為理解而教：“小數(shù)的性質(zhì)”的定位、深化與運(yùn)用

康慶耀

摘 要： “小數(shù)的性質(zhì)”在小數(shù)知識學(xué)習(xí)中處于關(guān)鍵之處，起到基石的作用?！靶?shù)的性質(zhì)”是整數(shù)與小數(shù)互相改寫的依據(jù)，也是針對“小數(shù)部分的末尾”而言?！靶?shù)的性質(zhì)”幫助學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)四則運(yùn)算時(shí)，進(jìn)行計(jì)算道理的理解，使小數(shù)四則運(yùn)算轉(zhuǎn)化為整數(shù)四則運(yùn)算，借助數(shù)位之間的進(jìn)率和小數(shù)的意義進(jìn)行理解。

關(guān)鍵詞：理解;為理解而教;小數(shù)的性質(zhì)

在數(shù)學(xué)知識編排中，小數(shù)是在學(xué)習(xí)整數(shù)知識的基礎(chǔ)之上，結(jié)合分?jǐn)?shù)的知識進(jìn)行學(xué)習(xí)的。隨著小學(xué)生思維的發(fā)展和生活經(jīng)歷的增多，小數(shù)也走進(jìn)了學(xué)生的視野，因此，小數(shù)的知識值得小學(xué)生去探究。在小數(shù)知識體系中，“小數(shù)的性質(zhì)”起著承上啟下、至關(guān)重要的地位。小學(xué)生對“小數(shù)的性質(zhì)”知識的學(xué)習(xí)必須全面透徹，才能為后續(xù)的小數(shù)四則運(yùn)算學(xué)習(xí)和分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，才能真正地理解整數(shù)與小數(shù)的關(guān)系，才能深度理解小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)系結(jié)構(gòu)。

一、“小數(shù)的性質(zhì)”的知識定位

在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，小數(shù)知識的學(xué)習(xí)從小學(xué)三年級開始，結(jié)合分?jǐn)?shù)的知識進(jìn)行學(xué)習(xí)小數(shù)，例如，看分?jǐn)?shù)寫小數(shù)。教材中用類比的方法讓小學(xué)生進(jìn)行簡單的模仿和改寫，屬于低層次的模仿學(xué)習(xí)和機(jī)械學(xué)習(xí)。此階段的小學(xué)生所學(xué)習(xí)的小數(shù)知識比較淺顯，屬于“照葫蘆畫瓢”的低水平階段，不能系統(tǒng)地理解小數(shù)的概念與意義。到了五年級，小學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)的意義、性質(zhì)和四則運(yùn)算，能夠較為全面地認(rèn)識小數(shù)知識，系統(tǒng)地運(yùn)用小數(shù)知識解決實(shí)際問題，屬于高層次的意義學(xué)習(xí)，能夠在數(shù)系計(jì)算中理解小數(shù)的價(jià)值和作用，但不能把小數(shù)與分?jǐn)?shù)在計(jì)算上相互貫通。直到學(xué)完分?jǐn)?shù)的意義、性質(zhì)和四則運(yùn)算的時(shí)候，小學(xué)生才能對小數(shù)和分?jǐn)?shù)在概念理解和計(jì)算方法上相互貫通、靈活互化，共同填補(bǔ)整數(shù)計(jì)算解決實(shí)際問題的不足之處，才能深刻體會到小數(shù)和分?jǐn)?shù)存在的必要性和價(jià)值——分?jǐn)?shù)比小數(shù)在計(jì)算中更簡便，小數(shù)比分?jǐn)?shù)在生活中更實(shí)用，至此，才能全面地理解小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)系結(jié)構(gòu)和數(shù)系計(jì)算。

“小數(shù)的性質(zhì)”知識的學(xué)習(xí)是小學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)知識從機(jī)械學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向意義學(xué)習(xí)的關(guān)鍵之處，是小數(shù)四則運(yùn)算在計(jì)算道理上的基石。如果小學(xué)生對該知識不能深刻理解和靈活運(yùn)用，那么小學(xué)生很難進(jìn)行小數(shù)四則運(yùn)算的學(xué)習(xí)。退一步說，即使小學(xué)生在沒有透徹理解“小數(shù)的性質(zhì)”知識情況下，類比整數(shù)四則計(jì)算，學(xué)會了小數(shù)四則運(yùn)算的計(jì)算方法，能夠進(jìn)行小數(shù)計(jì)算，但是，這種程度的小數(shù)計(jì)算也只是高水平機(jī)械學(xué)習(xí)的結(jié)果，沒有在頭腦中的數(shù)學(xué)知識體系中對小數(shù)四則運(yùn)算進(jìn)行理解性建構(gòu)和內(nèi)化，在計(jì)算道理上存在嚴(yán)重短板。

