HPM視角下的項(xiàng)目化數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

李德虎 汪曉勤

【摘 要】HPM視角下“長(zhǎng)方體直觀圖的畫法”的教學(xué)以“選美大賽—古書修訂—厚積薄發(fā)—建章立制—牛刀小試—畫龍點(diǎn)睛”為主線，重構(gòu)式運(yùn)用數(shù)學(xué)史，運(yùn)用項(xiàng)目化學(xué)習(xí)理念創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生化身為小數(shù)學(xué)家進(jìn)行“古書修訂”，在小組合作探究中討論制訂長(zhǎng)方體直觀圖畫法的三條規(guī)則，形成“斜二測(cè)”畫法，再現(xiàn)了“斜二測(cè)”畫法誕生的過程。本節(jié)課是項(xiàng)目化學(xué)習(xí)與HPM視角下課堂教學(xué)相結(jié)合的一次嘗試。

【關(guān)鍵詞】HPM;“斜二測(cè)”畫法;項(xiàng)目化學(xué)習(xí)

【作者簡(jiǎn)介】李德虎，上海市新楊中學(xué)科研處主任，高級(jí)教師，HPM工作室成員，主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究;汪曉勤，華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究。

【基金項(xiàng)目】上海高校“立德樹人”人文社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地之?dāng)?shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地研究項(xiàng)目——數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的研究（A8） “長(zhǎng)方體直觀圖的畫法”是滬教版初中六年級(jí)數(shù)學(xué)教科書第八章“長(zhǎng)方體的再認(rèn)識(shí)”第2節(jié)的內(nèi)容，學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方體，會(huì)根據(jù)公式計(jì)算長(zhǎng)方體、正方體的表面積和體積，對(duì)長(zhǎng)方體的直觀圖也有初步的認(rèn)識(shí)?！渡虾Ｊ兄行W(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試行稿）》指出，學(xué)生要熟悉長(zhǎng)方體直觀圖的某一種常用圖形，會(huì)畫長(zhǎng)方體的直觀圖（采用“斜二測(cè)”畫法）[1]。本節(jié)課屬于立體幾何的啟蒙課，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體中棱與棱、棱與面和面與面的關(guān)系乃至高中立體幾何打下基礎(chǔ)。

在教學(xué)實(shí)踐中，教師通常直接告知學(xué)生長(zhǎng)方體直觀圖的畫法，并帶領(lǐng)學(xué)生一起按步驟用“斜二測(cè)”畫法畫長(zhǎng)方體，而對(duì)于為何要將上下底畫成一個(gè)內(nèi)角為45°的平行四邊形且取寬為實(shí)際長(zhǎng)度的一半，均不做說明[2]。在課堂上，學(xué)生難免會(huì)對(duì)“斜二測(cè)”畫法的規(guī)定產(chǎn)生疑問。鑒于此，我們希望從HPM的視角，重新設(shè)計(jì)“長(zhǎng)方體直觀圖的畫法”教學(xué)內(nèi)容，并付諸實(shí)施。本節(jié)課擬訂的教學(xué)目標(biāo)如下。

（1）理解“斜二測(cè)”畫法的合理性，會(huì)用“斜二測(cè)”畫法畫長(zhǎng)方體，培養(yǎng)學(xué)生初步的空間觀念和空間想象能力。

（2）經(jīng)歷“斜二測(cè)”畫法的形成過程，體會(huì)其中的研究方法。

（3）對(duì)話歷史，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心，形成動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀，體會(huì)數(shù)學(xué)背后的理性精神。

一、數(shù)學(xué)史料及其運(yùn)用

在16世紀(jì)的幾何書籍中，已經(jīng)普遍使用平行四邊形來表示長(zhǎng)方體的六個(gè)面，在1509年出版的《歐幾里得集》中[3]，長(zhǎng)方體和正方體直觀圖的畫法如圖1所示?？梢?，當(dāng)時(shí)人們已經(jīng)采用斜投影畫法來畫長(zhǎng)方體的直觀圖，其中平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角近似取45°，但寬并沒有取實(shí)際長(zhǎng)度的一半。特別在正方體直觀圖中，長(zhǎng)和寬保持兩兩相等關(guān)系，即上、下、左、右四個(gè)面為菱形。

