劉云莊

摘 要：高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生合理選擇運(yùn)算途徑，旨在確保運(yùn)算迅速且運(yùn)算準(zhǔn)確性。在高中解析幾何綜合大題復(fù)習(xí)中，運(yùn)算能力一直是考驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力與思維品質(zhì)的重要指標(biāo)之一。文章基于高中數(shù)學(xué)幾何綜合大題為案例，探討如何有效提升學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)，培養(yǎng)能力。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);幾何試題;運(yùn)算能力;探討

提到數(shù)學(xué)運(yùn)算，高中數(shù)學(xué)解析幾何綜合題占據(jù)重要位置，因?yàn)榻馕鰩缀尉C合題避免不了大量的運(yùn)算過程。且看2015江蘇高考第18題試題：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓的離心率且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3。求：（1）略，文章不討論本小題;（2）過F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P，C，若PC=二、B，求直線AB的方程。

看完這道題目，大家先不看解題過程，自己試著做下，是不是有以下解題思路：①設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）;②由直線方程與橢圓方程，聯(lián)立消元整理為關(guān)于x的一元方程;③利用根與系數(shù)關(guān)系，計(jì)算弦長(zhǎng)AB;④再利用根與系數(shù)關(guān)系，求出點(diǎn)C坐標(biāo)，進(jìn)而寫出直線PC的方程;⑤求出點(diǎn)P坐標(biāo)，計(jì)算出PC的長(zhǎng);⑥解方程PC=二、B，求出k值，再寫出直線AB的方程。然而，你真正計(jì)算發(fā)現(xiàn)，這里涉及5次運(yùn)算：一是直線方程代入橢圓方程的一元二次方程，二是弦長(zhǎng)AB，三是C點(diǎn)坐標(biāo)，四是PC的長(zhǎng)度，五是解方程PC=二、B。到最后，能順利得做出來嗎？在教學(xué)分析中，筆者在多媒體課件展示過具體官方解題過程：

看完第（2）題的官方參考解題過程，不難發(fā)現(xiàn)：解決的關(guān)鍵在于運(yùn)算！怎樣才能有效運(yùn)算呢？其實(shí)這就是考驗(yàn)教師對(duì)學(xué)生的方法指導(dǎo)。由于運(yùn)算能力是解題思路與運(yùn)算技能的結(jié)合，數(shù)學(xué)解題離不開一定的數(shù)學(xué)運(yùn)算。再看高考數(shù)學(xué)對(duì)運(yùn)算能力的考查分為三種：一是根據(jù)法則、公式進(jìn)行運(yùn)算與變形;二是根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)便的運(yùn)算途徑的基本要求;三是根據(jù)題目要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估算或近似計(jì)算。

一、高考數(shù)學(xué)運(yùn)算中運(yùn)算與變形問題

隨著新高考的改革，高考解題幾何綜合題運(yùn)算不是簡(jiǎn)單的認(rèn)為是“加減乘除”，而是涉及大量的字?jǐn)?shù)代數(shù)式計(jì)算，好比小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)簡(jiǎn)便運(yùn)算，即如何最快最準(zhǔn)確的完成運(yùn)算工作。在根據(jù)上面的高考試題中，看如何做到運(yùn)算與變形：

（一）關(guān)于消元整理得到關(guān)于x一元二次方程問題

首先，直線AB的方程代入橢圓方程中，由于，這個(gè)方程組中能想到分式化成整式的運(yùn)算，而不是將整理成。接著，需要了解到一元二次方程的結(jié)構(gòu)特征，諸如一道解析幾何綜合題出現(xiàn)過二次三項(xiàng)式的問題，能整理嗎？

曾看到學(xué)生這樣整理：

……

還看到學(xué)生這樣整理：

……

其實(shí)，教師不能否認(rèn)這些同學(xué)的運(yùn)算是正確的，但是這樣計(jì)算下去顯然缺乏方向感。這樣的計(jì)算方法顯然是錯(cuò)誤的，需要尋找新的方法。其實(shí)這道題的目標(biāo)是關(guān)于x的一元二次方程，正確的做法是應(yīng)該將變成完全平方式，即。

（二）關(guān)于AB弦長(zhǎng)的問題

在解析幾何綜合大題中，直線被圓錐曲線截得的弦長(zhǎng)一直是常規(guī)題型，很多學(xué)生考慮到運(yùn)用弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解。在前文中高考試題弦長(zhǎng)AB計(jì)算過程如下：

（三）關(guān)于PC長(zhǎng)的問題

需確定C點(diǎn)坐標(biāo)，尤其橫坐標(biāo)用根與系數(shù)的關(guān)系得出，即，再由點(diǎn)C在直線y=k（x-1）上得到，。接著，由PC⊥AB能得到直線PC的方程為，又點(diǎn)P在左準(zhǔn)線x=-2上，所以。下面探討這個(gè)代數(shù)式的化簡(jiǎn)，即整個(gè)運(yùn)算關(guān)鍵過程所在！也許你會(huì)想到先通分再化簡(jiǎn)，即

