古題今解 妙趣橫生

費(fèi)珊博

摘 要：《九章算術(shù)》中的兩鼠穿墻問(wèn)題的解法：逐一計(jì)算、盈不足術(shù)、解方程組法、等比數(shù)列求和、計(jì)算機(jī)編程語(yǔ)言（條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)），兩鼠穿墻問(wèn)題從古至今的解法就是一部活生生的數(shù)學(xué)發(fā)展史。

關(guān)鍵詞：《九章算術(shù)》;兩鼠穿墻;盈不足術(shù);解方程組;等比數(shù)列求和;計(jì)算機(jī)編程

古往今來(lái)，數(shù)學(xué)與人類(lèi)生產(chǎn)生活密不可分，數(shù)學(xué)是社會(huì)進(jìn)步的產(chǎn)物，也是推動(dòng)社會(huì)發(fā)展的動(dòng)力，可以說(shuō)沒(méi)有數(shù)學(xué)的發(fā)展，就不會(huì)有今天高度發(fā)展的文明社會(huì)。近幾年高考數(shù)學(xué)題中，由古代數(shù)學(xué)著作改編的題目屢見(jiàn)不鮮，我們也應(yīng)該在教學(xué)活動(dòng)中滲透數(shù)學(xué)知識(shí)的古往今來(lái)，前世今生。不僅有助于學(xué)生在審題和解題中領(lǐng)略到古代數(shù)學(xué)的博大精深，也能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到中國(guó)古代數(shù)學(xué)的輝煌成就，激發(fā)學(xué)生的民族自信心和自豪感。

筆者對(duì)《九章算術(shù)》中兩鼠穿墻問(wèn)題從古至今解題方法有過(guò)粗略的研究，并且設(shè)計(jì)了一堂課與同學(xué)們共同探討兩鼠穿墻問(wèn)題用逐一計(jì)算、盈不足術(shù)、解方程組法、等比數(shù)列求和及計(jì)算機(jī)編程語(yǔ)言（條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)）等方法解題的過(guò)程，領(lǐng)略不同時(shí)代解題的妙處和局限性，以及改進(jìn)方法的必要性。解題方法的進(jìn)步折射出時(shí)代的發(fā)展、科技的進(jìn)步，讓同學(xué)們感受到方法的進(jìn)步、科技的進(jìn)步給人類(lèi)生產(chǎn)生活帶來(lái)的便捷。

以下是人教版必修2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（第一課時(shí)）中的某個(gè)教學(xué)片斷：

師：（新課引入）同學(xué)們，我們的老祖宗在幾百年前甚至幾千年前就給我們留下了許許多多的高考數(shù)學(xué)題目，這些題目經(jīng)命題專家精細(xì)加工，再滲透現(xiàn)代的數(shù)學(xué)思想方法，編制出精妙絕倫的當(dāng)今數(shù)學(xué)高考題。今天我們一起來(lái)研究數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)經(jīng)典數(shù)學(xué)問(wèn)題。

生：（迫不及待）老師，是什么問(wèn)題？

師：今有垣厚五尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問(wèn)幾何日相逢？各穿幾何？我們把這個(gè)問(wèn)題取名為“兩鼠穿墻”問(wèn)題。

生1：兩只老鼠第一天打洞1+1=2尺，第二天打洞，2+0.5=2.5尺，兩天打洞共4.5尺，第三天只要再打洞0.5尺即可，所以第三天就可以把墻打穿。

師：哪位同學(xué)能夠精確到幾分之幾天呢？

生2：（補(bǔ)充）第三天兩鼠的速度和為4+0.25=4.25，第三天只用了天，總共用了天。

師：很好，我們的古人就是這么思考問(wèn)題的。但是隨著社會(huì)的發(fā)展，這種解法越來(lái)越不能滿足生產(chǎn)、生活當(dāng)中產(chǎn)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答。因此古人總結(jié)出了解決此類(lèi)問(wèn)題的一個(gè)機(jī)械的算法公式，收錄在《九章算術(shù)》里面。

2天穿墻后差0.5尺，3天穿墻后多3.75尺，古人利用公式得到兩只老鼠相遇的天數(shù)：天。

生：（疑惑不解）老師，這個(gè)公式是什么意思？

師：我們的古人那時(shí)侯還沒(méi)有設(shè)參數(shù)，解方程的思想。所以他們通過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的積累總結(jié)出了很多的算法公式，用以解決日常生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。解決“兩鼠穿墻”問(wèn)題的公式是“盈不足術(shù)”當(dāng)中的一個(gè)算法公式。

