蘆雪珍
[摘? 要] 類比探究題是中考常見的問題類型,問題解析具有一定的難度,同時突破過程有著鮮明的特點,即結(jié)合類比思想,通過對比、聯(lián)想是該類問題突破的關(guān)鍵. 文章將對一道考題開展類比探究,反思問題解析思路,總結(jié)類比考題解析方法,提出相應(yīng)的教學(xué)建議.
[關(guān)鍵詞] 類比;探究;幾何;模型;思想方法
問題呈現(xiàn)
【問題提出】
(1)如圖1所示,在四邊形ABCD中,連接AC,BD,AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°,將△ABC繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°,可得到△ADE,其中點B的對應(yīng)點為點D,點C的對應(yīng)點為點E,同時已知點C,D,E三點位于同一直線上,則△ACE為______三角形,BC,CD,AC的數(shù)量關(guān)系為______;
【探索發(fā)現(xiàn)】
(2)如圖2所示,在⊙O中,已知AB為直徑,點C為弧AB的中點,點D是圓上的一個動點,連接AD,CD,AC,BC和BD,且有AD 【拓展發(fā)現(xiàn)】 (3)如圖3所示,在等腰直角三角形△ABC中,點P為AB的中點,如果AC=13,平面內(nèi)存在一點E,且AE=10,CE=13,當(dāng)點Q為AE的中點時,PQ=______. 過程解析 (1)猜想△ACE為等腰直角三角形,則有BC+CD= AC. 如圖4所示,根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)可知△BAC≌△DAE,則AC=AE, BC=DE,∠BAC=∠DAE. 又因為∠BAD=90°,則∠BAC+∠CAD=90°,結(jié)合AC=AE可證△CAE為等腰直角三角形,所以CE= AC,即BC+CD= AC. (2)該問探究圓上動點所形成的相關(guān)線段長之間的數(shù)量關(guān)系,從問題設(shè)置來看,可參考第(1)問的解法,挖掘圖像中的特殊三角形,結(jié)合幾何性質(zhì)即可推出線段關(guān)系,有如下兩種解析思路. 思路一:由已知可知AC=BC,∠ACB=90°,圖像中具有等線段共端點的特點,類比第(1)問的解析方法,易聯(lián)想到可將△ADC繞著點C旋轉(zhuǎn)至AC與BC相重合,如圖5所示. 結(jié)合旋轉(zhuǎn)特性可知CD=CE,∠DCE=∠ACB=90°,∠BEC=∠ADC,則△CDE為等腰直角三角形,有∠CED=45°. 又因為AB是圓的直徑,并且AC=BC,可知△ABC為等腰直角三角形. 四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形,則有∠ADC+∠ABC=180°,可推知∠BEC=∠ADC=135°,此時有∠BEC+∠CED=180°,所以B,E,D三點共線,則BD-AD= CD,即CD= (BD-AD). 思路二:第(1)問解析時結(jié)合了四邊形的對角互補,且利用了△BAD的等腰直角三角形特性. 第(2)問解析時可參考第(1)問的思路,結(jié)合圓的對稱性質(zhì),將圖像轉(zhuǎn)化為第(1)問的圖像,即將△ACB沿著AB進行折疊,可得四邊形AEBD,后續(xù)類比第(1)問的結(jié)論即可推導(dǎo)線段關(guān)系. 結(jié)合上述分析,將△ACB沿著AB進行折疊,可得四邊形AEBD,如圖6所示. 類比第(1)問結(jié)論可得 DE=AD+BD,在Rt△CDE中使用勾股定理,可得CD2=CE2-DE2,進一步推導(dǎo)可得CD2=AB2- (AD+BD)2= (AD-BD)2,從而可求得CD= (BD-AD). (3)該問在等腰直角三角形中進行圖形構(gòu)建,看似簡單,但點E的位置沒有指明. 故解析的首要問題是確定點E的位置,需根據(jù)問題條件,思考作圖方法. 題干設(shè)定了線段AE和CE的長度,故點A和C的位置固定,點E為動點,可考慮以點A為圓心,單位長度10為半徑作圓,再以點C為圓心,單位長度13為半徑作圓,則兩圓的交點即為所求點E的位置,如圖7所示. 顯然點E的位置有兩個,需要分別根據(jù)點E的位置進行圖形補全,然后分類討論具體情形. 分析前兩問的解析過程可知,第(1)問的背景圖形為四邊形,圖形中有一組對角為直角,一個直角的邊長相等,第(2)問的背景圖形同為四邊形,圖形中一邊對應(yīng)兩個直角,同樣有一組直角邊相等. 而在第(3)問中,沒有出現(xiàn)直角,但存在等腰直角三角形和斜邊的中點,類比前兩問的解析過程,可考慮構(gòu)造等腰三角形,構(gòu)建“三線合一”模型,從而構(gòu)建直角,下面分類討論. 情形一,點E位于AC邊的左側(cè)時,連接CQ和CP,如圖8所示. 觀察圖形可發(fā)現(xiàn)該圖與第(1)問中的四邊形具有相同特征,可直接利用第(1)問的結(jié)論,即AQ+CQ=? PQ,所以 PQ=17,可解得PQ= . 情形二,點E位于AC邊的右側(cè)時,同樣參考第(2)問的圖形解析方法,連接CQ和PC,如圖10所示. 結(jié)合第(2)問的結(jié)論可得出PQ= (CQ-AQ),代入線段長可得PQ= (CQ-AQ)= (12-5)= . 綜上可知,PQ= 或 . 解后總結(jié) 從上述問題的解析思路來看,問題設(shè)計具有鮮明的結(jié)構(gòu)特點,其探究方法和解析思路具有一定的參考價值,下面對考題進行深入探究,并總結(jié)解決問題的方法策略. 