新工科背景下線性代數(shù)線上線下混合式“金課”的改革與實踐

郭艷鳳，郭春曉，林燕

摘? 要：在新工科背景下，為了適應(yīng)高等院校應(yīng)用型創(chuàng)新人才的培養(yǎng)目標，主要從教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)手段方面打造線上線下混合式線性代數(shù)“金課”。利用類比法、層層遞進法、延伸法、實驗法和案例分析法等對課程的內(nèi)容進行優(yōu)化。通過建立相關(guān)信息資源教學(xué)平臺，借助MOOC和微課形式，結(jié)合試題庫建設(shè)，加強線上測試訓(xùn)練，充分發(fā)揮線上線下教學(xué)的優(yōu)勢和特點，形成線性代數(shù)“金課”的課程體系并進行實踐，從而完善教學(xué)內(nèi)容和創(chuàng)新教學(xué)手段。

關(guān)鍵詞：線上線下混合式;線性代數(shù)“金課”;案例分析;信息資源教學(xué)平臺;課程體系

中圖分類號：G642? ? ? ?文獻標志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2021）30-0139-04

Abstract： Under the background of new engineering， in order to adapt to the training goal of application-oriented innovative talents in colleges and universities， the online and offline hybrid Linear Algebra golden course is mainly built from the aspects of teaching content and teaching means. The content of the course is optimized by analogy， step-by-step method， extension method， experiment method and case analysis method. Through the establishment of relevant information resources teaching platform， with the help of MOOC and micro class form， combined with the construction of test database and online test training， the curriculum system of linear algebra golden course is constructed and carried out by using the advantages and characteristics of online and offline teaching. The teaching content and innovate teaching methods are improved.

Keywords： online and offline hybrid; linear algebra golden course; case analysis; information resources teaching platform; curriculum system

近年來，新工科背景下培養(yǎng)一流本科應(yīng)用型創(chuàng)新人才和打造“金課”建設(shè)提上了日程，成為高等教育改革的一個熱點問題。新工科是中國未來科技和智能時代的持續(xù)原動力系統(tǒng)。隨著社會經(jīng)濟的飛速發(fā)展，新工科的發(fā)展是新一代科學(xué)技術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)，是提高國家綜合實力的關(guān)鍵[1]。而課程是人才培養(yǎng)的核心要素，要解決當前高等院校教學(xué)的現(xiàn)實困境[2-3]，迫切需要打造“金課”，以促進高等院校的專業(yè)建設(shè)與學(xué)科發(fā)展。2018年6月，教育部召開了新時代中國高等學(xué)校本科教育工作會議，教育部陳寶生部長在會議上第一次提出“金課”，對大學(xué)生要有效“增負”，要把“水課”轉(zhuǎn)變成具有“兩性一度”，即高階性、創(chuàng)新性、挑戰(zhàn)度的“金課”[4]。2018年8月，教育部在文件中第一次使用“金課”這個概念，而“淘汰水課，打造金課”首次被正式寫入教育部文件中。目前，各高校在新工科背景下的教育教學(xué)改革如火如荼地不斷發(fā)展[5-12]。

在新冠肺炎疫情期間，各高等院校響應(yīng)教育部提出的“停課不停教，停課不停學(xué)”的號召，要求所有教師進行線上授課。線上教學(xué)已成為了目前全國高校非常重要的教學(xué)方式，也將成為今后高等院校教學(xué)發(fā)展的趨勢之一。在高校教師線上教學(xué)過程中，對廣西科技大學(xué)和中國礦業(yè)大學(xué)（北京）的學(xué)生進行調(diào)查問卷，80%的學(xué)生對在線課程教學(xué)表示滿意，71%的學(xué)生對線上教學(xué)平臺現(xiàn)有功能對學(xué)習(xí)需求的滿足程度表示基本滿意。數(shù)據(jù)表明線上教學(xué)有一定的優(yōu)勢。還有一些學(xué)生對在線教學(xué)存在疑慮，仍然需要線下教學(xué)的補充來提高學(xué)習(xí)效果。因此，線上線下混合式的教學(xué)模式被提出并逐步的推廣。