生3：老師，什么叫做“盈不足術(shù)”？

（給學(xué)生簡(jiǎn)單介紹一下《九章算術(shù)》中收錄的內(nèi)容）《九章算術(shù)》共收錄有246個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，分為九章，主要內(nèi)容有：第一章：“方田”，主要講述平面幾何圖形面積的計(jì)算方法;第二章：“粟米”，主要講述谷物糧食的按比例折算;第三章：“衰分”，主要講述比例分配問(wèn)題;第四章：“少?gòu)V”，主要講述已知面積、體積，反求其邊長(zhǎng)和徑長(zhǎng)的問(wèn)題;第五章：”商功”，主要講述土石工程、體積計(jì)算;第六章“：均輸”，主要講述合理攤派賦稅;第七章：”盈不足”，即雙設(shè)法，主要講述“盈虧問(wèn)題”;第八章：“方程”，主要講述一次方程問(wèn)題（這里的方程不是我們現(xiàn)在學(xué)的方程，古時(shí)候人們用算籌來(lái)布置方程，主要思想是加減消元法）;第九章：勾股，主要是對(duì)勾股數(shù)的研究。簡(jiǎn)單地說(shuō)古人把生產(chǎn)生活中遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題分為九類(lèi)，解決每一類(lèi)問(wèn)題都要套用書(shū)中給出的公式，我們上面的解法就套用了“盈不足”里面的一個(gè)公式。那么這個(gè)公式究竟是什么意思呢？

師：初中數(shù)學(xué)里我們學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程。方程的思想源于13世紀(jì)，意大利大數(shù)學(xué)家斐波那契提出的單設(shè)法、雙設(shè)法。斐波那契的雙設(shè)法就是盈不足術(shù)。中國(guó)的盈不足術(shù)是通過(guò)阿拉伯傳到西方的，比西方的雙設(shè)法整整早了1000多年。下面我們就用方程的思想來(lái)介紹一下盈不足術(shù)。我們先來(lái)看另外一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題

引例：x人出y元購(gòu)物，每人出a錢(qián)則盈（多）m錢(qián)，每人出b錢(qián)則虧（少）n錢(qián)，問(wèn)：每人出多少錢(qián)正好？（用a、b、m、n表示）

（學(xué)生興趣十足，躍躍欲試）

生：可以列出方程組：

∴每人出錢(qián)

師：以上的公式就是古人推出的盈不足術(shù)公式（當(dāng)然古人可不是用解方程的思想推出的），兩鼠穿墻問(wèn)題我們就可以看成一個(gè)盈不足問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們回答這里的a，m，b，n分別指什么？

生4：a指穿墻3天，m指多穿3.75米，b指穿墻2天，n指少穿0.5米，穿墻的天數(shù)為。

師：請(qǐng)同學(xué)們把穿墻天數(shù)求出來(lái)。

生5：x，y，x指兩鼠的平均速度，y指距離，

這種推導(dǎo)的思想就是“盈不足術(shù)”的思想方法。在沒(méi)有計(jì)算機(jī)的古代，“盈不足術(shù)”已是非常先進(jìn)的算法工具，西方人甚至把它稱為“黃金方法”。它避開(kāi)了每天變化的速度，把含有變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常量的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

我們?cè)儆梅匠痰乃枷肭蠼鈨墒蟠?wèn)題就不再那么難了。設(shè)兩鼠的平均速度x（變量轉(zhuǎn)化為常量是解題的精華），穿墻的距離和為y，2天差0.5尺，3天多3.75尺，列方程組為，穿墻的天數(shù)為，

，

師：接下來(lái)我們很容易就能解決第二個(gè)問(wèn)題了，兩只老鼠分別穿墻幾尺呢？

生6：大鼠穿墻：尺，小鼠穿墻：尺。

師：同學(xué)們，方程的求解經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歷史發(fā)展過(guò)程，我們的古人盡管在《九章算術(shù)》成書(shū)時(shí)代就掌握了負(fù)數(shù)概念、分?jǐn)?shù)運(yùn)算法則、以及移項(xiàng)的方法，但由于代數(shù)符號(hào)的缺失，方程的求解體系無(wú)法形成。直到韋達(dá)創(chuàng)立符號(hào)代數(shù)之后，方程的現(xiàn)代解法才變得可能。盈不足術(shù)和解方程組的思想雖然先進(jìn)，但是會(huì)耗費(fèi)我們大量的時(shí)間和人工，雖然已知公式，已知方法，但是計(jì)算過(guò)程非常繁雜，計(jì)算結(jié)果難免會(huì)出現(xiàn)這樣那樣的錯(cuò)誤。

