□蔣徐巍

“平行四邊形面積公式”是公開課的熱門選題。究其原因，可能是：其一，學(xué)生有“鄰邊×鄰邊”的“迷思”，作為“底×高”的對照，可以讓教學(xué)有一種“糾錯”的邏輯力量，能凸顯教師教學(xué)的成效；其二，可以安排“剪、拼、折”等操作活動，體現(xiàn)讓學(xué)生經(jīng)歷探究過程的理念；其三，可以讓學(xué)生基于不同的作品進(jìn)行說理，體現(xiàn)“學(xué)為中心”“以生為本”的教學(xué)理念；其四，可以配合精彩的課件，展示各種將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形的方式，體現(xiàn)“重視數(shù)學(xué)思想方法（轉(zhuǎn)化）”的教學(xué)理念；其五，板書中，“長×寬”對應(yīng)“底×高”，有一種邏輯的力量和形式的美感。

這堂課，如果能將探究落到實(shí)處，讓過程扎實(shí)而豐厚，那自然可以做到觀賞性和思想性齊飛，且讓學(xué)生真實(shí)受益。然而，在實(shí)踐中經(jīng)常看到操作很熱鬧，但在總結(jié)公式時會以一名或幾名學(xué)生的正確操作代替所有學(xué)生的操作，以部分學(xué)生的理解作為所有學(xué)生的理解，以教師嚴(yán)密、精準(zhǔn)的提示彌補(bǔ)學(xué)生可能的疏漏……這就使“得出面積公式”取代“讓學(xué)習(xí)發(fā)生”的目標(biāo)以及本應(yīng)具有寬廣教學(xué)空間和很高思維價值的內(nèi)容窄化了。因此，基于現(xiàn)實(shí)教學(xué)中的種種問題，嘗試提出幾條教學(xué)建議，以期對教學(xué)實(shí)踐有一二裨益。

建議一：提升學(xué)生對圖形的敏感性

這里提出所謂的“對圖形的敏感性”，是因?yàn)榻虒W(xué)中常?？吹竭@樣的現(xiàn)象：（1）學(xué)生不知道為什么要剪（既然教室里準(zhǔn)備了剪刀，那就是一種強(qiáng)暗示，肯定會涉及剪的操作），以及如何剪才能成功地轉(zhuǎn)化為長方形；（2）教學(xué)中，教師對不成功的剪法、折法、畫法會選擇性地忽略，對成功的剪法常常不加總結(jié)與追問。

其實(shí)，要滲透“轉(zhuǎn)化”的思想方法，需要讓學(xué)生感知轉(zhuǎn)化的方向，且提升轉(zhuǎn)化的成功率，即注意以此內(nèi)容培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的意識與能力。在這樣的視野下，學(xué)生對圖形特征有感知，且知道需要根據(jù)圖形特征及不同圖形（本課中是平行四邊形和長方形）的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化的突破口。

教學(xué)設(shè)想如下：

1.找到學(xué)生剪成功的幾種不同方式（左邊剪開、右邊剪開、居中剪開），追問：“有什么共同點(diǎn)？”“為什么這樣剪能成功？”最后歸結(jié)為都是沿著高剪。為什么要沿著高剪？因?yàn)橐獎?chuàng)造直角才能轉(zhuǎn)化為長方形，而畫高或剪出高能產(chǎn)生直角。

2.以沿著上下對邊的高剪開的材料為討論對象，追問：“只能在這個位置剪嗎？”歸結(jié)為有無數(shù)個位置可以剪，但都是高（課件可以移動高），再次強(qiáng)化找直角。

3.不常出現(xiàn)的資源，一是沿著平行四邊形左右兩條斜邊的中點(diǎn)畫高，剪兩個小的直角三角形下來拼接（可理解為旋轉(zhuǎn)上去，如圖1）；二是用折的方式，折成一個一半大小的長方形（如圖2）。

圖1

圖2

這兩種資源如果教學(xué)現(xiàn)場沒有，教師可以直接給出，強(qiáng)化其實(shí)也是找高，都是為了創(chuàng)造直角，這樣才能轉(zhuǎn)化成長方形。當(dāng)然，這里要點(diǎn)出：中點(diǎn)很特別！