眾所周知，線性代數(shù)課程是高等院校工科專業(yè)人才培養(yǎng)中必修的重要基礎(chǔ)課程，該課程為學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)和從事科學(xué)研究提供必不可少的數(shù)學(xué)工具和手段。線性代數(shù)課程具有學(xué)時少、應(yīng)用廣的特點。如何將其打造成“金課”，提高學(xué)生的綜合能力和創(chuàng)新能力，這是新時代一流本科教育教學(xué)改革發(fā)展對大學(xué)數(shù)學(xué)教師提出的新挑戰(zhàn)[4]。

根據(jù)新冠肺炎疫情期間兩個學(xué)期的線性代數(shù)課程線上線下的教學(xué)實踐，主要從教學(xué)內(nèi)容優(yōu)化和教學(xué)手段創(chuàng)新方面來打造線上線下混合式線性代數(shù)“金課”。首先，根據(jù)課程內(nèi)容在各工科專業(yè)中的具體應(yīng)用，提供相關(guān)案例分析，以線上講解案例為主要依托，進行課堂內(nèi)容優(yōu)化。

接著，為提高學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的質(zhì)量，建設(shè)和教材配套的試題庫和測試訓(xùn)練，以線上線下混合式為主要教學(xué)手段，完善課程體系。建設(shè)在線MOOC和微課的信息資源平臺，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主能動性，擴展學(xué)生專業(yè)視野。

一、線性代數(shù)課程教材內(nèi)容優(yōu)化

目前，廣西科技大學(xué)各工科教學(xué)中使用自編的《線性代數(shù)》教材，經(jīng)過三年以上的教學(xué)和實踐，根據(jù)工科的特點對教材內(nèi)容進行優(yōu)化，培養(yǎng)學(xué)生解決復(fù)雜問題的綜合能力和數(shù)學(xué)思維，使得課程內(nèi)容具有前沿性和時代性，教學(xué)形式呈現(xiàn)先進性和互動性，學(xué)習(xí)結(jié)果具有探究性和個性化。

在教學(xué)內(nèi)容中利用各種教學(xué)的方式方法加強高等數(shù)學(xué)與線性代數(shù)之間的聯(lián)系，并融入一些和各工科專業(yè)相關(guān)的教學(xué)案例。通過和高等數(shù)學(xué)等大學(xué)數(shù)學(xué)課程中的數(shù)學(xué)思想進行類比，并結(jié)合礦業(yè)類專業(yè)、機械工程、電氣工程等專業(yè)中應(yīng)用線性代數(shù)課程理論的具體案例分析，來展現(xiàn)線性代數(shù)課程這門課在各專業(yè)研究中所起到的重要作用。具體通過類比法、層層遞進法、延伸法、實驗法和案例分析法等對教材的內(nèi)容進行優(yōu)化。主要表現(xiàn)在以下幾個方面。

（一）運用類比法

在編寫分塊矩陣這部分內(nèi)容時，可以通過引入分塊矩陣的思想，即用化整為零，化零為整的思想方法類比，讓學(xué)生理解其數(shù)學(xué)本質(zhì)。在高等數(shù)學(xué)課程中講解定積分定義時用過同樣的思想。提出高數(shù)中的相關(guān)內(nèi)容，讓學(xué)生自己簡單地回憶已經(jīng)學(xué)過的定積分定義中的思想方法，用類比的方法把分塊矩陣和定積分的數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來，給出他們的共性，加深學(xué)生對矩陣分塊的本質(zhì)理解，能夠舉一反三地應(yīng)用。而編寫分塊矩陣的性質(zhì)時，給出理論推導(dǎo)后，與矩陣的性質(zhì)進行類比，可得到分塊矩陣的相關(guān)性質(zhì)。這樣的類比方法，在解決實際問題時可以延伸應(yīng)用，和學(xué)生強調(diào)集小成大解決問題的思想。在編寫齊次線性方程組與非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)和它們之間的關(guān)系時，為了更好地理解內(nèi)容的本質(zhì)并容易記憶，可以給出高等數(shù)學(xué)常微分方程中的齊次和非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，通過類比法，來理解線性代數(shù)課程中齊次和非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)和關(guān)系。從而加深學(xué)生的理解和記憶，也給學(xué)生提供一種各學(xué)科之間思想方法的融會貫通。解決其他學(xué)科問題時也可以通過類比的方法來尋找分析解決問題的思路。

