辨識(shí)橢圓的離心角與旋轉(zhuǎn)角

林國(guó)紅

(廣東省佛山市樂(lè)從中學(xué) 528315)

在一次調(diào)研考試中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)一道解析幾何題的兩種不同解法分辨不清，說(shuō)明學(xué)生對(duì)相關(guān)概念模糊，認(rèn)識(shí)不到位，從而產(chǎn)生錯(cuò)誤，并且這種錯(cuò)誤在學(xué)生中普遍存在，非常有代表性.筆者對(duì)此特意成文，供大家參考.

一、試題的呈現(xiàn)與解答

(1)求橢圓Γ的方程；

(2)過(guò)原點(diǎn)O作兩條相互垂直的直線分別與橢圓Γ交于A,C與B,D，求四邊形ABCD的面積的最小值.

當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)取等號(hào).

則四邊形ABCD的面積

評(píng)注問(wèn)題(2)中的兩種解法，是學(xué)生解答中的普遍做法，太多數(shù)學(xué)生認(rèn)為解法2比解法1更為簡(jiǎn)單，容易求最值，同時(shí)認(rèn)為解法1也正確，所以無(wú)法判斷那一種解法有誤.

一題兩個(gè)不同結(jié)果，孰對(duì)孰錯(cuò)？實(shí)際上，解法2是錯(cuò)誤的.原因在于應(yīng)用橢圓的參數(shù)方程解題時(shí)，未能理解參數(shù)的幾何意義，沒(méi)有準(zhǔn)確把握橢圓參數(shù)方程中離心角與旋轉(zhuǎn)角的區(qū)別與聯(lián)系，從而產(chǎn)生誤解，導(dǎo)致錯(cuò)誤.

二、橢圓離心角與旋轉(zhuǎn)角的概念及其關(guān)系

1.橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)

如圖，以原點(diǎn)O為圓心，a,b(a>b>0)為半徑分別作兩個(gè)同心圓.設(shè)A為大圓上的任一點(diǎn)，連接OA，與小圓交于點(diǎn)B.過(guò)點(diǎn)A,B分別作x軸，y軸的垂線，兩垂線交于點(diǎn)M.求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程.

圖1 圖2

2.橢圓的離心角與旋轉(zhuǎn)角及其關(guān)系

由圖可以看出，參數(shù)α是點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的圓的半徑OA(或OB)的旋轉(zhuǎn)角(稱為點(diǎn)M的離心角)，不是OM的旋轉(zhuǎn)角，θ才是OM的旋轉(zhuǎn)角.

當(dāng)點(diǎn)A繞著點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，離心角α和旋轉(zhuǎn)角θ的大小都在發(fā)生變化：在第一象限時(shí)，α>θ；在第二象限時(shí)，α<θ；在第三象限時(shí)，α>θ；在第四象限時(shí)，α<θ；當(dāng)點(diǎn)A在坐標(biāo)軸上時(shí)，α=θ.

三、解法2的錯(cuò)因分析與解法修正

1.錯(cuò)因分析

原題目的條件AC⊥BD，實(shí)際上是指點(diǎn)A與點(diǎn)B的旋轉(zhuǎn)角相差90°，而解法2用的是點(diǎn)A與點(diǎn)B的離心角相差90°.兩者是否一致？

可見(jiàn)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角θ增加90°時(shí)，離心角α不一定增加90°，所以在應(yīng)用橢圓的參數(shù)方程時(shí)，必須理解參數(shù)的幾何意義，分清離心角與旋轉(zhuǎn)角.

2.解法2 的修正

所以四邊形ABCD的面積

評(píng)注顯然，解法2修正后的結(jié)果與解法1的一致，對(duì)比之下，解法1較易理解，運(yùn)算量也稍少.

四、其它解法

評(píng)注從上述三種解法可看出，解法3所用的極坐標(biāo)法運(yùn)算量少，最為簡(jiǎn)單.