謝超凡 葉阿真

摘要：近年來，大數(shù)據(jù)、人工智能、物聯(lián)網(wǎng)以及計算機視覺的蓬勃發(fā)展，使得市場對大學生的基礎工科能力需求有了質的變化，同時，對相關課程尤其是基礎課程的設計有了更高的要求，希望基礎課程能有緊緊地圍繞新興的學科特別是人工智能這些有生命力的相關領域，在這種背景下，該文圍繞新工科背景下高等數(shù)學課程的計算思維進行案例設計，并給出了三個相關案例。

關鍵詞：人工智能;新工科;計算思維

中圖分類號：G642? ? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2021）33-0228-04

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

1 高等數(shù)學課程的改革背景

新工科時代的到來，特別是以人工智能為首的新興工程學科的蓬勃發(fā)展，使得大學生的計算思維培養(yǎng)變得尤為重要。培養(yǎng)大學生的多種思維能力;在計算思維的研討中要從實際出發(fā)，把復雜的問題簡單化，而不要把簡單的問題復雜化;要注意內容和方法的大眾化，講求實效。大學生是國家和社會的中堅力量，如何使大學生所學的知識更好地服務社會，是目前最為迫切需要解決的問題。段躍興認為計算思維對培養(yǎng)當今大學生自身素養(yǎng)、創(chuàng)新能力等方面的重要性，提出大學基礎教育應以培養(yǎng)學生的計算思維及計算能力為目標，采用"1+X"模式， 提高大學生計算思維能力[1]。

美國卡內基.梅隆大學周以真教授在美國計算機權威雜志ACM指出計算思維不是只屬于計算機科學家，而是每個人都應具備的基本技能，在培養(yǎng)孩子的計算機能力時候要同時培養(yǎng)計算思維的能力[2]。計算思維促成NSF（美國國家科學基金會）的CDI（Cyber-Enabled Discovery and Innovation）計劃，CDI計劃的目的是借助計算思維的思想和方法促進國家自然科學、工程技術領域發(fā)生重大變革，以此改變人們思維的方式，從而使國家現(xiàn)代科技遙遙領先于世界[3-4]。2014年，CAS（Computing at School Working Group）深入分析思維的定義、核心概念、教學方法和評估框架，研制出計算思維培養(yǎng)框架，為中小學基礎課程中融入計算思維提供指導作用[5]。美國范德堡大學的Gautam Biswas 教授認為盡管目前已經(jīng)發(fā)現(xiàn)計算思維與STEM教育之間的協(xié)同效應，但對計算思維的領域共性與科學表示的領域特性時間的互換協(xié)調與探索，是教育領域的重大挑戰(zhàn)[6]。

以上學者均給出了通過基礎教育培養(yǎng)計算思維的重要性，也給出了相應的概念模式，但是并沒有給出具體的實踐和實驗方法步驟，為了探索新工科背景下的人才培養(yǎng)，提升基礎教育研究水平，面向高等數(shù)學與學科領域深度融合的教學改革新思路，培養(yǎng)學生計算思維能力為導向的教學內容改革，推動“人工智能、智能制造、互聯(lián)網(wǎng)+、云計算、大數(shù)據(jù)”等信息技術與基礎教育教學深度融合，使得高等數(shù)學基礎課程也能解決工程領域的大型科研問題[7-11]。不管是學科的前沿問題還是復雜系統(tǒng)的架構問題，都可以先通過高等數(shù)學基礎工具來構建基本方法和組件，使學生具備更扎實的基礎計算能力，為高年級的專業(yè)課程的基礎概念有了形象化的能力，不再畏懼復雜的計算和抽象知識。