（二）注重層層遞進法

在編寫線性方程組的求解方法時，利用二元和三元線性方程組的消元法引入二階和三階行列式，從而進一步考慮n階行列式，引入一般行列式的概念。接著，利用n階行列式求解n元線性方程組的唯一解。但對于無解和無窮多個解的情況，進一步需要引入矩陣的概念，利用矩陣的性質(zhì)可以求解線性方程組。從而，為了求解線性方程組，就需要研究矩陣的性質(zhì)，用矩陣的性質(zhì)來求解線性方程組。利用矩陣的性質(zhì)來分析并求解線性方程組，利用層層遞進的思想和方法，從簡單的齊次線性方程組的通解出發(fā)，討論非齊次線性方程組的解。教材中有關(guān)層層遞進思想方法的描述，可以培養(yǎng)學(xué)生形成層層遞進的思維方式，從而應(yīng)用到實際問題中去。

（三）拓展內(nèi)容的延伸法

在給出矩陣的一些運算性質(zhì)并考慮特殊的單位矩陣和零矩陣的特殊性質(zhì)時，可以通過數(shù)域中的單位1和0的特點來比喻矩陣中單位矩陣和零矩陣的位置，可以看成是一些基本定義在不同領(lǐng)域里面的延伸。但也要特別說明它們在各自集合域中的相同和差別之處。在此基礎(chǔ)上，可以把數(shù)域和矩陣定義為集合的形式，在某種性質(zhì)條件下就是群、環(huán)和域的概念，從而將這些概念延伸到近世代數(shù)。這些代數(shù)學(xué)概念是后續(xù)課程的基礎(chǔ)，啟發(fā)學(xué)生認識到學(xué)習(xí)線性代數(shù)課程的重要性。在編寫矩陣的行（列）初等變換時，通過這些初等變換把矩陣變換為行階梯型矩陣和行最簡形矩陣的方法技巧，可以延伸到后續(xù)課程的應(yīng)用中。而在最優(yōu)化理論與方法中的單純形法方法就是利用行（列）初等變換來得到。從而讓學(xué)生意識到線性代數(shù)課程的一些思想方法在后續(xù)課程中有著重要的應(yīng)用和推廣。而在給出特征值和特征向量，以及向量正交化和標準正交基等內(nèi)容時，給學(xué)生提及后續(xù)課程應(yīng)用泛函分析中的特征值和特征向量的內(nèi)積和標準正交基，也是這些思想的延伸。從而讓學(xué)生了解線性代數(shù)課程不僅是一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，而且也為后續(xù)各學(xué)科課程提供必不可少的理論支撐。因此，延伸法可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)課程的濃厚興趣和積極性，達到提高線性代數(shù)課程教學(xué)質(zhì)量的效果。

（四）結(jié)合實驗法

在給出行列式求解和線性方程組的求解過程中，需要利用矩陣的行初等變換來計算。實際應(yīng)用中往往涉及到高階矩陣的變換，需要結(jié)合數(shù)學(xué)軟件Matlab或C++等軟件工具來計算。可以在教材內(nèi)容中作為附錄給出求解多元方程組的程序，讓學(xué)生自己去實踐和驗證，從而體現(xiàn)相應(yīng)思想方法和原理的重要性和應(yīng)用性。從這個角度來看，其他的大學(xué)課程中都可以適當?shù)卦黾酉鄳?yīng)內(nèi)容，結(jié)合實驗法進一步提高學(xué)生學(xué)習(xí)的濃厚興趣和積極性。

（五）引入案例分析法

通過與各工科專業(yè)的老師和學(xué)生進行座談，到國內(nèi)外高等院校進行調(diào)研，搜集相關(guān)案例進行分析，并在教學(xué)內(nèi)容中適當?shù)卦黾佑嘘P(guān)案例的講解。例如，把矩陣的乘積和逆矩陣與密碼學(xué)中的加密和解密聯(lián)系起來。通過矩陣的乘積對所需要加密的信息進行線性變化處理后，再通過相應(yīng)逆矩陣的應(yīng)用對加密后的信息進行解密。通過案例分析讓學(xué)生從不同的專業(yè)角度去了解線性代數(shù)在專業(yè)上的具體實際應(yīng)用。由于線性代數(shù)課程學(xué)時有限，案例式分析的教學(xué)內(nèi)容在線下教學(xué)過程中引入，在線上過程中詳細講授案例在各工科專業(yè)中的應(yīng)用。