二、“小數(shù)的性質(zhì)”的概念深化

1.對比練習(xí)，鞏固理解

教材把“小數(shù)的性質(zhì)”定義為“小數(shù)的末尾添上‘0或去掉‘0，小數(shù)的大小不變”。小學(xué)生運(yùn)用此知識進(jìn)行改寫及化簡小數(shù)時(shí)，對于一般的題目，能夠準(zhǔn)確地改寫及化簡小數(shù)，如4.2改寫為三位小數(shù)4.200 、30.010化簡為兩位小數(shù)30.01、0.0100化簡為兩位小數(shù)0.01等題目。即使少數(shù)小學(xué)生在做題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，但是，教師只要趁機(jī)提示，讓小學(xué)生結(jié)合課本中的“小數(shù)的性質(zhì)”概念進(jìn)行檢查時(shí)，他們中的大多數(shù)人就能明白自己出錯(cuò)的原因。而對于個(gè)別學(xué)習(xí)困難的小學(xué)生，再緊扣“小數(shù)的性質(zhì)”概念進(jìn)行單獨(dú)輔導(dǎo)，就幾乎能讓全體小學(xué)生對小數(shù)進(jìn)行改寫及化簡。換而言之，通過對比練習(xí)，使小學(xué)生對“小數(shù)的性質(zhì)”概念進(jìn)行鞏固理解，明白了小數(shù)的“頭零”“肚零”不能省略或添加，而小數(shù)的“尾零”能夠省略，而且無論小數(shù)的“尾零”的數(shù)量有多少個(gè)，都可以被省略掉，小數(shù)的大小也沒有發(fā)生改變。循此邏輯，一個(gè)小數(shù)，在其末尾無論添加了多少個(gè)“尾零”，都是依據(jù)“小數(shù)的性質(zhì)”知識而進(jìn)行正確改寫，也沒有改變小數(shù)本身的大小。

2.重點(diǎn)探究，深化理解

把整數(shù)10改寫成三位小數(shù)，得10.000，反之，10.000依據(jù)“小數(shù)的性質(zhì)”知識進(jìn)行化簡時(shí)，有部分小學(xué)生出現(xiàn)化簡錯(cuò)誤的現(xiàn)象，把10.000化簡為整數(shù)1。讓化簡錯(cuò)誤的小學(xué)生認(rèn)真思考和檢查，依然出現(xiàn)錯(cuò)誤，教師輔導(dǎo)之后發(fā)現(xiàn)，雖然化簡錯(cuò)誤的小學(xué)生在對“小數(shù)的性質(zhì)”概念的運(yùn)用上出現(xiàn)錯(cuò)誤，但是他們意識不到自己的錯(cuò)誤，不認(rèn)為自己出錯(cuò)，反而堅(jiān)定地認(rèn)為自己的化簡是緊扣課本中的“小數(shù)的性質(zhì)”概念，把“小數(shù)的末尾”去掉“0”?；嗗e(cuò)誤的小學(xué)生解釋的理由是教材中的概念沒有嚴(yán)格界定“小數(shù)的末尾”具體在哪個(gè)數(shù)位或哪個(gè)部分，因而，就錯(cuò)誤地把小數(shù)的整數(shù)部分的“零”也當(dāng)成“尾零”給省略掉了。

遇此情況，一方面，教師要充分激活小學(xué)生的思考，發(fā)動小學(xué)生進(jìn)行小組討論，探究不同改寫結(jié)果的解釋是否合理，有無漏洞。必要的時(shí)候，可以追問小學(xué)生，“小數(shù)改寫前后是用等號連接，還是用約等于號連接？”“依據(jù)‘小數(shù)的性質(zhì)知識進(jìn)行改寫小數(shù)，小數(shù)的大小最終發(fā)生變化了嗎？”頭腦反應(yīng)快的小學(xué)生會給出正確的回答，也會領(lǐng)悟到小數(shù)的整數(shù)部分的“0”不屬于“尾零”，而“尾零”只存在于小數(shù)的小數(shù)部分。

另一方面，教師趁此機(jī)會引導(dǎo)小學(xué)生思考整數(shù)與小數(shù)的關(guān)系，二者在數(shù)位和進(jìn)率上是相互銜接、相互連通的，因此，在形式上，可以把整數(shù)看成特殊的小數(shù)，而小數(shù)是整數(shù)的數(shù)系結(jié)構(gòu)的延伸與細(xì)化。進(jìn)而言之，小數(shù)的數(shù)系結(jié)構(gòu)在形式上和數(shù)量上包含整數(shù)的數(shù)系結(jié)構(gòu)，例如，在數(shù)軸上的所有整數(shù)，都可以用小數(shù)去表示。10.000之所以錯(cuò)誤地改寫為1，是因?yàn)樾W(xué)生沒有理解整數(shù)部分與小數(shù)部分的不同點(diǎn)，沒有思考到小數(shù)知識包含整數(shù)知識，沒有理解到有些小數(shù)只有整數(shù)部分有數(shù)字因而簡寫為整數(shù)，有些小數(shù)只有小數(shù)部分有數(shù)字因而整數(shù)部分用0占位，有些小數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分都有數(shù)字，更沒有認(rèn)識到“小數(shù)的性質(zhì)”僅僅是針對小數(shù)的小數(shù)部分而言。

