錢蕓

[摘? 要] 文章通過“一元二次方程的解法——配方法”的教學，闡述如何對學生進行元認知訓練，并通過問題串的方式讓學生體會數(shù)學的本質. 元認知學習并不是一節(jié)課就能解決的，所以教師要在平時的教學中不斷提升學生的數(shù)學思維.

[關鍵詞] 元認知;數(shù)學科學素養(yǎng);深度學習

元認知思想

要了解元認知的概念，首先應了解人的認知活動. 人的認知活動一般來說可以劃分為認知活動和元認知活動. 認知活動是指對客觀事物的特征及事物之間聯(lián)系的反映，認知活動研究的是有關問題、資料等具體的信息，而元認知活動是人類對自己認知過程的一種自我覺察、自我評價、自我調節(jié)的過程. 元認知的概念比認知活動更高級，它是任何以認知過程與認知結果為對象的知識，或是任何調節(jié)認知過程的認知活動.

在數(shù)學教學過程中對“元認知”

的初步認識

（一）教學過程

本節(jié)課題為“一元二次方程的解法——配方法”，筆者的教學設計以及提問中都涉及了“元認知”.

1. 溫故知新

師：方程（x+3）2=5的解是什么？

生（齊）：x=-3± .

師：你們解這個方程用的是什么方法？

生（齊）：直接開平方法.

師：用這種方法的依據(jù)是什么？

生1：兩邊開方.

生2：平方根的意義.

師：解一元二次方程的基本思路是什么？

【學生經(jīng)過筆者的提示，回答出了答案：二次方程→一次方程. 教師補充：降次.】

教師小結：形如（x+h）2=k（k≥0）（方程的左邊必須是完全平方式，方程的右邊必須是一個非負常數(shù)）的一元二次方程可以用直接開平方法求解.

這既是對上一節(jié)課的復習，也是這節(jié)課的開端.

2. 思考討論

師：如何解方程x2+6x+9=5？

學生通過復習，馬上就想到了方程的左邊是一個完全平方式，用直接開平方法很快速地就解決了.

師：如何解方程x2+6x+4=0？

生1：方程兩邊同時加上5……

師：如果把方程左邊的“+4”變成“+3”，這個方程該如何解決？

生2：方程兩邊同時加上6……

師：方程左邊的常數(shù)變化時，每一次方程左、右兩邊所加的數(shù)都要改變才能用直接開平方法嗎？

生3：是的.

生4：只需要保證方程左邊最終的常數(shù)項為9就行了.

師：請把你的解答過程敘述一遍，老師來書寫.

師：上述解方程的第一步是什么？

生4：移項.

師：上述解方程的第二步為什么要加“9”？

生4：湊完全平方公式.

師：這個“9”是怎么湊出來的？

生4：根據(jù)完全平方公式a2+2ab+b2=（a+b）2來湊.

師：接下來用什么方法來解？

生（齊）：直接開平方法.

師：恭喜你們，你們學會了一種新的解一元二次方程的方法——配方法.

3. 引出新課題

師（敘述基本概念）：像上面那樣，先把一個一元二次方程變形為（x+h）2=k的形式（其中h，k都是常數(shù)），若k≥0，再通過直接開平方法求出方程的解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.

師：用配方法解一元二次方程的基本步驟是，第一步，變形為（x+h）2=k的形式（其中h，k都是常數(shù)）;第二步，用直接開平方法解方程.

師：第一步變形后，假如k<0怎么辦？

生1：此方程無實數(shù)解.

師：你們認為用配方法解一元二次方程最大的難點是什么？

生2：湊完全平方式.

【接下來，筆者對配方進行了基礎鞏固. 首先復習了完全平方公式a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2，然后通過填空的方式鞏固完全平方公式. 具體的試題如下.】

填一填：

（1）x2+2x+____=（x+___）2;

（2）x2-8x+____=（x-___）2;

（3）y2+5y+____=（y+___）2;

（4）y2- y+____=（y-___）2.

師：等式右邊所填的這個數(shù)和等式左邊的一次項系數(shù)有何關系？

生3：所填的這個數(shù)是一次項系數(shù)的一半（由于已有符號，所以所填的數(shù)應該是一次項系數(shù)一半的絕對值）.

？搖師：等式的左邊所填的這個數(shù)和等式右邊所填的數(shù)又是什么關系？

生4：等式左邊所填的這個數(shù)是等式右邊所填數(shù)的平方.

師：這個過程就是配方的過程. 當二次項系數(shù)為1時才有這個規(guī)律. 當二次項已知且二次項系數(shù)為1，并且一次項已知時，進行配方時等號左邊的常數(shù)項是一次項系數(shù)一半的平方.

4. 例題探究

用配方法解下列方程：

（1）x2-4x+3=0;

（2）x2+3x-1=0.

對于第（1）題，在板書的同時，教師小結了用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程的步驟：

①移項，把常數(shù)項移到方程的右邊;

②配方，方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方;

③開方，根據(jù)平方根的意義，方程兩邊同時開平方，化為兩個一元一次方程;

④求解，解這兩個一元一次方程;

⑤定解：寫出原方程的解.

對于第（2）題，學生口述，教師板書. 出現(xiàn)易錯點時，教師及時糾正，并培養(yǎng)孩子清晰的數(shù)學語言表達能力.

【接下來，教師給出練習題，以讓學生鞏固所學. 】

用配方法解下列方程：

（1）x2-6x-7=0;

（2）x2+3x+1=0.

