曹海靜, 范靜怡, 曹 沐, 高俊杰, 夏明高, 王 驄

(1.上海電力大學 數(shù)理學院, 上海 200090; 2.中山大學 物理學院, 廣東 廣州 510275)

隱形傳態(tài)是指某物在一處突然消失,同時在另一處突然出現(xiàn)的現(xiàn)象。簡單地說,量子態(tài)攜帶的信息從一個地方移動到另一個地方,就是量子隱形傳態(tài),其安全性優(yōu)于經(jīng)典通信。這是由于量子的不可克隆定律和測不準原理,在傳送過程中,一旦竊聽者獲取了量子信道傳送的信息,則量子信道立即被破壞,竊聽者僅僅通過經(jīng)典方式無法復制量子態(tài)的信息,從而保證了信息傳遞的安全性。

自從1993年BENNETT C H等人[1]首次提出量子隱形傳態(tài)方案后,人們開始對這種絕對安全的信息傳遞方式產(chǎn)生興趣,從理論和實驗兩方面都進行了深入研究[2-16]。1998年,KALSSON A等人[2]提出了一種可控量子隱形傳態(tài)方案,增加了第三方作為控制者,決定此次傳態(tài)是否成功。CHEN Y[5]提出了基于五粒子糾纏態(tài)實現(xiàn)雙向受控的量子隱形傳態(tài)方案;YAN A[6]提出了利用六粒子Cluster態(tài)實現(xiàn)雙向受控的量子隱形傳態(tài)方案。其后,不同量子信道的雙向受控量子隱形傳態(tài)方案、雙向非對稱可控量子隱形傳態(tài)方案[7-8]等相繼被提出。2000年,LU H等人[9]和IKRAM M等人[10]分別提出了兩粒子糾纏態(tài)的量子隱形傳態(tài)方案。之后,三粒子GHZ態(tài)、三粒子W態(tài)的量子隱形傳態(tài)方案[11-12]分別被提出,人們開始關注多粒子態(tài)的量子隱形傳態(tài)方案。CAO Z L等人[13]和CAO M等人[14]提出了任意N粒子態(tài)的量子隱形傳態(tài)方案,CHEN P X等人[15]提出了基于真實N粒子糾纏態(tài)信道的任意N粒子量子隱形傳態(tài)方案。這些量子隱形傳態(tài)方案逐步提高了信息傳遞的安全性和效率,同時也推動了量子通信和量子計算等領域的進步。

本文從最簡單的單粒子未知量子態(tài)的隱形傳態(tài)出發(fā),再到兩粒子的未知量子態(tài),最后到多粒子的未知量子態(tài),實現(xiàn)了多方控制的雙向量子隱形傳態(tài)。利用Bell態(tài)和GHZ態(tài)作為量子信道,采用Bell基測量和適當?shù)膯瘟Ｗ隅壅僮鳌７桨覆僮骱唵?傳輸效率高,具有絕對的安全性。

1 兩方控制的任意單粒子未知態(tài)雙向隱形傳態(tài)方案

文獻[17]介紹了一種基于三粒子GHZ態(tài)的雙向量子可控隱形傳態(tài)方案,將一個控制者Charlie進行的粒子聯(lián)合測量拆分為兩個控制者Charlie和David進行的單粒子測量。

假設Alice要傳送給Bob的粒子A,以及Bob要傳送給Alice的粒子B的量子態(tài)分別為

|φ〉A=(A0|0〉+A1|1〉)A

(1)

|φ〉B=(B0|0〉+B1|1〉)B

(2)

其中,A0,A1,B0,B1為任意系數(shù),滿足|A0|2+|A1|2=1,|B0|2+|B1|2=1。

Alice,Bob,Charlie,David共享兩個三粒子GHZ糾纏態(tài)作為量子信道,其形式為

(3)

(4)

其中,粒子1和粒子4屬于Alice,粒子2和粒子5屬于Bob,粒子3屬于Charlie,粒子6屬于David。

此時,量子系統(tǒng)的量子態(tài)為

(5)

4個Bell態(tài)分別為

(6)

首先,Alice對粒子A和粒子1、Bob對粒子B和粒子5做Bell測量,并將測量結(jié)果通過經(jīng)典信道告知對方以及控制者Charlie和David。由于有4種不同的Bell基,測量后粒子A、粒子B、粒子3、粒子6的量子態(tài)塌縮為以下16種不同結(jié)果中的一種,且得到每種結(jié)果的概率相同。

式中,從左到右的符號“±”“+”分別表示Alice和Bob所做Bell測量的Bell基符號。

假如Alice和Bob的測量結(jié)果都是|φ+〉,則粒子2、粒子3、粒子4、粒子5的量子態(tài)塌縮為

|ψ〉2346=[A0B0|0000〉+A0B1|0011〉+

A1B0|1100〉+A1B1|1111〉]2346

(11)

