的傾斜角與直線斜率的概念;理解直線傾斜角的唯一性和斜率的存在性。

目標(biāo)二：了解傾斜角和斜率概念的形成過(guò)程，感受分類討論的數(shù)學(xué)方法、從特殊到一般的探究思路，理解其分別從形和數(shù)兩個(gè)角度刻畫直線的傾斜程度，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。

目標(biāo)三：掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率公式，會(huì)用斜率表示直線的方向向量，初步感知解析幾何的研究方法。

（四）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：直線的傾斜角與斜率的概念、過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率計(jì)算公式;難點(diǎn)：用向量方法導(dǎo)出斜率定義的過(guò)程。

二、教學(xué)過(guò)程

（一）追根溯源，感受數(shù)學(xué)

在以往的幾何學(xué)習(xí)中，我們通過(guò)直觀感知、度量計(jì)算等方法研究幾何圖形的形狀、大小、位置關(guān)系，這種方法稱為綜合法。隨著17世紀(jì)以來(lái)近代科學(xué)的發(fā)展，研究復(fù)雜曲線的需求越來(lái)越強(qiáng)烈。伴隨代數(shù)研究的不斷深入，方程工具運(yùn)用逐漸嫻熟，數(shù)學(xué)家開始探索將代數(shù)語(yǔ)言與幾何圖形進(jìn)行結(jié)合。1637年，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾受到在蜘蛛網(wǎng)的啟發(fā)，發(fā)明了坐標(biāo)系，將幾何和代數(shù)相結(jié)合，創(chuàng)立了解析幾何學(xué)。解析幾何的基本方法是建立坐標(biāo)系，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，再通過(guò)代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì)。

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要模塊，主要包括教材第二章的直線和圓的方程、第三章圓錐曲線的方程。本節(jié)課，我們從最簡(jiǎn)單的直線出發(fā)，探究直線的傾斜角和斜率。

設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課不僅是直線的傾斜角與斜率的第一課時(shí)，而且也是高中解析幾何內(nèi)容的開始。解析幾何的發(fā)展歷史和基本思想應(yīng)有所體現(xiàn)，讓學(xué)生對(duì)本章和解析幾何的內(nèi)容有所了解，體現(xiàn)了內(nèi)容的整體性、綜合性，起到了凝神、起興、點(diǎn)題的作用。

（二）提出問(wèn)題，激趣啟思

問(wèn)題1：確定一條直線的幾何要素是什么？

師生活動(dòng)：兩點(diǎn)確定一條直線。結(jié)合學(xué)過(guò)的向量知識(shí)，一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向也可以確定一條直線。

設(shè)計(jì)意圖：教師提出問(wèn)題，學(xué)生思考，回顧舊知，激發(fā)學(xué)生求知欲。

問(wèn)題2：如果把方向去掉，我們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中取一點(diǎn)P，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P可以做多少條直線？這些直線有什么區(qū)別？

師生活動(dòng)：可以做無(wú)數(shù)條直線，區(qū)別是它們的方向不同。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)觀察動(dòng)圖，理解經(jīng)過(guò)點(diǎn)P可以做無(wú)數(shù)條直線，強(qiáng)調(diào)直線方向的重要性。

問(wèn)題3：用什么角來(lái)描述直線的方向呢？

師生活動(dòng)：可以用角來(lái)刻畫直線的方向。因?yàn)檫@些直線相對(duì)于x軸的傾斜程度不同，也就是它們與x軸所成的角不同，所以我們可以用這樣的角來(lái)表示這些直線的方向。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以用角描述直線的方向，理解直線傾斜角定義的合理性。

（三）幾何直觀，概念形成

通過(guò)上面3個(gè)問(wèn)題，可自然引出直線的傾斜角概念。

直線的傾斜角：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫作直線l的傾斜角。

直線傾斜角的取值范圍：規(guī)定當(dāng)直線和軸平行或重合時(shí)它的傾斜角為0°。因此，直線的傾斜角0°≤α<180°。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題串，學(xué)生討論，引導(dǎo)學(xué)生思考傾斜角的意義和作用，形成傾斜角的定義。借助多媒體技術(shù)，直線繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，引導(dǎo)學(xué)生觀察直角坐標(biāo)系下傾斜角為銳角、直角、鈍角時(shí)直線的位置，感受傾斜角的變化，自然得到傾斜角的取值范圍。

（四）代數(shù)量化，探尋結(jié)論

直線的傾斜角是一個(gè)幾何概念，從“形”上體現(xiàn)傾斜程度，而解析幾何的基本思想為借助于“數(shù)”研究“形”，把“形”的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為“數(shù)”的問(wèn)題，因此，我們要找到傾斜角與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系。

探究1：直線l經(jīng)過(guò)O（0，0），P（? ?，1）直線l的傾斜角α與O，P的坐標(biāo)有什么關(guān)系？

學(xué)生活動(dòng)：借助圖象，思考并討論傾斜角與坐標(biāo)的關(guān)系。