這樣教學(xué)，有以下特點(diǎn)：一是讓這堂課為后面的三角形、梯形面積公式的推導(dǎo)做好經(jīng)驗(yàn)鋪墊，后面的圖形也要轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的有公式的圖形。雖然兩個三角形或梯形一拼就成為平行四邊形，但單個圖形要轉(zhuǎn)化成長方形時，依舊要關(guān)注圖形特殊的點(diǎn)，找高、構(gòu)造直角。二是中學(xué)幾何學(xué)習(xí)時，作輔助線是重要的策略，而作輔助線常常要從中點(diǎn)、垂線去考慮，這里也算是為后續(xù)學(xué)習(xí)略做鋪墊。三是這里強(qiáng)調(diào)高、直角、中點(diǎn)，其實(shí)也是前期認(rèn)識圖形經(jīng)驗(yàn)的延伸。因此，在前期圖形認(rèn)識的課中，要注意培養(yǎng)學(xué)生從“元素+數(shù)量”的角度去認(rèn)識圖形，將圖形進(jìn)行分類。這堂課的教學(xué)，有些經(jīng)驗(yàn)需要埋在前面——課，不應(yīng)該是孤立的，而應(yīng)該是前后勾連、互相成全的。

建議二：對轉(zhuǎn)化思想方法的感悟與掌握

在解決具體問題且需要強(qiáng)調(diào)操作性程序時，我們稱“轉(zhuǎn)化”為“方法”；在提煉不同轉(zhuǎn)化方法的共性以及描述轉(zhuǎn)化方法背后的道理時，我們稱“轉(zhuǎn)化”為“思想”；在具體的上下文語境中，為了兼顧方法、思想都有的特點(diǎn)，我們會將之泛稱為轉(zhuǎn)化的思想方法。當(dāng)然，這也是因?yàn)檫@里的轉(zhuǎn)化思想不能完全脫離轉(zhuǎn)化的具體方法而獨(dú)立存在。

需要注意的是，轉(zhuǎn)化是有方向性、層次性的。前面的建議一，其實(shí)也是在講讓學(xué)生感受到轉(zhuǎn)化是有章可循、有法可依的，即是有“章法”的。

那么，怎樣讓學(xué)生感受轉(zhuǎn)化的“方向性”呢？教學(xué)實(shí)踐層面可以有不同的方法。

1.單元整體的視角。在沒有學(xué)長方形面積公式前，將正方形、長方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓形同時呈現(xiàn)，然后追問：你覺得學(xué)習(xí)不同圖形的面積公式，可以從哪個圖形入手？為什么？

這樣提問的目的是讓學(xué)生整體觀察圖形特征，感受面積公式可能的聯(lián)系。雖然學(xué)生的反應(yīng)是未知的，但這樣提問本身就暗示了一種思維角度。等所有圖形的面積學(xué)完之后，在復(fù)習(xí)課階段，有心的教師可以做這樣一個溝通：之前我們以為只能從某某圖形入手，其實(shí)所有圖形的面積公式都是可以“定于一”的，即長方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓形公式可以任意互化（圓形分隔成奇數(shù)片，類梯形），可以選一個圖形公式（最容易想到的是梯形公式）統(tǒng)整其他公式——驀然回首，原來可以從任一圖形入手。

2.非單元整體的視角?？梢栽谡n始追問：你覺得平行四邊形的面積可能會怎么算？怎么求？這里，教師需要提前對某些圖形有哪些“操作”進(jìn)行鋪墊，如割、補(bǔ)、折、比、量、翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)等。

3.如果上述兩點(diǎn)都沒有，那么教師可以進(jìn)行以下追問：（1）呈現(xiàn)學(xué)生不同割補(bǔ)的作品后詢問：什么變了？什么沒變？形狀變了，面積不變。面積不變是因?yàn)榧粝聛淼娜切谓?jīng)歷的是旋轉(zhuǎn)、平移這樣的“剛體運(yùn)動”，以及“一多一少”的“出入相補(bǔ)”。（2）在得出面積公式后，哪怕教師已經(jīng)畫了兩個“長”到“底”、“寬”到“高”的箭頭，也要追問：什么變了？什么沒變？因?yàn)檗D(zhuǎn)化是要基于不變的東西的。

另外，有教師在課堂上這樣提問：平行四邊形為什么要轉(zhuǎn)化成長方形，不轉(zhuǎn)化成圓形、三角形、梯形？學(xué)生的回答非常棒，能回答出如果知道三角形面積怎么算，平行四邊形轉(zhuǎn)化成三角形是可以的，因?yàn)槟苻D(zhuǎn)化；但學(xué)生普遍認(rèn)為圓形不行，因?yàn)闆]有直線。

