兩直線斜率積問題分類解析與命題推廣

武 剛 李秀元

(1.湖北省武穴中學(xué) 435400;2.湖北省武穴市實驗高級中學(xué) 435400)

平面解析幾何的教學(xué)，從知識層面上講，需要掌握直線、圓及圓錐曲線的定義、方程和幾何性質(zhì)，熟悉直線與二次曲線位置關(guān)系問題的處理方式；從思想方法層面講，主要是傳授數(shù)形結(jié)合與模型化思想；從能力層面，包括但不僅僅限于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，語言表達(dá)以及運(yùn)算與推理等能力培養(yǎng)；從核心素養(yǎng)層面，則需重點提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，其中，數(shù)學(xué)運(yùn)算尤為突出，很多結(jié)論的獲取，都是基于計算結(jié)果，解題過程大部分是運(yùn)算過程展示.在圓錐曲線的學(xué)習(xí)過程中，我們發(fā)現(xiàn)，兩直線斜率積問題比較常見，從課本到高考都有體現(xiàn)，試題大致可分為四類：已知過動點兩直線斜率積為定值，求動點軌跡方程；已知動直線與圓錐曲線相交于兩點，兩點所對應(yīng)的兩條直線斜率積為定值，研究動直線的特點；證明兩直線斜率積為定值；在兩直線斜率積為定值的基礎(chǔ)上，探討直線方程中參數(shù)關(guān)系等.

一、已知斜率積求動點軌跡方程

(1)求動點P的軌跡C的方程；

(2)已知直線l：y=kx+m，C的右焦點為F，直線l與C交于M，N兩點，若點F是△AMN的垂心，求直線l的方程.

分析這類題是課標(biāo)實驗教科書《數(shù)學(xué)》(選修2-1)中例題的變式.課本例題可以看成產(chǎn)生橢圓的一種方式，揭示了橢圓的一條性質(zhì).

因此，基于兩個關(guān)于原點的對稱點，若兩動直線斜率之積為定值(負(fù)值)，則動點軌跡一定是橢圓(除去兩已知點).應(yīng)用模型識別，我們可以提前定位曲線類型，識別方程結(jié)構(gòu).

本題條件直譯后，化簡即得動點軌跡方程，但在表示斜率時要注意坐標(biāo)的限制條件，即軌跡方程的限制條件，而第(2)小題，則需要借助互相垂直的兩直線斜率之積為-1來轉(zhuǎn)化運(yùn)算.

反思橢圓這一性質(zhì)的產(chǎn)生，應(yīng)該源于任一直徑所對圓周角為直角，且互相垂直的兩直線斜率之積為定值-1的基本事實.圓和橢圓同屬于二次曲線，兩者之間可以互相轉(zhuǎn)化，進(jìn)行類比推理，從特殊入手，進(jìn)而得到橢圓的一般化命題.橢圓具有的性質(zhì)，雙曲線也會有類似的性質(zhì)，我們要做的只是想辦法將它們統(tǒng)一起來.在圓錐曲線章節(jié)復(fù)習(xí)時，以課本例習(xí)題為載體，設(shè)置一次探究活動，重點關(guān)注性質(zhì)的產(chǎn)生過程與整合，對落實邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)意義非凡.

二、探討或證明兩直線斜率積為定值

圖1

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)點P是橢圓C上異于A，B的點，與x軸垂直的直線l分別交直線AP，BP于點M，N，求證：直線AN與直線BM的斜率之積是定值.

反思由于定值結(jié)構(gòu)形式與橢圓性質(zhì)一致，二者之間應(yīng)該有一定的聯(lián)系.事實上，如果將AN和BM延長，設(shè)交點為Q，只要能說明點Q在橢圓上，或者由直線BM與橢圓交于另一點Q，能說明A,N和Q三點共線，則兩個問題也就合二為一了.由于是純字母運(yùn)算，無論是運(yùn)算方向的把握，還是運(yùn)算過程的落實，難度值都是很大的.但經(jīng)過核算，這是對的.因此有

我們甚至可以更大膽地猜想，將橢圓長軸換成任一直徑，直線l與直徑垂直，所得兩直線斜率之積也是定值，讀者不妨試一試.

下面繼續(xù)來看斜率積為定值的其他形式的問題.

(1)求橢圓的方程；

(2)圓C的方程為x2+y2=5，若圓C與直線l相交于P，Q兩點(兩點均不在坐標(biāo)軸上)，試探究OP，OQ的斜率之積是否為定值？若是，求出此定值，若不是，請說明理由.

(2)當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y=kx+m，

因為直線l與橢圓C有且只有一個交點，所以Δ1=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)=0，即m2=1+4k2.

設(shè)直線OP1，OP2的斜率分別為k1，k2，則

結(jié)果同樣與橢圓性質(zhì)形式一致.一般地，我們有

(1)求C的方程；

(2)直線l不過原點O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個交點A,B，線段AB的中點為M.證明：直線OM與直線l的斜率乘積為定值.

(2)設(shè)直線l:y=kx+t(k≠0，t≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(xM,yM).

三、基于兩直線斜率積為定值，研究動直線特點

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點Q是橢圓C與x軸正半軸的交點，斜率不為0的直線l與橢圓C交于不同的兩點D，E，若kQD·kQE=9，問直線DE是否恒過定點？若過定點，求出該定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.

所以y1y2=9(x1-1)(x2-1)=9(ty1+m-1)(ty2+m-1)，進(jìn)一步整理，得(9t2-1)y1y2+9(m-1)t(y1+y2)+9(m-1)2=0.

因為m≠1(直線不過(1,0)點)，故有(9t2-1)(m+1)-18mt2+3(m-1)(1+3t2)=0，解得m=2.

故直線DE恒過定點(2,0).

四、基于兩直線斜率積為定值，研究動直線方程中參數(shù)的特點

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

依題意，Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)>0，化簡，得m2<4k2+1.①

所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.

所以(4k2-5)x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0.

雖然我們對一些命題進(jìn)行了推廣，但也只是一般化而已，如果能在不同曲線上展現(xiàn)，這樣的研究也許更有意義.不管是哪種類型，問題解決最終都是展現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，因此，在平時的解題教學(xué)中，除了邏輯分析外，還是需要留足時間，展示運(yùn)算過程，突破運(yùn)算技巧，提升運(yùn)算能力.