也有同學(xué)想到先展開再合并同類項(xiàng)，即

最后，計(jì)算PC長(zhǎng)會(huì)有兩種不同的表達(dá)方式，會(huì)遇到不一樣的運(yùn)算處境。

方法一：

方法二：

其實(shí)，方法一運(yùn)用了通分運(yùn)算是解題突破口，看似通分運(yùn)算比較繁瑣，然而在通分后的代數(shù)式結(jié)構(gòu)可以用相同的公因式，將根式計(jì)算簡(jiǎn)單化。而方法二始終將分母1+2k2作為一個(gè)整體看待，沒有縱橫聯(lián)合，到此很多學(xué)生走上平方式展開整理的歧途。實(shí)際上，代數(shù)式的運(yùn)算與數(shù)字運(yùn)算都需要簡(jiǎn)便運(yùn)算，到了高中數(shù)學(xué)的運(yùn)算是代數(shù)式的運(yùn)算問題，即運(yùn)用簡(jiǎn)便運(yùn)算時(shí)分析代數(shù)式的結(jié)構(gòu)需要有一個(gè)整體把握。在方法二中，若能發(fā)現(xiàn)與的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)：，問題就能迎刃而解。

二、高考數(shù)學(xué)運(yùn)算中運(yùn)算途徑的選擇問題

解析幾何綜合大題的核心就是運(yùn)算，運(yùn)算才是硬道理！但運(yùn)算不等于盲目運(yùn)算，盲目運(yùn)算就是將自己“算死”。教師需要強(qiáng)調(diào)學(xué)生在這類大題運(yùn)算過程中如何巧妙地選擇運(yùn)算途徑。那么如何設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)便運(yùn)算途徑呢？針對(duì)上面的試題，這節(jié)再深入探討，做到充分利用題目已知信息，進(jìn)行合理、恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化。

（一）關(guān)于AB弦長(zhǎng)的問題

在平面解析幾何中，關(guān)于弦長(zhǎng)很多人都會(huì)選擇弦長(zhǎng)公式，然而在這道試題中利用直線過橢圓焦點(diǎn)，即焦點(diǎn)弦問題，則利用焦半徑求弦長(zhǎng)能大大降低運(yùn)算量，即。

（二）關(guān)于PC長(zhǎng)的問題

求PC的長(zhǎng)一定要用兩點(diǎn)間距離公式嗎？在前面的解法中了解，運(yùn)算難度都是因?yàn)閮牲c(diǎn)間的距離公式引起的，那么在一條直線上的兩點(diǎn)間距離要怎么求呢？實(shí)際上，兩點(diǎn)間的距離公式是建立在平面上任意兩點(diǎn)之間的，一單兩點(diǎn)在一條斜率給定的直線，這個(gè)時(shí)候的兩點(diǎn)間距離就是弦長(zhǎng)。在解析幾何中，知道弦長(zhǎng)公式的表達(dá)式需要用到x1+x2與x1·x2，這里再用根與系數(shù)關(guān)系處理（設(shè)而不求）。我們知道x1與x2，還是用弦長(zhǎng)公式求解弦長(zhǎng)嗎？。

因此，

這樣，我們直接避開了求直線PC的直線方程與P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，將運(yùn)算難度大大降低。

（三）關(guān)于切入點(diǎn)的問題

在上面的討論中談到解析幾何如何尋找切入點(diǎn)非常關(guān)鍵。在本題中為了求直線方程，且知道該直線過定點(diǎn)F。因此引入直線的斜率來求解問題是最符合正常邏輯思維的事情，然而又考慮到等量關(guān)系PC=二、B，我們要考慮用什么量來表達(dá)這個(gè)程度又是需要思考的問題。

在上面的分析中，，，另一方面，。為此，線段PC、AB的長(zhǎng)度都與點(diǎn)C坐標(biāo)有關(guān)，即我們可以通過設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)來處理問題，這樣能有效避開大量的運(yùn)算問題（一元二次方程、弦長(zhǎng)公式、C點(diǎn)坐標(biāo)、兩點(diǎn)間距離公式），運(yùn)算量直接降低。由PC=二、B得，（*）

這是唯一的代數(shù)式運(yùn)算問題，問題是里面涉及兩個(gè)未知數(shù)，如何求解？還得找一個(gè)能建立有關(guān)于xc與yc的方程嗎？其實(shí)，這里需要涉及終點(diǎn)弦問題中的“點(diǎn)差法”。為此，由，得，所以，

再將這個(gè)式子代入（*）得，

，

即，

兩邊平方整理得，，即。

結(jié)束語

高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中，運(yùn)算是一種重要內(nèi)容，為此如何選擇合理的運(yùn)算途徑成為運(yùn)算能力培養(yǎng)的核心。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)不同條件與題目特點(diǎn)，合理選擇運(yùn)算途徑是提高運(yùn)算能力的關(guān)鍵，并善于通過觀察、分析、比較，作出合理的選擇。

參考文獻(xiàn)

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