鄧任群

摘 要：數(shù)學(xué)概念課獲取知識(shí)清楚數(shù)學(xué)概念的前世今生懂應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：概念素材;概念形成;概念本質(zhì);概念外延;應(yīng)用

歷經(jīng)高三復(fù)習(xí)的洗禮，有部分學(xué)生的數(shù)學(xué)水平仍達(dá)不到應(yīng)有的高度。其原因錯(cuò)綜復(fù)雜，主因是高一、高二的概念教學(xué)急功近利，概念教學(xué)變成知識(shí)教學(xué)，題型教學(xué)，死記硬背代替理解，缺失概念的生成過程，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)被扼殺于搖籃之中。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)理論的核心和精華，理解和掌握數(shù)學(xué)概念是提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)水平的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)概念課是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，新教材高度重視對(duì)概念的編寫。新教材的數(shù)學(xué)概念課，體現(xiàn)“概念素材—概念形成—概念本質(zhì)—概念外延—強(qiáng)化應(yīng)用方向”的學(xué)習(xí)過程。

一、合理應(yīng)用新教材的概念素材提高概念課效率

有些教師講概念課單刀直入;有些教師濫用情景;最終學(xué)生只獲取知識(shí)點(diǎn)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)缺失。概念課選取的素材要貼近學(xué)生實(shí)際水平，通過閱讀教師所給的概念素材，獨(dú)立思考之后能明白概念的由來。我們選取的素材要與所教概念密切相關(guān)且學(xué)生熟悉。通過看這些親切易懂的素材，引發(fā)學(xué)生“探究”的沖動(dòng)，然后“情不自禁”的投入學(xué)習(xí)中，探討概念的生成過程。新教材中的素材就是很好的材料，我們老師要認(rèn)真閱讀新教材，選取合理的切入點(diǎn)，恰當(dāng)補(bǔ)充，組織合適的語言，設(shè)計(jì)合理有效的提問。新教材的概念素材大概分為三類：

（一）全新的概念

全新概念的界定：與已學(xué)知識(shí)關(guān)聯(lián)很少或沒有關(guān)聯(lián)的概念，表現(xiàn)為公理型或定義型的概念。新教材對(duì)于全新的概念一般都從“為什么要學(xué)習(xí)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)？”的角度出發(fā)，再通過類比素材感受到學(xué)習(xí)概念的必要性和合理性，然后直接給出概念，讓學(xué)生留下清晰深刻準(zhǔn)確的第一印象。如：新教材引入弧度制的概念素材：“度量長度可以用米、英尺、碼等不同的單位制度，度量質(zhì)量可以用千克、磅等不同的單位制。不同的單位制能給解決問題帶來方便。角的度量是否也能用不同的單位制呢？”這樣的素材讓學(xué)生很自然的接受“弧度制”。

（二）初高中一體化的概念

我們站在數(shù)學(xué)知識(shí)連貫性的角度去看，初高中一體化的概念是指用初中已學(xué)知識(shí)能類比、歸納概括推導(dǎo)出高中的知識(shí)。對(duì)于這類型的概念我們要給的素材是提供初中與新學(xué)概念密切相關(guān)的知識(shí)作為概念素材，讓學(xué)生去回顧、觀察、交流，概括出新的知識(shí)。如：一元二次不等式的解，我們要解決這個(gè)概念，給學(xué)生提供初中的一元一次函數(shù)和一元一次不等式的解的關(guān)系，畫一元二次函數(shù)圖像，求一元二次方程的根。根據(jù)以上素材，類比一元一次函數(shù)與一元一次不等式的解的關(guān)系，學(xué)生很自然的推理出一元二次不等式的解。還讓學(xué)生體會(huì)到用函數(shù)的觀點(diǎn)去統(tǒng)一方程與不等式的數(shù)學(xué)思想方法。

