如何正確運用χ2檢驗
——秩和檢驗與SAS實現(xiàn)

胡純嚴(yán) ，胡良平 ，2*

（1.軍事科學(xué)院研究生院，北京 100850；2.世界中醫(yī)藥學(xué)會聯(lián)合會臨床科研統(tǒng)計學(xué)專業(yè)委員會，北京 100029*通信作者：胡良平，E-mail：lphu927@163.com）

在對單因素資料進(jìn)行差異性分析時，若發(fā)現(xiàn)資料不滿足參數(shù)檢驗的前提條件，宜選用適用面寬的非參數(shù)檢驗。其中，秩和檢驗可能是常被選用的方法之一。本文將介紹兩樣本資料秩和檢驗［1-6］、多樣本資料秩和檢驗［1-6］以及前述兩種情形下都可能會用到的10種評分方法［1］。

1 兩樣本資料秩和檢驗

1.1 簡單線性秩檢驗

1.1.1 未分層資料的簡單線性秩檢驗

未分層資料的簡單線性秩檢驗的檢驗統(tǒng)計量［1］見式（1）：

在式（1）中，z是一個服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的檢驗統(tǒng)計量（即隨機變量），S、E0(S)和Var0(S)分別代表未分層資料的“簡單線性秩統(tǒng)計量”“簡單線性秩統(tǒng)計量的期望值”和“簡單線性秩統(tǒng)計量的方差”，定義分別見式（2）、式（3）、式（4）：

在上述三式中，各變量的含義如下：Rj是第j個觀測或個體的秩；a（Rj）是基于第j個觀測的秩的得分（注意：評分的具體方法有多種，將在后文介紹）；Cj是指示變量代表第j個觀測所在的組；n代表總觀測數(shù)（即總樣本含量）；n1代表第1組（較小樣本含量）樣本含量；n2代表第2組樣本含量；是平均得分。

基于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布理論和式（1）計算所得到的z值，可計算出與z對應(yīng)的正態(tài)分布曲線下尾端的概率P值，右單側(cè)概率、左單側(cè)概率和雙側(cè)概率分別見式（5）、式（6）、式（7）：

連續(xù)性校正：當(dāng)基于Wilcoxon和Siegel-Tukey評分且進(jìn)行漸近雙側(cè)檢驗時，SAS/STAT的NPAR1WAY過程將默認(rèn)進(jìn)行連續(xù)性校正，即當(dāng)式（1）分子的計算結(jié)果大于0時，分子減掉0.5；當(dāng)式（1）分子的計算結(jié)果小于0時，分子加上0.5。若想取消連續(xù)性校正，需要在“PROC NPAR1WAY”語句中增加選項“CORRECT=NO”。

1.1.2 分層資料的簡單線性秩檢驗

若資料中有一個分層因素（通常稱其為重要非試驗因素），設(shè)其有K（K＞2）個水平，在分層因素的每個水平下，試驗因素均有兩個水平（即兩個對比組）。于是，分層資料的簡單線性秩檢驗的檢驗統(tǒng)計量［1］見式（8）：

式（8）中，z是一個服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的檢驗統(tǒng)計量（即隨機變量），T、E0(T)和Var0(T)分別代表分層資料的“簡單線性秩統(tǒng)計量”“簡單線性秩統(tǒng)計量的期望值”和“簡單線性秩統(tǒng)計量的方差”，其定義分別見式（9）、式（10）、式（11）：

在以上三式中，Sk為第k層的“簡單線性秩統(tǒng)計量”，wk為第k層的權(quán)重，其定義見式（12）：

在式（12）中，nk為第k層的樣本含量。如果在“STRATA”語句中，指定“WEIGHTS=STRATUM”，則wk=1/(nk+1 )；如果指定“WEIGHTS=EQUAL”，則wk=1。

1.2 Fligner-Policello檢驗

1.2.1 概述

Fligner和Policello于1981年提出的比較兩組定量資料中位數(shù)的檢驗方法［1］，被稱為“Fligner-Policello檢驗法”。該法假定每組定量資料服從對稱分布，但不要求兩組定量資料具有相同的分布，也不要求兩組定量資料的方差相等。該法是基于Orban和Wolfe于1979年提出的“配置得分”而構(gòu)建。設(shè)有X與Y兩個組，來自X組的觀測Xi的配置得分記為P（Xi），其取值定義如下：P（Xi）=Y組中取值小于Xi的數(shù)據(jù)個數(shù)；如果遇到相等的數(shù)值，需要對P（Xi）進(jìn)行校正，即在已知P（Xi）的基礎(chǔ)上增加Y組中取值等于Xi的數(shù)據(jù)個數(shù)的一半。對來自Y組的觀測Yj的配置得分記為P（Yj），其取值定義與P（Xi）相同。