Alice和Bob是否可以成功復制量子態(tài)和傳遞信息,取決于控制者Charlie和David是否同意。如果Charlie和David不希望傳態(tài)繼續(xù),那么Alice和Bob僅根據(jù)對方的信息無法還原未知量子態(tài),也就無法完成此次隱形傳態(tài)。如果Charlie和David允許Alice和Bob繼續(xù)傳態(tài),那么根據(jù)Alice和Bob的測量結(jié)果,Alice,Bob,Charlie,David分別對粒子2、粒子4、粒子3、粒子6進行相應的單粒子幺正變換,即I,σx,σy,σz。Alice的測量結(jié)果、Bob的幺正變換,以及控制者Charlie和David的幺正變換之間的對應關系如表1所示。

表1 Alice的測量結(jié)果及Bob和控制者的幺正變換操作

然后,Charlie和David分別對粒子3和粒子6進行H變換,H變換后粒子2、粒子3、粒子4、粒子6的量子態(tài)為

(12)

最后,Charlie和David分別對粒子3和粒子6進行單粒子態(tài)測量,并將測量結(jié)果通過經(jīng)典信道告知Alice和Bob。Alice和Bob接收到所有信息后,分別對粒子4和粒子2進行相應的幺正變換(I或σz),即可還原對方的量子態(tài),實現(xiàn)雙向隱形傳態(tài)。

2 兩方控制的任意二粒子未知態(tài)雙向隱形傳態(tài)方案

假設Alice和Bob要向?qū)Ψ絺魉偷亩Ｗ討B(tài)分別為

Alice,Bob,Charlie,David共享2個EPR對和2個四粒子GHZ糾纏態(tài)作為量子信道,其形式為

(15)

(16)

(17)

(18)

其中,粒子1、粒子3、粒子7、粒子9屬于Alice,粒子2、粒子4、粒子8、粒子10屬于Bob,粒子5和粒子11屬于Charlie,粒子6和粒子12屬于David。

此時,系統(tǒng)的狀態(tài)為

(19)

Alice對粒子(a,1)和粒子(b,3),Bob對粒子(c,8)和粒子(d,10)分別進行Bell基測量,并將測量結(jié)果通過經(jīng)典信道告知對方以及控制者Charlie和David。根據(jù)不同的測量結(jié)果,Alice對粒子7和粒子9,Bob對粒子2和粒子4進行相應的幺正變換,Charlie和David分別對粒子5、粒子6、粒子11、粒子12進行相應的單粒子幺正變換。測量結(jié)果與相應的幺正變換之間關系如表1所示。

然后,Charlie和David分別對粒子5、粒子6、粒子11、粒子12進行H變換和單粒子測量,并將測量結(jié)果通過經(jīng)典信道告知Alice和Bob。Alice和Bob根據(jù)Charlie和David的測量結(jié)果,進行相應的幺正變換,就可以復制出Alice的未知態(tài)|φ〉A和Bob的未知態(tài)|φ〉B。

假設Alice和Bob進行的4組Bell基測量結(jié)果均為|φ+〉,則測量后粒子2、粒子4、粒子5、粒子6、粒子7、粒子9、粒子11、粒子12的量子態(tài)塌縮為

|ψs〉=a1〈φ+|b3〈φ+|c8〈φ+|d10〈φ+|ψ〉=

[(A1|00〉+A3|10〉)24?(|00〉)56+

(A2|01〉+A4|11〉)24?(|11〉)56]?

[(B1|00〉+B3|10〉)79?(|11〉)1112+

(B2|01〉+B4|11〉)79?(|11〉)1112]

(20)

根據(jù)測量結(jié)果可知,Alice和Bob對粒子7、粒子9、粒子2、粒子4,Charlie和David對粒子5、粒子6、粒子11、粒子12執(zhí)行的幺正變換均相同。Charlie和David分別對粒子5、粒子6、粒子11、粒子12進行H變換后,量子系統(tǒng)的狀態(tài)變化為

|ψ′s〉=H5H6H11H12|ψs〉=

[(A1|00〉+A2|01〉+A3|10〉+

A4|11〉)79?(|00〉+|11〉)511+

(A1|00〉-A2|01〉+A3|10〉-A4|11〉)79?

(|01〉+|10〉)511]?[(B1|00〉+B2|01〉+

B3|10〉+B4|11〉)24?(|00〉+|11〉)612+

(B1|00〉-B2|01〉+B3|10〉-B4|11〉)24?