（三）同章節(jié)一體化的概念

同一章節(jié)的概念大多具有前后關(guān)聯(lián)的嚴(yán)密邏輯推理關(guān)系。重視問題導(dǎo)向，積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題及主動(dòng)解決問題的能力。在章頭的概念已經(jīng)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)之上，設(shè)置富有啟發(fā)性的問題作為概念的素材，讓學(xué)生根據(jù)提問去自然的探索未知的概念。這樣的素材能學(xué)習(xí)到新的知識(shí)還可以深刻的領(lǐng)悟概念所在的知識(shí)體系。如新教材三角函數(shù)這一章書，在學(xué)習(xí)完三角函數(shù)的定義后，直接拋出問題“根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，將三種函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)填入圖中的括號(hào)”，通過閱讀分析已學(xué)的定義，獨(dú)立思考就能解決問題。構(gòu)建整章研究思路，層層推進(jìn)，接下來的同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等類推得到。

二、不同類型的概念采用不同的生成側(cè)重點(diǎn)提高概念課效率

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)要獲取概念知識(shí)，要獲取概念背后的思維、方法。數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)是在概念的形成過程中自然而然的落地生根。不同類型的概念有不同的側(cè)重點(diǎn)，采用符合概念公式認(rèn)識(shí)特征規(guī)律的教學(xué)方式，方能提高課堂效率。

（一）全新的概念類比、感知概念引入的合理性

公理型和定義型的概念，是一種直接承認(rèn)或接受的知識(shí)。如何讓學(xué)生樂意接受并得到準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)概念是解決這種類型概念的核心？用概念素材讓學(xué)生感到這個(gè)概念產(chǎn)生的合理性，再用各種正面例子、類比中感知和準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)概念，逐步歸納概括概念。如：復(fù)數(shù)概念的生成。首先拋出問題“如何解決判別式小于零時(shí)實(shí)系數(shù)一元二次方程解的問題？”明白復(fù)數(shù)引入的必要性。類比為了解決正方形對(duì)角線長度和x2-2=0無有理數(shù)根的問題，就在有理數(shù)的基礎(chǔ)上引入無理數(shù)，把有理數(shù)集擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集。按照這個(gè)思想，我們引入一個(gè)新數(shù)i，并規(guī)定i2=-1，這樣就解決了方程x2+1=0無實(shí)數(shù)根的問題。再類比實(shí)數(shù)集擴(kuò)充的過程，水到渠成的得到復(fù)數(shù)的概念。

（二）推理型概念重知識(shí)體系的內(nèi)在發(fā)展和歸納概括

初高中一體化的概念和章節(jié)一體化的概念都是推理型的概念。推理型的概念要關(guān)注知識(shí)體系中內(nèi)在發(fā)展的邏輯推理關(guān)系構(gòu)建整章研究思路，層層推進(jìn)。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果;演繹推理是從已有的事實(shí)和確定的規(guī)則出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算;合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理用于證明結(jié)論。[2]如：線面垂直的定義：直線與平面的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面垂直。直線與平面垂直，是直線與平面相交的特殊情況。選能形象生動(dòng)體現(xiàn)線面垂直的生活實(shí)例，讓學(xué)生直接感知直線與平面垂直這種關(guān)系，讓學(xué)生頭腦中留下直面與平面垂直的直觀形象。通過影子實(shí)驗(yàn)，即在陽光下觀察垂直與地面的旗桿及其在地面的影子，隨時(shí)間的變化，影子圍繞旗桿與地面的交點(diǎn)轉(zhuǎn)一圈，但是旗桿的影子始終與旗桿垂直。提出平面內(nèi)不過交點(diǎn)的直線是否與旗桿垂直？根據(jù)異面直線所成角的求法，地面不過旗桿與地面交點(diǎn)的直線可以平移到過交點(diǎn)，并于其中一條影子重合，這樣就歸納概括抽象出直線與平面垂直的定義。通過概念原型例子，逐步歸納出定義型的概念，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)讓概念與思維同行，知識(shí)與能力同步提升。

三、掌握概念本質(zhì)拓展概念外延提高概念課效率

一個(gè)概念完整的理解包括本質(zhì)和外延。本質(zhì)是指辨析概念，外延是指概念體現(xiàn)的各層含義。概念的本質(zhì)隱含了概念的外延，概念的外延加深概念的本質(zhì)的理解。掌握了概念的本質(zhì)和外延才算是真正意義上理解概念，理解了概念，才能記住概念并能運(yùn)用自如。