5. 拓展提升

用配方法解一元二次方程：2x2+x-6=0.

師：這個方程和前面的方程有什么不同？

生1：前面的方程容易配方一些.

師：那么，為什么這個方程不容易配方呢？

生1：因為前面的方程的二次項系數(shù)都是“1”.

師：那如何把這個方程的二次項系數(shù)變?yōu)椤?”呢？

生2：方程兩邊同時除以2就可以了.

師：這樣做的依據(jù)是什么？

生3：等式的基本性質.

師：很好！于是二次項系數(shù)不為“1”的一元二次方程，也可以用配方法求解了！

（二）教學反思與感想

整節(jié)課抓住了配方法的本質，滲透了降次和數(shù)形結合的數(shù)學思想. 這節(jié)課的提問非常符合這一階段學生的思維方式，整節(jié)課學生都在不斷地調整認識中逐步掌握知識，符合元認知訓練的結構. 課堂上，筆者采用元認知的基本思路對學生進行細致的引導. 元認知的思路結構給學生搭好了思路的“梯子”，讓他們在思維上面一步一步地往上爬，學生非常輕松地學會了一元二次方程的新解法——配方法. 師生之間的問答，循序漸進，能提升學生的元認知能力. 學生的書寫思路清晰，實現(xiàn)了知識的遷移，且自主探究給予了他們一種強烈的成就感.

在這節(jié)課中，如果筆者直接提出新課題“配方法”，學生會產(chǎn)生疑惑，且會有畏難情緒，于是筆者將整節(jié)課設計為遵循元認知規(guī)律的一堂課，問題串就是架構元認知思維的扶梯. 在這節(jié)課中，元認知的體驗是在不知不覺中進行的，元認知結構也較為完整. 當然，元認知的訓練不能只用在一節(jié)課上，要普遍運用于平時的教學活動. 在筆者目前進行的數(shù)學教研活動中，理解概念、記憶定理、證明命題等活動都屬于認知活動，而怎樣更快地理解、記憶和掌握解題策略的一些選擇、方法和對其結果的評價等則屬于元認知活動. 數(shù)學元認知是我們對數(shù)學認知活動的認識、監(jiān)控和總結，元認知結構則是以上三者的有機結合. 元認知知識是我們對自己、他人認知活動的過程、結果等事項的認識，主要依靠情境性知識、程序性知識、評價性知識、數(shù)學核心思想、數(shù)學思維模式和數(shù)學策略性知識等;元認知體驗是伴隨我們的認知活動所產(chǎn)生的自覺意識和情感體驗;元認知監(jiān)控是通過前面兩者的相互作用，從而實現(xiàn)對認知的目標、方向、策略和進程的一種監(jiān)督、調節(jié)和控制手段.

（三）數(shù)學核心素養(yǎng)與“元認知”的關系

數(shù)學核心素養(yǎng)與“元認知”有著密切且不可分割的聯(lián)系. 數(shù)學核心素養(yǎng)是以數(shù)學課程教學活動為載體，基于數(shù)學學科的知識技能而形成的重要的思維品質和關鍵能力. 數(shù)學核心素養(yǎng)是在數(shù)學知識技能的學習過程中形成的，有助于學生深刻理解與掌握數(shù)學知識技能. 對于義務教育階段的數(shù)學核心素養(yǎng)，東北師范大學教育科學學院馬云鵬教授認為：“10個數(shù)學核心素養(yǎng)包括：數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創(chuàng)新意識. ”采用元認知訓練可以大大提升培養(yǎng)這些能力的效率. 比如，讓學生自己創(chuàng)設想象中的情境，在情境中體驗數(shù)感;讓學生通過記錄并總結自己的學習進程和學習效果來進行自我監(jiān)控和自我調節(jié);對現(xiàn)有的模型進行反思性學習，總結不足并牢記經(jīng)驗;總結自己的學習活動規(guī)律，并結合自身記憶特點、遺忘特點等進行思維品質的提升. 我們要從實際教育教學出發(fā)，在平時的數(shù)學教學中滲透元認知訓練，以實現(xiàn)學生核心素養(yǎng)的培育.

（四）深度學習與“元認知”的關系

要抓住數(shù)學的本質、內涵，學生必須進行深度學習. 深度學習具有批判思維、知識整合、深度加工、主動建構、遷移應用等特征，屬于以高水平思維為核心特征的高階學習. 因此可以認為，促進元認知發(fā)展是深度學習研究的主要目標之一. 元認知訓練依托課堂，并結合課堂教學內容進行元認知知識講授與元認知技能訓練，通過對學生學習過程的觀察，分析學生學習活動中的不足，并對教學過程及時進行調整，以促進學生對知識的主動建構、深度理解、批判接受、遷移應用及對復雜問題的有效解決，進而促進學生深度學習的實現(xiàn). 問題解決是元認知訓練和深度學習的共同最終目標，提升初中生數(shù)學深度學習能力必然會促進問題解決能力、數(shù)學元認知能力的縱深發(fā)展，從而提升學生的數(shù)學素養(yǎng).

綜上所述，元認知就是要努力激發(fā)學生內在的學習興趣，讓他們積極主動地投入學習，避免消極被動地接受，且應調動一切有利的因素進行分析、思考、解惑、排疑. 學生應思考學習本身的內涵、目的、方法、施控手段、檢驗指標、評價標準等，從而達到主動自學并提升學習效果的目的.