(|01〉+|10〉)612]

(21)

Charlie和David分別對粒子5和粒子11、粒子6和粒子12進行單粒子態(tài)測量,并將測量結(jié)果通過經(jīng)典信道告知Alice和Bob。當Charlie和David的測量結(jié)果為偶數(shù)個1(|00〉、|11〉)時,粒子7、粒子9和粒子2、粒子4的量子態(tài)為粒子a、粒子b、粒子c、粒子d的未知量子態(tài),實現(xiàn)了信息的雙向傳遞。當Charlie或David的測量結(jié)果為奇數(shù)個1(|01〉、|10〉)時,Alice或Bob需要對粒子7和粒子9或粒子2和粒子4進行σz幺正變換,才能復制出粒子a、粒子b、粒子c、粒子d的未知量子態(tài),實現(xiàn)信息的雙向傳遞。

3 M方控制的任意N粒子未知態(tài)雙向隱形傳態(tài)方案

假設Alice和Bob要向?qū)Ψ絺魉偷娜我釴粒子態(tài)分別為

|φ〉X1X2…XN=(x1|0…00〉+

x2|0… 01〉+…+x2N|1…11〉)X1X2…XN

(22)

|φ〉Y1Y2…YN=(y1|0…00〉+

y2|0… 01〉+…+y2N|1…11〉)Y1Y2…YN

(23)

Alice,Bob和M個控制者(Charlie1,Charlie2,…,CharlieM)共享(2N-2)個EPR對|φ+〉DiBi(i=1,2,…,2N-2)和2個(M+2)粒子GHZ糾纏態(tài)作為量子信道,其形式為

(24)

|φ〉A2N-1B2N-1C1…CM=

(25)

|φ〉A2NB2ND1…DM=

(26)

其中,粒子(A1,A2,A3,…,A2N)屬于Alice,粒子(B1,B2,B3,…,B2N)屬于Bob,粒子(C1,C2,C3,…,CM)和粒子(D1,D2,D3,…,DM)分別屬于M個控制者(Charlie1,Charlie2,…,CharlieM)。

此時,系統(tǒng)的狀態(tài)為

(27)

Alice對粒子(Xi,Ai),Bob對粒子(Yi,Bi+N)(i=1,2,3,…,2N)分別進行Bell基測量,并將測量結(jié)果通過經(jīng)典信道告知對方以及M個控制者。

根據(jù)不同的測量結(jié)果,Alice對粒子Ai+N,Bob對粒子Bi進行相應的幺正變換,M個控制者分別對粒子(C1,C2,C3,…,CM)和粒子(D1,D2,D3,…,DM)進行相應的單粒子幺正變換。測量結(jié)果和相應的幺正變換之間關系如表1所示。

由于有4種不同的Bell基,Alice和Bob共有4N種不同的測量結(jié)果。若Alice和Bob的測量結(jié)果均為|φ±〉,則在Alice,Bob,M個控制者進行相應的幺正變換操作之后,得到兩種不同的測量結(jié)果為

(28)

式中,從左到右的“±”和“+”符號分別表示對粒子(Xi,Ai) (Yi,Bi+N)(i=1,2,3,…,2N)所做的Bell測量的Bell基符號。

M個控制者分別對粒子(C1,C2,C3,…,CM)和粒子(D1,D2,D3,…,DM)進行H變換,然后進行單粒子態(tài)測量,并將測量結(jié)果通過經(jīng)典信道告知Alice和Bob。

H變換后的量子系統(tǒng)為

(29)

Alice和Bob根據(jù)M個控制者的測量結(jié)果,進行相應的幺正變換。

(1) 如果測量粒子(C1,C2,C3,…,CM)和粒子(D1,D2,D3,…,DM)的測量結(jié)果中均有偶數(shù)個1,則Bob的粒子(B1,B2,B3,…,BN)、Alice的粒子(AN+1,AN+2,AN+3,…,A2N)的狀態(tài)就是任意N粒子態(tài)|φ〉X1X2…XN和|φ〉Y1Y2…YN的量子態(tài)。

(2) 如果測量粒子(C1,C2,C3,…,CM)或粒子(D1,D2,D3,…,DM)的測量結(jié)果中存在奇數(shù)個1,則需要Bob或Alice對粒子(B1,B2,B3,…,BN)或粒子(AN+1,AN+2,AN+3,…,A2N)進行σz幺正變換才能獲得任意N粒子態(tài)|φ〉X1X2…XN和|φ〉Y1Y2…YN的量子態(tài)。

4 結(jié) 語

利用粒子的Bell糾纏態(tài)和GHZ糾纏態(tài)作為量子信道,通過Bell基聯(lián)合測量和單粒子的幺正變換,實現(xiàn)了由多方控制的任意多粒子未知態(tài)的雙向隱形傳態(tài)。在本方案中,如果控制者希望這次隱形傳態(tài)成功,則控制者需要選取合適的測量基對其擁有的粒子進行測量,并將結(jié)果通過經(jīng)典信道告知接收方?？刂普邤?shù)量的增加有效地提高了通信過程的安全性。雙向受控隱形傳態(tài)可以實現(xiàn)信息的雙向傳輸,提高量子態(tài)傳輸?shù)男省?/p>