將現(xiàn)有教學模式與計算思維下的高等數(shù)學基礎教學模式進行教學效果對比實驗，發(fā)現(xiàn)目前大學高等數(shù)學與計算數(shù)學思維相結合模式的缺點，主要體現(xiàn)在學生只會做單純的數(shù)學題，也就是說本質上和高中的水平并無拉開太大的距離，一旦脫離課本尋求一個現(xiàn)實的切入點或者需要使用數(shù)學工具進行建模的時候，學術開始感到無所適從和無從下手[12-14]。學生已經(jīng)習慣了有一個標準的答案的形式或者說做題的模式和慣性，這在大學生素質培養(yǎng)中反而變成成長過程中的絆腳石，特別是即將到來的工業(yè)4.0時代，需要人才不僅具有計算機能力，更需要具備使用高等數(shù)學等基礎課程來處理和建模實際問題，解決實際問題的能力，而這種問題往往沒有標準答案，也沒有統(tǒng)一的解題思路和慣性。改革現(xiàn)有的教學模式，讓學生在解決一個實際問題中去學習知識，自我構建知識、獲得技能，提升解決實際問題的計算建模思想。打破傳統(tǒng)的師生關系，倡導學生學習的自主性與教師教學的啟發(fā)性，學生的主觀能動性與實踐是檢驗真理的唯一標準相結合的思想，實踐又反過來指導學生學習理論知識。要突破目前高校高等數(shù)學課程教學和實際需求脫鉤的問題，因此需要尋求培養(yǎng)計算數(shù)學思維與高等數(shù)學基礎教育的最優(yōu)切入點和案例點，使用各個學科中存在的高等數(shù)學元素，或者說提煉出高等數(shù)學元素進行結合從而組合成為一個案例，這樣不僅能豐富低年級學生的高等數(shù)學素養(yǎng)，更重要的是已經(jīng)進入了工程實踐環(huán)節(jié)，知識來源于實踐，服務于實踐的辯證唯物主義得到了充分的體現(xiàn)。打破傳統(tǒng)的考核制、考級制學習方式，課程本身隔離了與其他課程的聯(lián)系，教師不應該再去加大這種距離性，研究通過項目驅動重新把科研實踐的問題把所有的相關知識組合在一起，達到一種知識最完美的耦合度。高等數(shù)學將重新煥發(fā)它作為基礎學科的生命力，從其他各個學科和工程類專業(yè)中吸取積極的養(yǎng)分，并為高年級的課程學習打下更為堅實的基礎。本文，提出了高等數(shù)學的幾個實際案例，涉及人工智能、神經(jīng)網(wǎng)絡、概率論、變分學、偏微分方程等領域。

2 高等數(shù)學與計算思維融合設計案例

（1）高等數(shù)學計算最優(yōu)概率分布函數(shù)

案例一：系統(tǒng)的可靠性密度函數(shù)[p（t）]包含兩個未知參數(shù)，且隨時間[t]變化，系統(tǒng)函數(shù)的熵為公式（1）。在條件（2）（3）（4）下，使系統(tǒng)熵最大化的分布函數(shù)為正態(tài)分布。

[Max [J[p（t）]=-∞+∞-p（t）lnp（t）dt] （1） [ s.t.-∞+∞p（t）dt=1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? -∞+∞tp（t）dt=μ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? -∞+∞t2p（t）dt=ν2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?] （2）

（3）

（4） ]

證明：令 [G=-p（t）lnp（t）]，[G1=p（t）]，[G2=tp（t）]，[G3=t2p（t）].為：在約束條件下的拉格朗日方程：[H=G+λ1G1+λ2G2+λ3G3=-p（t）lnp（t）+λ1p（t）+λ2tp（t）+λ3t2p（t）]，則目標函數(shù)為：

[[J*=-∞+∞Hdt= -∞+∞-p（t）lnp（t）+λ1p（t）+λ2tp（t）+λ3t2p（t）dt] （5） ]

根據(jù)取得極值的歐拉條件方程為：

[[-lnp（t）-1+λ1+λ2t+λ3t2=0] （6） [p（t）=eλ1-1+λ2t+λ3t2] （7） 代入約束條件（2）可得：

[ -∞+∞p（t）dt=-∞+∞eλ1-1+λ2t+λ3t2dt=eλ1-1e-λ22λ3-∞+∞eλ3x2dx=1] （8） ]

代入約束條件（3）可得：

[[ -∞+∞tp（t）dt=-∞+∞teλ1-1+λ2t+λ3t2dt=eλ1-1e-λ22λ3-∞+∞（x-λ22λ3）eλ3x2dx=-λ22λ3=μ] （9） 代入約束條件 （4）可得：

[λ2=μν2-μ2，λ3=12（μ2-ν2）] （10） 最終可得：

[p（t）=12π（ν2-μ2）e-（t-μ）22（ν2-μ2）] （11） ]

因此，系統(tǒng)最穩(wěn)定可靠的分布曲線為正態(tài)分布，均值為[μ]，方差為[σ2=ν2-μ2]，證明完畢。

（2）高等數(shù)學數(shù)值離散化偏微分方程

案例二：[?u?t=?2u?x2]