1.2.2 配置得分的定義

在式（13）、式（14）中，nX和nY分別代表X組與Y組的樣本含量；I(·)是指示函數(shù)。于是，兩組各自的平均配置得分的計算公式分別見式（15）、式（16）：

1.2.3 Fligner-Policello檢驗統(tǒng)計量

Fligner-Policello檢驗統(tǒng)計量見式（17）：

在式（17）中，z是一個服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的檢驗統(tǒng)計量（即隨機變量）；VX和VY的計算分別見式（18）、式（19）：

X和Y與兩個組的配置得分的標(biāo)準(zhǔn)差分別見式（20）、式（21）：

【說明】P值的定義與式（5）、式（6）、式（7）相同，此處從略。

2 多樣本資料秩和檢驗

2.1 概述

對多組定量資料進(jìn)行比較的秩和檢驗法常有下面兩個名稱，第一個叫做“單因素ANOVA檢驗”；第二個叫做“Kruskal-Wallis檢驗（采取Wilcoxon評分法）”。其實，它們本質(zhì)上都屬于“χ2檢驗”。當(dāng)對多組定量資料進(jìn)行整體比較時，其檢驗假設(shè)為“H0：各組之間沒有差別”。

2.2 多組之間的整體比較

設(shè)有一個具有r個水平的試驗因素，對定量資料進(jìn)行r組之間的整體比較時，所需要的檢驗統(tǒng)計量［1］見式（22）：

在式（22）中，C是一個服從自由度為df=r－1的χ2分布的檢驗統(tǒng)計量；ni是第i個水平組的樣本含量；Ti是第i個水平組的得分之和；E0（Ti）是在H0成立的條件下第i個水平組的期望秩和；S2是得分的樣本方差。Ti、E0（Ti）和S2的計算公式分別見式（23）、式（24）、式（25）：

2.3 多組之間的兩兩比較

2.3.1 概述

由Dwass、Steel、Critchlow和Fligner提出的多重比較方法，簡稱為“DSCF檢驗法”。此法從r(r＞2)個組中每次抽取兩組進(jìn)行比較，故總共需要比較r×(r-1)/2次。每次比較都基于標(biāo)準(zhǔn)化的威爾科克森檢驗統(tǒng)計量，即采取威爾科克森法評分，并采用式（1）計算z統(tǒng)計量。

2.3.2 DSCF檢驗統(tǒng)計量

基于標(biāo)準(zhǔn)化的威爾科克森z檢驗統(tǒng)計量構(gòu)造出DSCF檢驗統(tǒng)計量見式（26）：

在式（26）中，z是采取威爾科克森法評分，并采用式（1）計算的結(jié)果（注意：每次比較只涉及兩組定量資料）；而DSCF是一個近似服從于“r個標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的學(xué)生化極差分布”的檢驗統(tǒng)計量。兩樣本DSCF比較的P值可以通過下面的方法求出，即將DSCF統(tǒng)計量的值視為學(xué)生化極差分布的百分位數(shù)，從而，基于學(xué)生化極差分布下特定百分位數(shù)計算出分布曲線下尾端的概率，即為所求的P值。

3 秩和檢驗中的評分方法

3.1 概述

秩和檢驗的一個特點就是不直接利用原始數(shù)據(jù)，而是先根據(jù)原始數(shù)據(jù)的大小給它們編秩。所謂編秩，就是給每個原始數(shù)據(jù)賦予一個自然數(shù)，代表每個原始數(shù)據(jù)在一組和整個資料中的“相對位置”。然后再依據(jù)不同的數(shù)學(xué)原理，對每個“秩”進(jìn)行“評分”或“賦值”。SAS/STAT的NPAR1WAY過程［1］中介紹了十多種評分方法，現(xiàn)呈現(xiàn)其主要內(nèi)容。

