郭 宇,朱惠延,賀芳芳

(南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,湖南 衡陽(yáng) 421001)

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0 引 言

傳染病一直影響著人類的健康，據(jù)世界衛(wèi)生組織(world health organization,WHO)報(bào)告，全球人口數(shù)近一半受到了各種不同傳染病的威脅[1]。數(shù)學(xué)模型對(duì)于分析和控制傳染病的傳播發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用，眾多專家、學(xué)者通過(guò)建立不同的傳染病感染模型來(lái)了解以及掌握疾病傳染的機(jī)制，從而為控制病情提出合理的解決方案[2]。

(1)

由于模型(1)中前三個(gè)方程不含R，因此只需討論前三個(gè)方程：

(2)

模型(2)的初始條件為：

S(0)≥0,E(0)≥0,I(0)≥0。

(3)

1 模型的正定性與有界性

由微分方程理論易知，若模型(2)滿足初始條件(3)非負(fù)，那么解一定存在，設(shè)為(S(t),E(t),I(t))。

定理1 對(duì)于任意的t>0，解(S(t),E(t),I(t))非負(fù)。

證明：參考文獻(xiàn)[14]的方法，將模型(2)的第一個(gè)方程轉(zhuǎn)化為：

(4)

(5)

對(duì)等式(5)兩邊從0到t1積分得：

(6)

同理可得

(7)

(8)

顯然由式(6)知S(t)>0，現(xiàn)考慮E(t)≥0。假設(shè)存在時(shí)間t′，使得I(t′)=0，I′(t′)<0，當(dāng)00，矛盾，因此由式(7)與式(8)知E(t)≥

0，I(t)≥0，定理1得證。

定理2 解(S(t),E(t),I(t))是一致有界的，即存在M>0，使得S(t)

證明：將模型(2)的三個(gè)方程相加得：

(9)

由式(9)得

(S(0)+E(0)+I(0))e-μt,

(10)

2 無(wú)病平衡點(diǎn)與基本再生數(shù)

設(shè)X=(S,E,I)T，將模型(2)表示為如式(11)形式：

(11)

其中

求得F(X)與V(X)在無(wú)病平衡點(diǎn)處的Jacobian矩陣為：

因此

得到模型(2)的基本再生數(shù)為

定理3 當(dāng)R0<1時(shí)，模型(2)中無(wú)病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時(shí)，E0則不穩(wěn)定。

證明：模型(2)在E0處的Jacobian矩陣為：

因此特征方程為|λI-J(E0)|=(λ+μ)(λ2+a11λ+a22)=0，其中

a11=2μ+ε+r+d,

a22=(1-R0)(μ+ε)(μ+r+d)。

顯然，a11>0，λ=-μ<0為特征方程的一個(gè)負(fù)特征值；當(dāng)R0<1時(shí)，有a22>0，再結(jié)合Routh-Hurwitz判據(jù)[16]知|λI-J(E0)|=0的特征根均具有負(fù)實(shí)部，即當(dāng)R0<1時(shí)，模型(2)中無(wú)病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時(shí)，E0不穩(wěn)定。

3 地方病平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析

由模型(2)可求得地方病平衡點(diǎn)為：

I*為三次方程b11I*3+b22I*2+b33I*+b44=0的正根，其中

b11=α(μ+ε)(μ+r+d)(β+μb),

b22=αμ(μ+ε)(μ+r+d)+c(μ+ε)(β+μb)-Αβεα,

b33=(μ+ε)(μ+r+d)(β+μb)+μc(μ+ε),

b44=μ(μ+ε)(μ+r+d)(1-R0)。

由于參數(shù)都為正數(shù)，顯然b11>0,b33>0。若R0<1，可知b44>0；若R0>1，可知b44<0。因此，模型(2)正根個(gè)數(shù)由b22,b44的符號(hào)決定，下面根據(jù)笛卡爾符號(hào)準(zhǔn)則來(lái)判斷f(I)=b11I*3+b22I*2+b33I*+b44可能的正根個(gè)數(shù)。