接下來再說說轉(zhuǎn)化的“層次性”。先舉一個類比的例子：由具體現(xiàn)實(shí)素材到“單價×數(shù)量=總價，速度×?xí)r間=路程”是抽象；將“單價×數(shù)量=總價，速度×?xí)r間=路程”全部看成“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”是抽象；進(jìn)一步，這些都是乘法模型“幾個幾”也是抽象?？梢姡橄笫强梢杂袑哟蔚?！

同樣，這堂課將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形是實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)化，但如果把轉(zhuǎn)化進(jìn)一步抽象為“單位面積的累加”，會如何呢？在有的課堂中，教師會將探究用的平行四邊形紙片和透明格子圖結(jié)合，或者把平行四邊形畫在格子圖上，以佐證公式的正確，而不再提“單位面積的累加”。其實(shí)，“面積就是一個數(shù)”，即定義單位面積，再以單位面積去度量其他面積，得到一個數(shù)。因?yàn)橛惺M(jìn)制的存在，單位面積又可以以10n的方式擴(kuò)大或縮?。ó?dāng)然，長度可以是無理數(shù)）。

所以，當(dāng)教師有意識地將轉(zhuǎn)化抽象到更高層次時，在前面教學(xué)長方形面積公式中可以這么呈現(xiàn)：S=長×寬×1，“1”代表一個面積單位。在平行四邊形面積公式這堂課中，可以再次強(qiáng)調(diào)其實(shí)還是在求有幾個面積單位。之后，就可以提供這樣的課后作業(yè)了：呈現(xiàn)三角形、梯形、圓形，你能用剪、拼、折、畫等方式，把它們轉(zhuǎn)化成方便計(jì)算有多少個單位面積的圖形嗎？（不給數(shù)據(jù)，沒有計(jì)算，也不用推導(dǎo)出公式）因?yàn)閱挝幻娣e是正方形，學(xué)生照樣也需要去找高，去構(gòu)造直角（圓先要找到直邊）。

當(dāng)把平行四邊形轉(zhuǎn)化的終點(diǎn)落在用乘法方式求出有多少個面積單位后，再讓學(xué)生操作三角形、梯形、圓形的作業(yè)，這樣后續(xù)的課就不用另起爐灶，且有可能一堂課把三角形、梯形（甚至加上圓形）的面積公式一并解決。因?yàn)榭偟墓狡鋵?shí)都是用“長×寬”（底×高）求出有多少個面積單位，圖形形狀不同，根據(jù)等積變形和圖形元素與數(shù)量，對面積公式進(jìn)行調(diào)整。

這樣教學(xué)，“轉(zhuǎn)化”的抽象度更高，同時把“平行四邊形面積公式”的教學(xué)往“度量”的意義上去靠。

建議三：提升學(xué)生對知識的結(jié)構(gòu)性認(rèn)識

數(shù)學(xué)知識是有結(jié)構(gòu)的，也就是各部分之間并不是零散的、沖突的，而是符合數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的邏輯，是和諧的、自洽的。人的認(rèn)知也是有結(jié)構(gòu)的，舊概念“同化”新概念，或者舊概念因?yàn)樾赂拍畹囊攵l(fā)生“順應(yīng)”。當(dāng)學(xué)生能認(rèn)識到知識之間的結(jié)構(gòu)時，也就能在認(rèn)知中更好地對知識進(jìn)行聯(lián)系和遷移。

然而，數(shù)學(xué)教學(xué)中常常存在這樣的現(xiàn)象：學(xué)生學(xué)了這個知識，并不知道后面會學(xué)什么知識，也不去反思這個知識和前面學(xué)的哪個知識有聯(lián)系。數(shù)學(xué)知識有其內(nèi)在的生長性。比如，乘法口訣是“一位數(shù)×一位數(shù)”，而“數(shù)”還有兩位數(shù)、三位數(shù)……所以，表內(nèi)乘法之后很有可能學(xué)“兩位數(shù)×一位數(shù)”。又如，整數(shù)中有加、減、乘、除四則運(yùn)算，所以猜測分?jǐn)?shù)、小數(shù)也會有這樣的四則運(yùn)算；加法、乘法有運(yùn)算律，所以猜測減法、除法也有相應(yīng)的運(yùn)算律——哪怕最后猜測是錯的，思考方式卻是結(jié)構(gòu)化的。