定值條件為：

（1）初始條件[（t=0）：u（x，0）=0，x∈[0，10]]

（2）[u（0，t）=100，t≥0]

（3）[u（10，t）=50，t≥0]

根據(jù)Crank-Nicolson方法，方程的左端改寫為：[uj+1i-ujiΔt]，方程的右端，需要在時間點[j]和時間點[j+1]上對[?2u?x2]離散化。下面給出[?2u?x2]離散化的中心差分公式，由于是對空間域做差分，下面略去時間域上標，根據(jù)泰勒展開公式：

[[ui+1=ui+Δx?u?x|i+Δx22?2u?x2|i+Δx33！?3u?x3|i+o（Δx4）] （12） [ui-1=ui-Δx?u?x|i+Δx22?2u?x2|i-Δx33！?3u?x3|i+o（Δx4）] （13） 兩式相加可得：

[ui+1+ui-1=2ui+Δx2?2u?x2|i+o（Δx4）] （14） 移項可得[?2u?x2]離散化的中心差分公式：

[?2u?x2|i=ui+1-2ui+ui-1Δx2] （15） ]

根據(jù)式（14）和式（15）可得例1方程右端的離散化公式如下：

[[12（Fj+1i（u，x，t，?u?x，?2u?x2）+Fji（u，x，t，?u?x，?2u?x2））=12（?2u?x2|j+1i+?2u?x2|ji）] （16） ]

式（15）代入到式（16）可得：

[[12（?2u?x2|j+1i+?2u?x2|ji）=（（uj+1i+1-2uj+1i+uj+1i-1）+（uji+1-2uji+uji-1））2Δx2] （17） ]

則可推得例2的離散化方程如下：

[[uj+1i-ujiΔt=（（uj+1i+1-2uj+1i+uj+1i-1）+（uji+1-2uji+uji-1））2Δx2] （18） ]

為了建立迭代計算式，根據(jù)式 （18）把時間點[j+1]間的項移動到方程式的左邊，把時間點[j]的項移動到方程式的右邊，則可得：

[[-Δt2Δx2uj+1i+1+（1+ΔtΔx2）uj+1i-Δt2Δx2uj+1i-1=Δt2Δx2uji+1+（1-ΔtΔx2）uji+Δt2Δx2uji-1] （19） ]

令[r=Δt2Δx2]則，式（19）可寫為：

[[-ruj+1i+1+（1+2r）uj+1i-ruj+1i-1=ruji+1+（1-2r）uji+ruji-1] （20） ]

假設[Δx=2]，則區(qū)間[0，10]分成5份，6個端點，根據(jù)定值條件（2）以及式（20）可得：

[[-ruj+13+（1+2r）uj+12-ruj+11=ruj3+（1-2r）uj2+ruj1] （21） ]

其中，根據(jù)定值條件（2）[uj1=100，uj+11=100]值，代入式（21）可得：

[[-ruj+13+（1+2r）uj+12=ruj3+（1-2r）uj2+200r] （22） ]

同理，根據(jù)定值條件（3）以及式（22）可得：

[[-ruj+16+（1+2r）uj+15-ruj+14=ruj3+（1-2r）uj2+ruj1] （23） ]

其中，根據(jù)定值條件（3）[uj6=50，uj+16=50]值，代入式（23）可得：

[[（1+2r）uj+15-ruj+14=（1-2r）uj5+ruj4+100r] （24） ]

根據(jù)式（18），（23）和 （24） 令矩陣：

[A=1+2r-r00-r1+2r-r00-r1+2r-r00-r1+2r]，

[B=1-2rr00r1-2rr00r1-2rr00r1-2r]

[w=[200r，0，0，100r]T]，則例1離散的迭代方程可以表示如下：

[? 1+2r-r00-r1+2r-r00-r1+2r-r00-r1+2ruj+12uj+13uj+14uj+15=1-2rr00r1-2rr00r1-2rr00r1-2ruj2uj3uj4uj5+200r00100r]（25）

對于空間分布[U]來說，原先是分成5個區(qū)間有6個點，由于定值條件的（2），（3）消掉了兩個自由度，剩下4個變量，對于線性方程組（25）來說剛好可以解出未知的變量。再根據(jù)定值條件（1）就可以不停地迭代計算。