1. 問題思考 深入反思問題的設(shè)計流程,問題分為三個環(huán)節(jié):問題提出→探究發(fā)現(xiàn)→拓展延伸,顯然問題的“拓展延伸”部分與“問題提出”和“探究發(fā)現(xiàn)”部分有著極大的關(guān)聯(lián),故需要深入研讀問題的圖像特征,探究其中的共同之處,采用類比探究的方式來獲得結(jié)論. 可將問題歸結(jié)為類比探究題,問題的圖像和解析思路具有極高的類比性. 同時問題中出現(xiàn)了一些特殊的幾何圖形,如解析圖形旋轉(zhuǎn)問題時結(jié)合了對角互補四邊形,探究邊長關(guān)系引入了“一線三等角”模型. 2. 方法總結(jié) 中考中常出現(xiàn)幾何類比探究題,通常以一類共性條件和特殊條件為基礎(chǔ),由特殊到一般,由簡單到復(fù)雜構(gòu)建問題,逐步深入,問題解析的思想方法一脈相承. 問題探究的一般方法如下: 第一步,根據(jù)問題條件以及關(guān)聯(lián)條件解決第一問; 第二步,利用上一問的方法類比探究下一問,若不可行,則可將兩問相結(jié)合,探尋不可類比的原因和出現(xiàn)變動的特征,然后依據(jù)不變特征探尋新的方法. 同時,在類比探究過程有如下幾個探究技巧: (1)找特征,如中點、特殊角、圖形折疊等; (2)找模型,如相似模型(母子型,A字形,八字形)、三線合一、全等模型等; (3)解析照搬,解析時可照搬上一問的方法及思考問題的解析思路,如照搬輔助線,照搬全等、相似等; (4)找結(jié)構(gòu),探尋問題不變的結(jié)構(gòu),利用不變結(jié)構(gòu)的特征來逐步剖析,通常不變結(jié)構(gòu)及對應(yīng)解析方法如下—— ①直角,可作橫平豎直的輔助線,構(gòu)建相似或全等模型; ②中點,作倍長線段,通過幾何全等來轉(zhuǎn)移邊和角; ③平行,探究其中的相似關(guān)系,利用相似比例來轉(zhuǎn)化線段關(guān)系. 總之,類比探究題的核心解法是“類比”,包括圖像類比和解法類比,問題解析的過程要把握其中的“特殊”,包括特殊的幾何要素(點、線、角),特殊關(guān)系(等量關(guān)系、倍長關(guān)系),特殊模型(面積模型、全等或相似模型)等. 解析過程時刻注重問題的前后銜接,充分利用總結(jié)的問題結(jié)論,簡化解析過程,提高解題效率. 教學(xué)反思 1. 類比分析,關(guān)注知識遷移 類比探究題通常在中考以壓軸題的形式出現(xiàn),問題的綜合性極強,側(cè)重考查學(xué)生知識綜合與遷移能力,因此問題分析過程需要結(jié)合知識考點進行聯(lián)想遷移. 如由中點聯(lián)想等腰三角形的“三線合一”,由直角聯(lián)想直角三角形的“勾股定理”,由平行聯(lián)想線段的相似比例關(guān)系,即將單純的幾何特性遷移到幾何圖形上,由此上升到更具價值的幾何結(jié)論上. 因此在實際教學(xué)中,建議引導(dǎo)學(xué)生理解“類比”的思想內(nèi)涵,理解類比探究題的知識關(guān)聯(lián),立足教材知識要點開展拓展探究,挖掘關(guān)聯(lián)知識,構(gòu)建知識體系. 2. 類比思考,重在思維過程 類比思考是類比探究題突破的根本方法,是基于問題的相似成分開展的比較、聯(lián)想探究,故需要注重問題的思維過程,將數(shù)學(xué)對象已知特性遷移到另一對象上,然后結(jié)合條件進行推理. 教學(xué)中要關(guān)注學(xué)生的思維活動,合理設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生推理,通常類比探究題構(gòu)建三個環(huán)節(jié),可采用知識探究的方式. 教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生歸納特征、發(fā)現(xiàn)問題、驗證結(jié)論、總結(jié)結(jié)論、應(yīng)用解題,循序漸進開展問題思考,由淺入深地將問題上升到數(shù)學(xué)結(jié)論層次. 引導(dǎo)過程合理設(shè)問,可設(shè)計具有啟發(fā)性的問題,讓學(xué)生聯(lián)想教材知識要點,也可引出數(shù)學(xué)模型,利用模型結(jié)論來進行推理等. 3. 類比探究,滲透思想方法 實際上,類比是重要的思想方法,在教學(xué)探究時要滲透該思想方法,讓學(xué)生感悟其中的思想內(nèi)涵,掌握類比探究的方法思路. 另外類比探究題的解析過程可能涉及數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸轉(zhuǎn)化、方程等思想,如上述利用數(shù)形結(jié)合理解圖像、挖掘幾何結(jié)論,利用分類討論探尋點E的位置,由方程思想求解關(guān)鍵參數(shù)等. 教學(xué)中可結(jié)合具體考題逐步滲透思想方法,解后反思時關(guān)注涉及的數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)思想構(gòu)建考題思路的具體過程. 在教材內(nèi)容教學(xué)時重點關(guān)注知識背景的思想內(nèi)涵,如函數(shù)知識中的數(shù)形結(jié)合、代數(shù)方程的方程思想、幾何相似或全等中的分類討論等,充分利用考題探究、知識教學(xué)來提升學(xué)生的核心素養(yǎng).