接下來(lái)我們就來(lái)學(xué)習(xí)“兩鼠穿墻”問(wèn)題的現(xiàn)代解法。（學(xué)習(xí)等比數(shù)列求和公式）

師：同學(xué)們，我們學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的求和公式后，再來(lái)解決“兩鼠穿墻”問(wèn)題是不是更加方便了呢？

生7：n天穿墻距離為

師：同學(xué)們，這個(gè)方法又會(huì)給我們帶來(lái)什么局限性呢？

生8：n是整數(shù)，不能夠精確到幾分之幾天。

師：很好，我們能用我們所學(xué)的知識(shí)求出時(shí)，n的值嗎？

生9：用零點(diǎn)存在性定理解決。

師：接下來(lái)我們就用零點(diǎn)存在性定理解決。

設(shè)

∴s（2）·s（3）<0∴存在x0∈（2，3）使得s（x0）=0

取

，使得時(shí)

依次類(lèi)推，只要給出一個(gè)精確度，就可以求出：時(shí)x0的值。

師：利用數(shù)列求和公式解決就是一個(gè)非常簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)問(wèn)題，特別是求n的整數(shù)值。局限性仍然是計(jì)算量特別大的問(wèn)題。

師：《九章算術(shù)》所創(chuàng)立的機(jī)械算法體系顯示出比西方歐幾里得幾何學(xué)更高的水準(zhǔn)。并將其擴(kuò)展到其它領(lǐng)域，其算法體系至今仍推動(dòng)計(jì)算機(jī)的發(fā)展與應(yīng)用。特別是《九章算術(shù)》中的循環(huán)結(jié)構(gòu)思想對(duì)無(wú)窮數(shù)的推衍和論證起到了至關(guān)重要的作用，也對(duì)計(jì)算機(jī)算法史影響深遠(yuǎn)。我們也可以利用計(jì)算機(jī)編程語(yǔ)言編寫(xiě)兩鼠穿墻問(wèn)題。

師：同學(xué)們：我們可以輸入任一個(gè)T（表示墻的厚度），利用方法一的編程語(yǔ)言，計(jì)算機(jī)直接會(huì)得出精確的穿墻天數(shù);我們也可以輸入精確度m和初始值a，b，利用方法二的編程語(yǔ)言，計(jì)算機(jī)就會(huì)幫我們算出幾乎精確（只要精確度夠?。┑拇μ鞌?shù)。這大大減少了我們的計(jì)算過(guò)程，降低了人力物力成本。當(dāng)然由于老師的水平有限，這兩個(gè)程序不是最完美的，學(xué)過(guò)編程的同學(xué)可以去嘗試編寫(xiě)一個(gè)更加簡(jiǎn)潔完美的程序語(yǔ)言來(lái)解決此類(lèi)問(wèn)題。

中國(guó)古代有很多跟數(shù)學(xué)相關(guān)的著作，例如《九章算術(shù)》、《周髀算經(jīng)》、《數(shù)學(xué)九章》、《孫子算經(jīng)》等，這都是有可能提取出高考數(shù)學(xué)試題素材的書(shū)籍。國(guó)外的書(shū)籍中，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》也是可能的出題素材。另一方面，兩鼠穿墻問(wèn)題從古至今的解法就是一部活生生的數(shù)學(xué)發(fā)展史。這節(jié)課有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)文化、了解數(shù)學(xué)的發(fā)展史。

結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史是曲折的，數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵不僅僅是它本身的知識(shí)，更重要的是它的歷史進(jìn)程，以及在歷史進(jìn)程中的重要地位。數(shù)學(xué)作為一門(mén)科學(xué)，它不是任何一個(gè)時(shí)代、任何一個(gè)民族的單獨(dú)產(chǎn)物，而是若干個(gè)年代，許多個(gè)民族的共同產(chǎn)物。數(shù)學(xué)的每一次發(fā)展都是對(duì)之前理論體系的的提煉與升華，前人思考問(wèn)題的方式給了我們解決新問(wèn)題的靈感和方向。適當(dāng)將數(shù)學(xué)的歷史引入課堂，可以豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)和學(xué)生的數(shù)學(xué)視野。5G的推廣、人工智能的應(yīng)用，航天事業(yè)的發(fā)展、宇宙的探秘等未來(lái)科技行業(yè)需要更多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家參與其中，未來(lái)的社會(huì)將會(huì)更加發(fā)達(dá)，人類(lèi)將涌現(xiàn)更多更優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，我們的學(xué)生也將會(huì)是其中一員。

參考文獻(xiàn)

[1]《九章算術(shù)》第七章“盈不足”