（3）高等數(shù)學中梯度下降法在神經(jīng)網(wǎng)絡學習中的應用

案例三：BP網(wǎng)絡是現(xiàn)在應用最為廣泛的神經(jīng)網(wǎng)絡。它采用光滑活化函數(shù)， 具有一個或多個隱層， 相鄰兩層之間通過權值全連接。它是前傳網(wǎng)絡，即所處理的信息逐層向前流動。而當學習權值時， 卻是根據(jù)理想輸出與實際輸出的誤差，由前向后逐層修改權值（誤差的向后傳播， 即Back Propagation）。

BP網(wǎng)絡的拓撲結構見圖1（以帶一個隱層和一個輸出單元的BP網(wǎng)絡為例）。

選定一個非線性光滑活化函數(shù)[g：R1→R1]， 并按稍后給出的規(guī)則確定了權矩陣[W=WmpM×P]和[w=wpn1≤p≤P，1≤n≤N]之后，對任一輸入信息向量[ξ=（ξ1，…，ξN）∈RN]， 網(wǎng)絡的實際輸出為

[[?m=g（Wm?τ）=g（p=1PWmpτp），m=1，…，M] （26） 其中隱層輸出為

[τp=g（wp?ξ）=g（n=1Nwpnξn）， p=1，…，P] （27） ]

假設給定一組樣本輸入向量[ξjJj=1?RN]及相應的理想輸出[OjJj=1?RM]， 并記[ζjJj=1?RM]為相應的網(wǎng)絡實際輸出。定義誤差函數(shù)

[[E（W，w）≡12j=1JOj-ζj2=12j=1Jm=1MOjm-gp=1PWmpg（n=1Nwpnξjn）2] （28） ]

權值矩陣[W和w]的確定（即學習過程）應使誤差函數(shù)[E（W，w）]達到極小。為此，一個簡單而又常用的方法是梯度下降法。取當前權值[Wmp]的改變量為

[[ΔWmp=-η?E?Wmp=ηj=1J（Ojm-ζjm）g（Hjm）τjp=ηj=1JΔjmτjp] （29） ]

其中[η>0]為學習速率：

[[Δjm=（Ojm-ζjm）g（Hjm）] （30） 而[Hjm=p=1PWmpτjp] （31） ]

式（31）是隱層單元對第[m]個輸出層單元的線性輸入。進一步，我們使用梯度下降法可以得到當前權值[wpn]的改變量應為：

[ [Δwpn=-η?E?wpn=-ηj=1J?E?τjp?τjp?wpn =ηj=1Jm=1M（Ojm-ζjm）g（Hjm）Wmpg（hjp）ξjn =ηj=1Jm=1MΔjmWmpg（hjp）ξjn =ηj=1Jδjpξjn] （32） [hjp=n=1Nwpnξjn δjp=g（hpj）m=1MΔjmWmp] （33） ]

綜合以上討論我們看到，應用BP網(wǎng)絡時， 所處理的信息（工作流程）是前向傳播的，因此稱為前傳網(wǎng)絡。而在網(wǎng)絡學習階段，是用誤差的向后（或稱反向）傳播來逐層修改權值，因此稱為反向傳播（Back Propagation）算法，使用的本質是梯度下降法。

3 結論

在新工科背景下，老師們需要考慮如何把高等數(shù)學融入工程或者人工智能領域，使得高等數(shù)學不再是單純地做題式的教學，而應該將它解放出來，它本身所蘊含處理實際的實踐問題和其他專業(yè)領域的能量是巨大的，也只有把它跟其他學科結合起來，才能充分發(fā)揮其作為基礎學科的生命力。因此，設計高等數(shù)學與其他專業(yè)領域或者其他課程之間的關聯(lián)案例就顯得尤為重要，本文提供了幾個案例涉及人工智能、神經(jīng)網(wǎng)絡、概率論、變分學、偏微分方程等領域，不僅解放了高等數(shù)學作為基礎學科的作用，也使得學生學習其他課程提供了很好的橋梁，學生不僅將在高等數(shù)學課程中學習到本課程的思維，而且也將跟工程實踐的工科思維或者跟其他學科的思維緊密聯(lián)系在一起，從而在處理大型問題具備多學科、多角度、多方位的思維習慣，計算與理性完美地結合。最后，案例設計是個開放的形式，隨著案例的增加，多學科、多專業(yè)、多學院的課程之間的交叉將更為緊密，對于培養(yǎng)多個院系的學生之間的團隊協(xié)作和溝通障礙的掃除也將產(chǎn)生積極的作用。

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