由表1可以得到如下結(jié)論。

表1 方程f(I)=0可能的正根數(shù)Table 1 The number of possible positive roots of f(I)=0

定理5 模型(2)的正平衡點(diǎn)有如下幾種情況。

(1)當(dāng)R0<1,b22>0時(shí)，模型(2)不存在地方病平衡點(diǎn)；

(2)當(dāng)R0>1,b22>0時(shí)，模型(2)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)；

(3)當(dāng)R0<1,b22<0時(shí)，模型(2)存在零個(gè)或兩個(gè)地方病平衡點(diǎn)；

(4)當(dāng)R0>1,b22<0時(shí)，模型(2)至少存在一個(gè)地方病平衡點(diǎn)。

定理6 當(dāng)R0>1且0

證明：模型(2)在E1處的Jacobian矩陣為：

因此特征方程為

|λI-J(E1)|=λ3+c11λ2+c22λ+c33=0，

其中

αI*2)2+c+cI*(2b-αI*)),

(b(μ+r+d)(1+αI*2)2+c+cI*(2b-

αI*))。

由于b(μ+r+d)(1+αI*2)2+c+2cbI*>2b(μ+r+d)αI*2，因此只要滿足2b(μ+r+d)αI*2>cαI*2即c<2b(μ+r+d)，M才為正。

顯然，當(dāng)01時(shí)，c11,c22,c33都大于0，同時(shí)滿足c11c22>c33，結(jié)合Routh-Hurwitz判據(jù)[16]知當(dāng)01時(shí)，若模型(2)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)E1(S*,E*,I*)，則E1(S*,E*,I*)是局部漸近穩(wěn)定的。

4 數(shù)值模擬

下面通過(guò)數(shù)值模擬對(duì)模型(2)所得的穩(wěn)定性結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。

1)選取參數(shù)值Α=2，β=0.05，ε=0.8，μ=0.2，b=5，c=0.5，α=5，r=0.2，d=0.2，由這些參數(shù)值可得模型(2)基本再生數(shù)R0≈0.667<1，模型(2)存在唯一的無(wú)病平衡點(diǎn)E0(10,0,0)，且E0是局部漸近穩(wěn)定的，結(jié)果見(jiàn)圖1。

圖1 S,E,I的時(shí)序圖與解的軌跡圖(R0<1)Fig.1 Time series of S,E,I of the system and the phase trajectory of the system(R0<1)

2)選取參數(shù)值Α=2，β=0.1，ε=0.8，μ=0.2，b=1，c=0.8，α=2，r=0.1，d=0.1，計(jì)算得到模型(2)基本再生數(shù)R0=2>1，且參數(shù)值滿足c<2b(μ+r+d)，b22=0.08>0，b44<0，此時(shí)模型(2)存在唯一地方病平衡點(diǎn)E1(9.081 9,0.183 6,0.253 4)，該地方病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的，結(jié)果見(jiàn)圖2。

圖2 S,E,I的時(shí)序圖與解的軌跡圖(R0>1)Fig.2 Time series of S,E,I of the system and the phase trajectory of the system(R0>1)

5 結(jié) 論

本文建立并研究了一類具Holling-III型治療函數(shù)的SEIR傳染病模型，運(yùn)用常微分方程穩(wěn)定性理論對(duì)模型進(jìn)行了穩(wěn)定性分析。研究發(fā)現(xiàn)，在基本再生數(shù)R0<1處模型只存在唯一的無(wú)病平衡點(diǎn)，且無(wú)病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)基本再生數(shù)R0>1時(shí)，此時(shí)模型不僅存在無(wú)病平衡點(diǎn)，還存在一個(gè)或三個(gè)地方病平衡點(diǎn)。當(dāng)出現(xiàn)一個(gè)地方病平衡點(diǎn)時(shí)，本文給出了該地方病平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定所需的條件。對(duì)于出現(xiàn)三個(gè)地方病平衡點(diǎn)時(shí)的情形，其穩(wěn)定性分析將是我們未來(lái)的研究工作。