所以，平行四邊形一課，如前所述，在沒有學(xué)面積公式之前就追問可能是怎樣來求，其實(shí)也是讓學(xué)生感知不同面積公式之間的邏輯關(guān)系，即不同面積公式整體的可能關(guān)系。在教了“平行四邊形面積公式”之后，也可以追問：“接下來，你覺得應(yīng)該學(xué)哪個圖形的面積，為什么？”如果學(xué)生認(rèn)為應(yīng)該學(xué)梯形，因?yàn)閮蓚€梯形可以拼成一個平行四邊形，那是很好的！也就是說，學(xué)生能接受的圖形之間關(guān)系的邏輯未必等于教材的編排邏輯（教材是接著學(xué)三角形）。

此外，這里所說的“結(jié)構(gòu)化認(rèn)知的缺失”還包括這樣的表現(xiàn)：用一個具體的且常常是典型的平行四邊形（兩邊夾角45°，底邊是鄰邊的2倍長）得到所有的平行四邊形面積公式。而實(shí)際上，當(dāng)我們用字母表示其面積的時候，字母代表的是“不定元”，是無限多的圖形。現(xiàn)實(shí)中，有學(xué)生在學(xué)了面積公式后，面對細(xì)長的、非標(biāo)準(zhǔn)的、高在圖形外的平行四邊形，會認(rèn)為此前的面積公式是不適用的，或者疑惑到底是否適用。更有學(xué)生對“高在邊的延長線上”提出了“線段不能延長”的質(zhì)疑，因?yàn)樗麄冇X得和之前所學(xué)有矛盾而不認(rèn)可這個公式。因此，當(dāng)我們在給出公式的字母表示時，可否強(qiáng)調(diào)這里用字母表示公式，代表了對所有的平行四邊形都適用（也可以反問：這個公式適用于所有平行四邊形嗎）？同時，配以課件演示，把典型的平行四邊形拉成各種變式，再次展示面積和底、高的關(guān)系。

保持四條邊的長度不變，就可以將典型的平行四邊形放入圖形的結(jié)構(gòu)化演變之中：先把平行四邊形拉得越來越扁，感知高和鄰邊夾角的聯(lián)動關(guān)系，以及高和夾角對面積的影響（一般教師只說高對面積的影響）；再把平行四邊形拉得越來越正，直至拉到特殊的位置即長方形位置——此時，“底×高”就是“鄰邊×鄰邊”。這里，也為學(xué)生“鄰邊×鄰邊”的直覺猜想找到了一個解釋：當(dāng)平行四邊形是長方形時，就對了！承認(rèn)學(xué)生直覺的合理性，可以讓學(xué)生體會量變引起質(zhì)變的感覺：長方形正是特殊的平行四邊形，長方形面積公式也是平行四邊形面積公式的特例。作為教師，學(xué)過三角函數(shù)就知道平行四邊形面積就是S=absinc，c就是鄰邊的夾角，sinc的值就是平行四邊形面積相對于長方形面積的打折程度，sin90°=1，即夾角90°，長方形可以看作平行四邊形的特例。于整體之中認(rèn)識局部，也是一種結(jié)構(gòu)化。

以上是對于平行四邊形面積公式教學(xué)的一些瑣碎想法。在實(shí)際教學(xué)中，動手操作素材的設(shè)計(jì)與提供，學(xué)生操作資源的選擇，學(xué)生說理的組織與教師的反饋等，是學(xué)生經(jīng)歷面積公式形成過程的關(guān)鍵。這其中涉及很多教學(xué)層面的組織技巧與原則，本文就不贅述了。上述三個建議是希望為各種不同的教學(xué)設(shè)計(jì)提供一些可供借鑒或嵌入的點(diǎn)。

撰寫此文，難免思辨有余而實(shí)踐不足，需要讀者辨析、消化與抉擇。但有一點(diǎn)是可以達(dá)成共識的：以孤立的方式讓學(xué)生迅速得到公式并操練、鞏固，不是教學(xué)的最優(yōu)解。在公式唾手可得的時代，如何讓教學(xué)內(nèi)容支持學(xué)生真實(shí)的學(xué)習(xí)，讓教學(xué)指向更高階的思維、更有遷移性的素養(yǎng)，乃至讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中發(fā)生社會性交往，營造一起互相學(xué)習(xí)、互相成全及教學(xué)相長的課堂文化，才是教師要探索的重要主題。