3.2 用于位置比較的評分方法

3.2.1 威爾科克森（Wilcoxon）評分法

威爾科克森評分是觀測的秩，可用公式表示如下：

在式（27）中，Rj是第j個觀測的秩，而a（Rj）是第j個觀測的評分。

【說明】在兩樣本資料的線性秩統(tǒng)計量中采用威爾科克森評分產(chǎn)生Mann-Whitney-Wilcoxon檢驗的秩和統(tǒng)計量；在多樣本資料的單因素ANOVA統(tǒng)計量中采用威爾科克森評分產(chǎn)生Kruskal-Wallis檢驗的秩和統(tǒng)計量；對于logistic分布的位置改變來說，威爾科克森評分是局部最有效能的。

3.2.2 中位數(shù)（Median）評分法

當(dāng)資料中的觀測值大于中位數(shù)時，則該觀測的中位數(shù)評分等于1；否則，中位數(shù)評分等于0。依據(jù)觀測的秩，中位數(shù)評分的定義見下式：

【說明】在兩樣本資料的線性秩統(tǒng)計量中采用中位數(shù)評分產(chǎn)生兩樣本中位數(shù)檢驗的秩和統(tǒng)計量；在多樣本資料的單因素ANOVA統(tǒng)計量中采用中位數(shù)評分產(chǎn)生Brown-Mood檢驗的秩和統(tǒng)計量；中位數(shù)評分用于尾部抬高且對稱分布時，效能特別高。

3.2.3 Van der Waerden（正態(tài)）評分

Van der Waerden評分是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)，也被稱為分位數(shù)正態(tài)評分。該評分的計算公式見式（29）：

在式（29）中，Φ是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累計分布函數(shù)。對于正態(tài)分布而言，這些評分的效能極高。

3.2.4 Savage評分

Savage評分是來自指數(shù)分布的順序統(tǒng)計量的期望值，通過減掉1使評分的中心位于0附近。該評分的計算公式見式（30）：

Savage評分在以下兩種情形中具有高效能，其一，在指數(shù)分布中比較尺度差異；其二，在極值分布中比較位置變化。

3.3 用于尺度比較的評分方法

3.3.1 Siegel-Tukey評分

Siegel-Tukey評分的定義如下：

a(1)=1，a(n)=2，a(n-1)=3，a(2)=4

a(3)=5，a(n-2)=6，a(n-3)=7，a(4)=8，…

這里得分值按此模式朝著中間連續(xù)增加，直到全部觀測中的每個觀測都被賦予一個得分值為止。

【說明】當(dāng)進(jìn)行Siegel-Tukey兩樣本檢驗的計算時，SAS/STAT中NPAR1WAY過程默認(rèn)需要進(jìn)行校正；如果用戶不想進(jìn)行校正，需要在“PROC NPAR1WAY”語句中增加選項“CORRECT=NO”。

3.3.2 Ansari-Bradley評分

Ansari-Bradley評分為對應(yīng)的極端秩賦予相同的得分，其定義如下：

a(1)=1，a(n)=1，a(2)=2，a(n-1)=2

a(3)=3，a(n-2)=3，a(4)=4，a(n-3)=4，…

等價地，Ansari-Bradley評分可用如下通式表示：

3.3.3 Klotz評分

Klotz評分是Van der Waerden評分的平方，其定義如下：

在式（32）中，Φ是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累計分布函數(shù)。

3.3.4 Mood評分

Mood評分按照觀測的秩與平均秩之差量的平方進(jìn)行計算，其定義如下：

3.4 用于位置和尺度比較的評分方法

Conove評分是基于觀測值與其樣本算術(shù)平均值之離差絕對值的秩的平方，對于第j個觀測而言，其定義如下：

在式（34）中，Uj的計算見式（35）：

在式（35）中，i代表第i個樣本（組）；j代表第i個樣本中第j個觀測；Xj(i)代表第i樣本中第j個觀測的觀測值；i代表第i個樣本的算術(shù)平均值；Uj代表第i個樣本中第j個觀測的秩。

【說明】Conove于1999年提出，若在第i個樣本的全部Uj中出現(xiàn)了相同的數(shù)值（稱為“ties”），則先按無相同數(shù)據(jù)編秩（即給予編號），再求那幾個相同數(shù)據(jù)所對應(yīng)秩的算術(shù)平均值，并以此平均值作為它們的“秩”。Conove評分檢驗也被稱為“方差的平方秩檢驗”。