書中還出現(xiàn)了一些錯(cuò)誤的長(zhǎng)方體直觀圖，如圖2所示。

1532年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)奈烏斯（O.Finaeus）在《數(shù)學(xué)之源》[4]中給出的長(zhǎng)方體畫法與《歐幾里得集》類似，將正方體的上、下、左、右四個(gè)面畫成菱形，如圖3所示。1564年，意大利數(shù)學(xué)家巴托利（C.Bartoli）在《測(cè)量之術(shù)》[5]中沿用了同樣的畫法，保留正方體長(zhǎng)、寬和高的實(shí)際長(zhǎng)度，看起來就像一般的長(zhǎng)方體，如圖4所示。

直到17世紀(jì)，正方體的畫法有了明顯的改進(jìn)，如1624年，意大利數(shù)學(xué)家博莫多羅（Pomodoro）在《實(shí)用幾何》中畫的正方體直觀圖就不再保持長(zhǎng)和寬相同[6]，但是圖中的寬并沒有取實(shí)際長(zhǎng)度的一半，而是取實(shí)際長(zhǎng)度的23，如圖5所示。

到19世紀(jì)末，關(guān)于長(zhǎng)方體直觀圖仍未有統(tǒng)一的規(guī)范畫法，例如1899年，米爾恩（W.J.Milne）在《平面與立體幾何》[7]中將上、下底面的寬取為實(shí)際長(zhǎng)度的23，一個(gè)內(nèi)角接近30°，如圖6所示。

可見，在將近400年的漫長(zhǎng)時(shí)間里，數(shù)學(xué)教科書基本采用斜投影的軸測(cè)圖來畫長(zhǎng)方體，但表示上下底面的平行四邊形的鄰邊大小關(guān)系和一個(gè)內(nèi)角的大小并不統(tǒng)一，寬處于實(shí)際長(zhǎng)度的13到實(shí)際長(zhǎng)度相等之間，一個(gè)內(nèi)角處于30°和60°之間。

直到1916年，美國(guó)數(shù)學(xué)家貝茨（W.Betz）和韋布（H.E.Webb）在其《立體幾何》[8]中給出了斜二軸測(cè)投影（簡(jiǎn)稱“斜二測(cè)”畫法）的作圖法，作者稱這種投影是一種“令人滿意的投影方式”，如圖7所示。

數(shù)學(xué)史告訴我們，長(zhǎng)方體直觀圖的“斜二測(cè)”畫法經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的探索過程，其實(shí)是一種規(guī)則的制訂，是數(shù)學(xué)家在討論中“約定俗成”的。教師可以采用探究式教學(xué)法，讓學(xué)生在討論中形成畫法規(guī)則，重現(xiàn)“斜二測(cè)”畫法規(guī)則制訂過程，揭示學(xué)生畫法的歷史相似性。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

根據(jù)數(shù)學(xué)史料，本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)運(yùn)用項(xiàng)目化學(xué)習(xí)的理念，分為選美大賽、古書修訂、厚積薄發(fā)、建章立制、牛刀小試和畫龍點(diǎn)睛六個(gè)部分。以四本古書修訂為驅(qū)動(dòng)性問題，引導(dǎo)學(xué)生小組探究，討論制訂長(zhǎng)方體直觀圖的畫法規(guī)則，形成核心知識(shí)“斜二測(cè)”畫法。

課前，教師要求學(xué)生畫出邊長(zhǎng)是3cm的正方體。教師在對(duì)學(xué)生的畫法進(jìn)行分析后，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生都是采用斜投影畫法，并得到相應(yīng)的數(shù)據(jù)。

課上，教師首先播放HPM微視頻，介紹歷史上人們對(duì)長(zhǎng)方體畫法的探索，其中包括中國(guó)古畫（宋徽宗《文會(huì)圖》）中桌子的畫法、達(dá)·芬奇繪畫作品中透視畫法等。本節(jié)課介紹的畫法為長(zhǎng)方體直觀圖畫法的一種，如圖8所示，從而引入本節(jié)課的課題。

（一）選美大賽

教師讓每個(gè)小組的學(xué)生從各自小組作品中選出最美的一幅圖，再通過希沃投屏展示出來，如圖9所示。

師：下面請(qǐng)大家一起選一選哪一幅圖最美？

不同小組的學(xué)生表達(dá)了不同的看法。

師：為什么大家沒有形成統(tǒng)一的意見？

生：因?yàn)闆]有評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)。

師：很好，那么這節(jié)課我們就一起來制訂這個(gè)“選美”標(biāo)準(zhǔn)。

【設(shè)計(jì)意圖】通過選美大賽，讓學(xué)生明白制訂長(zhǎng)方體直觀圖畫法的必要性，為后面探究長(zhǎng)方體“斜二測(cè)”畫法的三個(gè)規(guī)定做鋪墊。此外，部分學(xué)生的畫法和歷史上教科書的畫法也相似（如圖9c），揭示出學(xué)生長(zhǎng)方體直觀圖畫法的歷史相似性。