二、建設(shè)與教材配套的試題庫和測試訓(xùn)練

為了進一步提高該課程的教學(xué)水平，針對教材各章節(jié)的基本知識點和重要難點編寫學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書，并對書中有一定難度的典型習(xí)題錄制MOOC和微課，作為線上教學(xué)的補充內(nèi)容，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力。通過有針對性地給出一系列配套答案的線上解析，啟發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)課程的數(shù)學(xué)思維方式和思路，拓寬該課程的深度、難度和挑戰(zhàn)度，為本課程教學(xué)質(zhì)量水平的進一步提高奠定基礎(chǔ)，為工科學(xué)生考研深造做準備。輔導(dǎo)書的編寫是建設(shè)線上線下混合式教學(xué)的主要內(nèi)容之一，通過線上的講解形式來引導(dǎo)學(xué)生對該課程進行深入理解。

（一）建設(shè)線上試題庫

對本課程的各知識進行認真設(shè)計和篩選，展現(xiàn)各種題目類型，涉及不同的知識點，加大題量，以覆蓋線性代數(shù)課程的全部教學(xué)內(nèi)容為主要原則，各種類型的試題比例適中。試題要符合大綱、符合命題基本要求，具有一定深度、廣度和難度，重點突出，廣泛覆蓋，難度適中，既要反映知識掌握情況，又要考查能力水平。根據(jù)適當?shù)碾y度、區(qū)分度，不斷給出題型變化。題型主要包括選擇題、判斷題、填空題、計算題、證明題和分析題，分為易、中、難三大類，符合命題基本要求，增加部分有挑戰(zhàn)度的專業(yè)案例分析題。每一章節(jié)所涉及的題目選定專人負責(zé)，題目都配有參考答案和評分標準。選取的試題都配有詳盡準確的參考答案。

（二）建設(shè)線上章節(jié)測試訓(xùn)練

從題庫中抽取相應(yīng)的題目編寫成部分模擬測試、隨堂練習(xí)、客觀題和主觀題，以線上MOOC和微課的形式開展訓(xùn)練。利用線上作業(yè)批改系統(tǒng)和電子閱卷系統(tǒng)，通過線上考核方式，保證學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量，提高學(xué)習(xí)效果。

三、完善在線MOOC和微課信息資源平臺，推進線上線下教學(xué)手段

隨著新工科創(chuàng)新型人才培養(yǎng)理念的不斷更新，受新冠肺炎疫情影響，各高等院校都開始利用在線信息資源平臺進行教學(xué)，而建設(shè)一套適合一般工科院校線性代數(shù)課程的教學(xué)信息資源平臺“金課”體系尤其重要。

（一）選取合適的線上課程信息資源平臺進行設(shè)計

結(jié)合優(yōu)化的《線性代數(shù)》教材內(nèi)容，建設(shè)和完善適合一般工科院校線性代數(shù)課程的信息資源平臺，主要利用MOOC和微課的形式，建設(shè)與該教材配套的在線教學(xué)信息資源平臺。通過調(diào)研、交流和探討，進一步完善工科專業(yè)線性代數(shù)課程的在線信息資源平臺。利用線上教學(xué)資源的有效補充和實踐，為培養(yǎng)新工科創(chuàng)新型人才提供有效的教學(xué)手段，提高工科院校學(xué)生的專業(yè)綜合能力和考研升學(xué)率，向縱深發(fā)展，進而提高學(xué)生的專業(yè)視野和自主學(xué)習(xí)能力。