（一）逐字逐句斟酌概念的本質(zhì)特征

仔細(xì)閱讀教材中的概念，甚至要逐字逐句的去斟酌感悟，再琢磨每個(gè)關(guān)鍵字，慢慢領(lǐng)悟概念所蘊(yùn)含的簡明扼要的本質(zhì)特征。如：三角形的正弦定理，在三角△ABC中角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c則有。正弦定理說的是角與對(duì)邊的比值關(guān)系，知道角與對(duì)邊再加一邊或一角就符合正弦定理。斟酌發(fā)現(xiàn)，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC用來邊化角，sinA=，sinB=，sinC=用來角化邊。這樣我們就得到正弦定理的整體理解，從容的解決各種用到正弦定理解決問題的題目。舉例：在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosA=sinAcosC，且a=2，求△ABC面積的最大值為？此題的精彩之處在于化簡到bcosA=sinB遇到瓶頸，感受到正弦定理角與對(duì)邊的本質(zhì)就會(huì)寫，想到，得到tanA=，整道題有種茅塞頓開的感悟，充滿了解題的自豪感和幸福感。典例加速對(duì)概念本質(zhì)的理解，理解概念的本質(zhì)提高解題的速度。

（二）等價(jià)表達(dá)、特殊化、逆向表達(dá)拓展概念的外延

概念本質(zhì)是概念本身特征的理解，想把概念理解得通透還要拓展概念的外延。等價(jià)表達(dá)概念、概念范圍特殊化、逆向表達(dá)概念去拓展概念的外延，達(dá)到觸類旁通、舉一反三的功效。比如：函數(shù)單調(diào)性“函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮，定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D，若且都有f（x1）

例：設(shè)函數(shù)，則使得成立的x的取值范圍是（ ）

A. B.

C. D.

解：f（x）是偶函數(shù)，在[0，+∞）是增函數(shù)，所以

快速簡潔解決問題。

四、概念納入知識(shí)體系思維導(dǎo)圖強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)提高課堂效率

李士锜認(rèn)為：“學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)學(xué)概念、原理、法則，如果在心理上組織起適當(dāng)?shù)挠行дJ(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使之成為個(gè)人內(nèi)部的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一部分，那么就說明是理解了。[3]”章建躍博士說：“要以數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)問題和解決問題為核心任務(wù)，以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過程和理解數(shù)學(xué)知識(shí)的心理過程為基本線索，為學(xué)生構(gòu)建前后一致邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程，使他們?cè)谡莆諗?shù)學(xué)知識(shí)的過程中學(xué)會(huì)思考”。[4]學(xué)習(xí)概念就是為了認(rèn)識(shí)和解決問題，孤立的概念難堪大用，把新學(xué)零散的概念融入知識(shí)體系方能發(fā)揮概念的最大功能。解決問題用到具體的概念知識(shí)、方法，要從整章的角度建立知識(shí)方法認(rèn)知結(jié)構(gòu)，即以大問題套小問題、以小問題套方法、以方法套具體知識(shí)，構(gòu)建層次分明的知識(shí)方法思維導(dǎo)圖。把大問題、小問題、方法揉合成一個(gè)整體，站在整章的制高點(diǎn)去審視如何解題。

學(xué)習(xí)概念要明白概念的來龍去脈，概念形成的過程中總結(jié)數(shù)學(xué)方法，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，感受數(shù)學(xué)文化;明確概念的本質(zhì)，頭腦中留下簡潔的印象特征;拓展概念的外延去激活思維達(dá)到舉一反三的功效;新學(xué)孤立的概念融入知識(shí)體系，刻畫出思維導(dǎo)圖，發(fā)揮概念快速解決問題的終極目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)

[1]匡繼昌.如何理解和掌握數(shù)學(xué)概念的教學(xué)實(shí)踐與研究[J]。數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（6）：74—78.

[2]中華人民共和國教育部。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（211年版）[M]。北京：北京師范大學(xué)出版社，2012

[3]章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生會(huì)思考[J]。數(shù)學(xué)通報(bào)：2013（6）：5-8，封底

[4]李昭平.從等差數(shù)列向等比數(shù)列類比[J]。中學(xué)教研（數(shù)學(xué)）：2017（10）：27-29