綜上，教材上“小數(shù)的性質(zhì)”概念在小學(xué)生進(jìn)行整數(shù)與小數(shù)的改寫練習(xí)之后，應(yīng)該升級為“小數(shù)部分的末尾添上‘0或去掉‘0，小數(shù)的大小不變”，要對“小數(shù)的末尾”進(jìn)行限定，及時(shí)地幫助小學(xué)生理解小數(shù)知識，使小學(xué)生形成關(guān)于小數(shù)與整數(shù)正確的數(shù)系認(rèn)識。如果概念不準(zhǔn)確、不周密，小學(xué)生很容易出現(xiàn)理解上的失誤，對于“小數(shù)的性質(zhì)”知識掌握不準(zhǔn)確，影響小學(xué)生關(guān)于小數(shù)四則運(yùn)算知識的學(xué)習(xí)。

三、“小數(shù)的性質(zhì)”的遷移運(yùn)用

之所以把“小數(shù)的性質(zhì)”定位為小數(shù)四則運(yùn)算在計(jì)算道理上的基石，是因?yàn)闊o論學(xué)習(xí)小數(shù)加減法，還是學(xué)習(xí)小數(shù)乘除法，都離不開“小數(shù)的性質(zhì)”的遷移運(yùn)用。小數(shù)加減法中運(yùn)用“小數(shù)的性質(zhì)”知識幫助小學(xué)生有效地歸納計(jì)算方法、理解計(jì)算道理。在計(jì)算方法上，在小數(shù)部分的末尾補(bǔ)上“0”，能使兩個(gè)小數(shù)部分的數(shù)位個(gè)數(shù)相同，相同的數(shù)位對齊，類比整數(shù)進(jìn)行加減運(yùn)算;在計(jì)算道理上，小數(shù)部分的末尾補(bǔ)上“0”，使兩個(gè)小數(shù)部分的數(shù)位的個(gè)數(shù)相同，從而使二者的計(jì)數(shù)單位相同，便于理解兩個(gè)小數(shù)的意義，進(jìn)行小數(shù)意義上的整數(shù)化的加減計(jì)算。例如，3.4減去2.65，依據(jù)“小數(shù)的性質(zhì)”知識，3.4末尾補(bǔ)上一個(gè)“0”，改寫為3.40，小數(shù)的大小不變，但計(jì)數(shù)單位改變?yōu)?.01，表示為340個(gè)0.01，而340個(gè)0.01減去265個(gè)0.01，還剩75個(gè)0.01，所以計(jì)算結(jié)果為0.75。

小數(shù)除法中運(yùn)用“小數(shù)的性質(zhì)”知識，有利于計(jì)算方法的發(fā)現(xiàn)與歸納，也有利于計(jì)算道理的理解。在計(jì)算方法上，小數(shù)除法豎式計(jì)算類比整數(shù)除法豎式計(jì)算，用被除數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字依次除完除數(shù)之后，豎式中還剩有余數(shù)時(shí)，要在余數(shù)后面不斷地補(bǔ)上“0”繼續(xù)除，商寫在對應(yīng)數(shù)位的上面，直到除盡或符合題目要求為止。在計(jì)算道理上，小數(shù)除法豎式中的余數(shù)肯定是整數(shù)形式的數(shù)字，在其后面補(bǔ)上“0”，實(shí)質(zhì)上就是改寫小數(shù)，只不過沒有在除法豎式中點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，只是在被除數(shù)和商中點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)而已。換而言之，小數(shù)除法的計(jì)算，在形式上是把小數(shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法進(jìn)行計(jì)算，在實(shí)質(zhì)上需要結(jié)合數(shù)位的進(jìn)率和計(jì)數(shù)單位進(jìn)行理解，而這其中的關(guān)鍵之處就需要依據(jù)“小數(shù)的性質(zhì)”知識，例如，12÷5，12除以5商2余2，在余數(shù)2后面補(bǔ)上“0”，其實(shí)就是把整數(shù)2改寫成一位小數(shù)2.0，表示為20個(gè)0.1，20個(gè)0.1除以5相當(dāng)于20個(gè)0.1平均分成5份，每份是4個(gè)0.1，得0.4，所以4就寫在商中得數(shù)2的后一位，并且，商中得數(shù)2和4之間，應(yīng)該點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。也可以理解為，12÷5=（10+2）÷5=10÷5+2÷5=2+0.4=2.4。

總之，“小數(shù)的性質(zhì)”知識是小學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)小數(shù)知識的基石，是真正理解小數(shù)四則運(yùn)算中計(jì)算道理的關(guān)鍵點(diǎn)，是啟迪小學(xué)生思維、深化其數(shù)系結(jié)構(gòu)的“金鑰匙”。

【備注：本文系江蘇省鹽城市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度立項(xiàng)課題“小學(xué)生數(shù)學(xué)理解能力培養(yǎng)的課堂案例研究”的研究成果，課題立項(xiàng)編號為：2020-L-045?！?/p>