（二）著重進行錄制和剪輯線上教學(xué)資源MOOC和微課的視頻

線上教學(xué)信息資源主要來源于視頻的錄制和剪輯，這是線上課題體系建設(shè)的重點和關(guān)鍵。首先，錄制與教材配套的課程MOOC。通過研究課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)特點，結(jié)合課程授課過程中講解的邏輯關(guān)系來研究課件演示的步驟與層次、研究動畫制作的內(nèi)容及動畫演示的方式，用PowerPoint技術(shù)制作一套基于教材的完整的、高水平的PPT電子課件，再根據(jù)該課件錄制與教材配套的MOOC體系。接著，錄制提高教材內(nèi)容深度、難度和挑戰(zhàn)度的內(nèi)容微課形式。根據(jù)微課的基本教學(xué)設(shè)計思想，使用在線平臺就一個知識點在短時間內(nèi)進行針對性地講解和展示，制作一些輔助教學(xué)的微課資源。微課內(nèi)容主要包括具有一定難度和深度的考研知識點講解、具有挑戰(zhàn)度的各工科專業(yè)案例式分析及其應(yīng)用，還有一些國內(nèi)外專家學(xué)者對該課程在新工科專業(yè)應(yīng)用上的精彩講座。通過2020年下半年卷面考試的及格率和平均分與往屆的對比，數(shù)據(jù)表明線上補充內(nèi)容的學(xué)習(xí)明顯提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

（三）完善線上學(xué)習(xí)資源模式

在教學(xué)過程中進一步完善互聯(lián)網(wǎng)中相應(yīng)的MOOC和微課建設(shè)以及課外網(wǎng)絡(luò)答疑輔導(dǎo)模式，對學(xué)生的各種疑問進行回答。利用信息技術(shù)平臺，搭建線性代數(shù)課程學(xué)習(xí)資源及相關(guān)的評價內(nèi)容，細化和優(yōu)化管理模塊，讓學(xué)生及相關(guān)管理人員有權(quán)限進入模塊進行自評、互評，建立個人檔案，任課教師能查閱學(xué)生檔案，了解學(xué)生的學(xué)情及各項記錄。通過MOOC和微課的建設(shè)可以讓學(xué)生在課堂上沒有聽懂的知識點在相應(yīng)的微課中重新回放，再學(xué)習(xí)，從而掌握所學(xué)的主要內(nèi)容。而對于課外習(xí)題答疑的方式，除了在課后學(xué)生對不懂的知識進行面對面的交流和答疑外，還可以在固定的某些時間段，通過互聯(lián)網(wǎng)MOOC和微課形式中的討論區(qū)，進行在線網(wǎng)絡(luò)答疑，從而給學(xué)生的學(xué)習(xí)提供很好的復(fù)習(xí)機會。這樣的教學(xué)模式是結(jié)合現(xiàn)代社會互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展設(shè)計的一種學(xué)習(xí)和答疑輔導(dǎo)的教學(xué)模式。不僅可以讓學(xué)生的學(xué)習(xí)與互聯(lián)網(wǎng)聯(lián)系起來，而且還可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)課程的效果和質(zhì)量，為后續(xù)課程打下堅實的基礎(chǔ)。

（四）借助線上模式突出案例分析的教學(xué)內(nèi)容

把增加的不同專業(yè)具體的案例分析內(nèi)容和課程的重要思想方法進行優(yōu)化，以線上形式體現(xiàn)該部分的教學(xué)內(nèi)容，以MOOC或微課的形式展現(xiàn)，突出線性代數(shù)課程知識點在新工科專業(yè)中的應(yīng)用。學(xué)生按照學(xué)習(xí)興趣選取線上案例分析內(nèi)容開展學(xué)習(xí)和討論，擴展學(xué)生對線性代數(shù)課程在各工科專業(yè)中應(yīng)用的專業(yè)視野。對學(xué)生線上的學(xué)習(xí)和討論進行統(tǒng)計并撰寫相關(guān)調(diào)研報告，及時調(diào)整與工科專業(yè)更加緊密結(jié)合的案例分析。從而豐富課程內(nèi)容，極大地彌補了線性代數(shù)課程課時少的不足，為線性代數(shù)課程在各工科專業(yè)中的具體應(yīng)用發(fā)揮引導(dǎo)性作用，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。

四、結(jié)束語

綜上所述，根據(jù)線性代數(shù)課程線上線下各方面的教學(xué)改革，通過實際教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)手段進行實踐，結(jié)合該課程的特點，逐步打造出適合新工科創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的線性代數(shù)“金課”體系，使得當代大學(xué)生能夠充分掌握線性代數(shù)課程的思想本質(zhì)和實際應(yīng)用，推進各新工科專業(yè)適應(yīng)時代的發(fā)展，為增強國家綜合實力奠定基礎(chǔ)。

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