4 實例與SAS實現(xiàn)

4.1 問題與數(shù)據(jù)

【例1】某地59例女性類風(fēng)濕性關(guān)節(jié)炎患者參加了一項臨床試驗［1］，她們被隨機分配進(jìn)入試驗組（n=27）與安慰劑對照組（n=32）。結(jié)果變量有5種不同的取值，即“療效特好=5”“療效尚好=4”“療效中等=3”“療效一般=2”和“療效差=1”。記錄每位患者所接受的處理和療效的具體取值，臨床試驗結(jié)果以頻數(shù)表形式呈現(xiàn)，詳見后面的SAS程序，此處從略。試對兩組有序資料進(jìn)行秩和檢驗，以評價兩種治療方法的效果差異是否有統(tǒng)計學(xué)意義。

4.2 SAS實現(xiàn)

4.2.1 對例1的SAS實現(xiàn)

【分析與解答】設(shè)所需要的SAS程序如下：

【程序說明】“從ab到fp”這10個選項是秩和檢驗中的10種評分方法；其中，“fp”是前文介紹的Fligner-Policello檢驗法。

【SAS輸出結(jié)果及解釋】因篇幅所限，以下僅呈現(xiàn)“威爾科克森檢驗結(jié)果”，其他檢驗方法輸出的結(jié)果從略。

以上是威爾科克森檢驗輸出的第1部分結(jié)果，即輸出兩組描述性統(tǒng)計量的計算結(jié)果，治療組的平均秩為37.00分，對照組的平均秩為24.09分。

以上是威爾科克森檢驗輸出的第2部分結(jié)果，即以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為理論根據(jù)計算得到的結(jié)果，雙側(cè)檢驗的P=0.0046＜α=0.05。

以上是威爾科克森檢驗輸出的第3部分結(jié)果，即以χ2分布為理論根據(jù)計算得到的結(jié)果，P=0.0031＜α=0.05。

【統(tǒng)計結(jié)論與專業(yè)結(jié)論】由輸出結(jié)果可知，前4種檢驗方法和第10種檢驗方法給出的檢驗結(jié)果均為P＜0.05，說明治療組與對照組療效的“平均秩”或“中位數(shù)”之間差異有統(tǒng)計學(xué)意義；由于治療組的“平均秩”或“中位數(shù)”大于對照組的“平均秩”或“中位數(shù)”，又因評分值越大標(biāo)志著療效越好，故可以認(rèn)為“active”治療方法的效果優(yōu)于安慰劑。

第5～8種檢驗方法的檢驗結(jié)果均為P＞0.05，說明治療組與對照組療效的“離散度（即尺度參數(shù)）”之間差異無統(tǒng)計學(xué)意義，即兩組有序資料的變化范圍接近一致。

第9種檢驗方法的檢驗結(jié)果為P＞0.05，說明治療組與對照組療效的“位置參數(shù)”和“離散度（即尺度參數(shù)）”綜合的指標(biāo)之間差異無統(tǒng)計學(xué)意義。

5 討論與小結(jié)

5.1 討論

秩和檢驗有兩個優(yōu)點：其一，對資料的要求不高；其二，選擇不同的評分方法可以分別實現(xiàn)“位置參數(shù)（如平均值、平均秩、中位數(shù)）”“尺度參數(shù)（如標(biāo)準(zhǔn)差、分位數(shù)間距）”和“位置參數(shù)以及尺度參數(shù)”的比較。其缺點在于：不適合分析多因素資料。為了保留對資料要求不高的優(yōu)點，又能夠處理多因素資料，需要選擇復(fù)雜的非參數(shù)統(tǒng)計分析方法［6-8］。

5.2 小結(jié)

本文介紹了適用于分析單因素資料的秩和檢驗方法，包括分析單因素兩水平設(shè)計資料的“簡單線性秩檢驗”和單因素多水平設(shè)計資料的“單因素多水平ANOVA檢驗”。詳細(xì)介紹了在前述兩類檢驗中都不可缺少的10種評分方法。通過一個實例并借助SAS軟件，實現(xiàn)了單因素兩水平設(shè)計資料的簡單線性秩檢驗，呈現(xiàn)了10種評分方法計算所得到的結(jié)果，對輸出結(jié)果作出了解釋，并給出了統(tǒng)計結(jié)論和專業(yè)結(jié)論。