（二）古書修訂

教師用PPT展示四本古書，如圖10所示，讓學(xué)生對(duì)照自己畫的正方體和古代數(shù)學(xué)家畫的正方體。

師：四本古書畫的都是邊長(zhǎng)為3cm的正方體，但各不相同，請(qǐng)各位小數(shù)學(xué)家們幫忙修訂這四本古書，以便于后人閱讀。

【設(shè)計(jì)意圖】教師事先對(duì)史料進(jìn)行整理，發(fā)現(xiàn)很多書籍中都涉及正方體的畫法但又不盡相同，所以截圖保存并縮放圖像，使每個(gè)正方體的長(zhǎng)均為3cm，高也為3cm制成學(xué)習(xí)單（學(xué)生課前畫的正方體的直觀圖長(zhǎng)和高均為3cm）。借助歷史相似性原則和項(xiàng)目化學(xué)習(xí)的理念，教師讓學(xué)生化身為修訂古書的數(shù)學(xué)家，在修訂古書的情境中展開探究式學(xué)習(xí)。

（三）厚積薄發(fā)

本環(huán)節(jié)主要學(xué)習(xí)平面的概念和表示法，以及長(zhǎng)方體直觀圖的概念，為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)探究做準(zhǔn)備。

師：長(zhǎng)方體有六個(gè)面，我們要研究長(zhǎng)方體的直觀圖，首先來看看怎么畫平面。生活中有哪些實(shí)例給我們以平面的形象？

生：地面、黑板、桌面和平靜的湖面。

教師結(jié)合圖11介紹古代數(shù)學(xué)家對(duì)“平面”的定義。

師：數(shù)學(xué)中，平面是平的，無邊無沿，我們可以用一個(gè)平行四邊形來表示它。特別地，把水平放置的平面畫成一邊是水平位置，另一邊與水平線所成的角為45°的平行四邊形，如圖12，表示為平面ABCD或平面α。

師：我們把空間圖形畫在平面內(nèi)，使得既富有立體感，又能表達(dá)出圖形主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系的圖形叫直觀圖。

師：結(jié)合圖13，同學(xué)們想一想畫長(zhǎng)方體直觀圖的關(guān)鍵是什么？

生1：斜著畫。

生2：調(diào)整長(zhǎng)度。

【設(shè)計(jì)意圖】教師借助歷史上幾位數(shù)學(xué)家對(duì)“平面”的定義，引出平面畫法及表示法。同時(shí)，教師給學(xué)生補(bǔ)充直觀圖的概念，讓學(xué)生思考長(zhǎng)方體直觀圖的兩個(gè)關(guān)鍵因素，為后面畫法規(guī)則的制訂提供依據(jù)。

（四）建章立制

教師出示圖10，要求學(xué)生借助直三角尺和量角器對(duì)學(xué)習(xí)單上四幅圖進(jìn)行測(cè)量，并回答以下問題。

（1）正方體的邊長(zhǎng)（長(zhǎng)、寬、高）應(yīng)畫為多少厘米？

（2）底面平行四邊形中的銳角取多少度？

（3）看不見的棱如何畫？

學(xué)生把研究結(jié)果投屏到屏幕上。教師歸納學(xué)生的討論結(jié)果：看不見的棱用虛線表示;關(guān)于底面平行四邊形中的銳角取多少度的問題，學(xué)生建議取45°比較方便;關(guān)于長(zhǎng)和高大家都覺得應(yīng)取3cm;關(guān)于寬應(yīng)取的長(zhǎng)度，學(xué)生主要有兩種意見，一部分學(xué)生認(rèn)為應(yīng)取實(shí)際寬的一半為1.5cm，另一部分學(xué)生認(rèn)為應(yīng)取2cm。

師：請(qǐng)大家想一想，如果老師給的正方體棱長(zhǎng)是2.6cm，同學(xué)們覺得寬取多少才合適呢？

生：取一半，1.3cm比較好畫。

師：請(qǐng)同學(xué)再看一下課前你們畫的棱長(zhǎng)為3cm的正方體的統(tǒng)計(jì)圖（如圖14和圖15所示）。

師生一起歸納畫長(zhǎng)方體直觀圖的規(guī)則：（1）長(zhǎng)方體直觀圖中，長(zhǎng)和高不變，寬取實(shí)際長(zhǎng)度的一半;（2）底面平行四邊形中的銳角取45°;（3）看不見的棱用虛線表示。

師：這種畫長(zhǎng)方體直觀圖的方法我們稱為“斜二測(cè)”畫法。在中國(guó)古代，畫家通過實(shí)踐發(fā)現(xiàn)上述規(guī)則兼顧立體感和位置關(guān)系，是一種無意識(shí)的幾何實(shí)踐。數(shù)學(xué)家貝茨和韋布綜合前人的畫法稱“斜二測(cè)”畫法為“令人滿意的投影方式”。課后請(qǐng)大家根據(jù)我們制訂的“斜二測(cè)”畫法，在選出的五幅正方體直觀圖中選出最美的一幅，并在學(xué)習(xí)單上完成對(duì)四本古書的修訂。

教師用PPT展示宋徽宗的《文會(huì)圖》和《立體幾何》（1916年）中的正方體。

（五）牛刀小試

通過練習(xí)鞏固新知，學(xué)生掌握了本節(jié)課的重點(diǎn)——長(zhǎng)方體直觀圖的畫法。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生完成以下任務(wù)：畫長(zhǎng)4cm、寬3cm、高2cm的長(zhǎng)方體ABCD-EFGH直觀圖。在課堂練習(xí)中，教師讓學(xué)生指出《歐幾里得集》中長(zhǎng)方體存在的問題（如圖2）。

（六）畫龍點(diǎn)睛

師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家有什么收獲？

生1：我掌握了平面畫法和表示法。

生2：畫長(zhǎng)方體直觀圖的時(shí)候，寬應(yīng)取實(shí)際長(zhǎng)度的一半，平行四邊形中的銳角應(yīng)取45°。

生3：畫長(zhǎng)方體直觀圖看不見的棱用虛線表示。

生4：“斜二測(cè)”畫法的規(guī)定是討論制訂的，既體現(xiàn)了圖形的立體感，又保持了位置關(guān)系和度量關(guān)系。

師：同學(xué)們說得很好，老師這里給出一個(gè)關(guān)鍵字：序，同學(xué)們有什么感悟？

生5：平面的表示字母要按照順時(shí)針或者逆時(shí)針順序。

生6：用“斜二測(cè)”畫法畫長(zhǎng)方體要注意畫圖的順序。

師：對(duì)的，現(xiàn)實(shí)的世界本來是混沌無序的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是幫助我們?cè)跓o序的世界發(fā)現(xiàn)規(guī)律，建立規(guī)則或標(biāo)準(zhǔn)，這樣我們的世界將變得更加和諧。

教師通過課堂小結(jié)，點(diǎn)明了本節(jié)課的核心內(nèi)容——“序”的建立，讓學(xué)生明白這個(gè)“序”，既包括平面和長(zhǎng)方體表示法中字母之序、“斜二測(cè)”畫法之序，也包括長(zhǎng)方體直觀圖畫法的形成之序。借助數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生理解了建立現(xiàn)實(shí)之“序”的意義。

三、學(xué)生反饋

基于本節(jié)課，筆者對(duì)班級(jí)學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)和后測(cè)。在前測(cè)中，筆者通過問卷調(diào)查了解到：96.4 的學(xué)生采用斜投影的軸測(cè)圖來畫棱長(zhǎng)是3cm的正方體，3.6 的學(xué)生采用透視畫法;全班學(xué)生畫的長(zhǎng)和高都取3cm，寬的取值和平行四邊形的夾角如圖14和圖15。43.9 的學(xué)生沒有畫被遮擋的三條棱，18.9 的學(xué)生用實(shí)線來畫被遮擋的三條棱，37.2 的學(xué)生用虛線來畫被遮擋的三條棱?？梢?，學(xué)生初步了解長(zhǎng)方體的軸測(cè)圖畫法，但對(duì)于寬的取值、平行四邊形的夾角和如何處理被遮擋的三條棱沒有形成統(tǒng)一的意見。

在后測(cè)中，筆者對(duì)全班28名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，旨在了解學(xué)生對(duì)本節(jié)課教學(xué)的感想與建議。在問卷調(diào)查中，100 的學(xué)生能正確的采用“斜二測(cè)”畫法畫出棱長(zhǎng)是3cm的正方體直觀圖，完成“古書修訂”任務(wù)。

學(xué)生關(guān)于這節(jié)課與平時(shí)課堂教學(xué)最大的不同感受統(tǒng)計(jì)如圖16所示。

關(guān)于數(shù)學(xué)史（“古書修訂”）有沒有幫助你理解“斜二測(cè)”畫法合理性的問題，96.4 的學(xué)生的回答是肯定的，學(xué)生認(rèn)為“這些圖也體現(xiàn)了我們自己作圖的問題”“我們只有不斷和古書對(duì)比，才能研究出‘斜二測(cè)畫法”“通過古人不同的畫法擬定一個(gè)方便的值”“通過與古書對(duì)比，我發(fā)現(xiàn)‘斜二測(cè)畫法更容易畫且更美觀”“古書中的畫法為‘斜二測(cè)畫法奠定了基礎(chǔ)，‘斜二測(cè)畫法汲取了古書中畫法的優(yōu)點(diǎn)”等。

在長(zhǎng)方體“斜二測(cè)”畫法中，為什么寬要取原來長(zhǎng)度的一半、平行四邊形一個(gè)夾角為什么畫成45°？學(xué)生的回答如圖17所示。

四、結(jié)語

從教師教的角度，本節(jié)課構(gòu)建了三個(gè)層次：“就題論題”“就題論法”“就題論道”。（1）在“就題論題”的層面，本節(jié)課的核心是學(xué)會(huì)用“斜二測(cè)”畫法畫長(zhǎng)方體的直觀圖。在教學(xué)中，教師通過板演，按照四個(gè)步驟引導(dǎo)學(xué)生一起畫圖，通過課后反饋發(fā)現(xiàn)，全班學(xué)生掌握了這種畫法。（2）在“就題論法”的層面，本節(jié)課借助項(xiàng)目化學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)史料構(gòu)建情境，借助歷史相似性原則，讓學(xué)生一起討論制訂長(zhǎng)方體直觀圖畫法的規(guī)則，真實(shí)還原“斜二測(cè)”畫法產(chǎn)生的過程。（3）在“就題論道”的層面，教師課前設(shè)計(jì)“選美大賽”和“古書修訂”兩個(gè)環(huán)節(jié)，引發(fā)學(xué)生對(duì)“選美標(biāo)準(zhǔn)”和“修訂規(guī)則”的制訂，進(jìn)而形成三條規(guī)則，得出“斜二測(cè)”畫法，在最后的小結(jié)中，用一個(gè)“序”字結(jié)尾，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)讓“無序”的世界變得“有序”。

從學(xué)生學(xué)的角度，本節(jié)課踐行了數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教學(xué)原則。課前學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”為會(huì)用斜投影法畫長(zhǎng)方體直觀圖，但沒有形成“斜二測(cè)”畫法;教師從學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生“數(shù)學(xué)化”活動(dòng)體驗(yàn)[9]，設(shè)置“選美大賽”和“修訂古書”兩個(gè)情境;通過合作探究引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“再創(chuàng)造”，制訂長(zhǎng)方體直觀圖的畫法三條規(guī)則，形成“斜二測(cè)”畫法;整節(jié)課貫穿數(shù)學(xué)“思想實(shí)驗(yàn)”原則，教師設(shè)置的大部分問題都是開放性問題，沒有固定的答案，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的自我構(gòu)建。

本節(jié)課運(yùn)用數(shù)學(xué)史重構(gòu)式開展教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷“斜二測(cè)”畫法的產(chǎn)生過程，構(gòu)建了知識(shí)之諧;借助“古書修訂”任務(wù)驅(qū)動(dòng)學(xué)生開展討論，營(yíng)造了探究之樂;通過數(shù)學(xué)與藝術(shù)的聯(lián)系、長(zhǎng)方體直觀圖選美的活動(dòng)，展示了文化之魅;通過呈現(xiàn)古今長(zhǎng)方體直觀圖畫法的演進(jìn)，讓學(xué)生形成動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)觀，達(dá)成德育之效。

此外，本節(jié)課融合HPM微視頻、希沃投屏等教育信息技術(shù)，帶動(dòng)數(shù)學(xué)史內(nèi)容的可視化呈現(xiàn)和情景創(chuàng)設(shè)，引發(fā)學(xué)生探究，是項(xiàng)目化學(xué)習(xí)與HPM視角下的課堂教學(xué)相結(jié)合的一次有益嘗試。

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[5]BARTOLI C.Del modo di misvrare[M].Venetia：Per Francesco Franceschi Sanese，1564.

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[9]王曉杰.數(shù)學(xué)文化教學(xué)對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的影響研究[D].重慶：西南大學(xué)，2017.

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（責(zé)任編輯：陸順演）