例談解析幾何中的非對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

李文東

(廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué) 528454)

解析幾何問(wèn)題主要考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，其中尤其對(duì)于運(yùn)算求解能力要求較高，因此怎樣計(jì)算以及怎樣優(yōu)化解析幾何的運(yùn)算是一個(gè)很重要的問(wèn)題，下面我們談?wù)劷馕鰩缀沃蟹菍?duì)稱(chēng)問(wèn)題的處理策略.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)M(0,1)的直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)P,Q(異于頂點(diǎn))，記橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A1,A2，若直線A1P與A2Q交于點(diǎn)S，證明：點(diǎn)S恒在直線y=4上.

結(jié)合目標(biāo)，消去x得：(y2+2)x1(y-2)=(y1-2)x2(y+2)，此表達(dá)式中左右結(jié)構(gòu)不對(duì)稱(chēng)，想要直接運(yùn)用韋達(dá)定理比較困難.對(duì)此問(wèn)題，我們有以下求解策略：

一、利用韋達(dá)定理進(jìn)行齊次化

進(jìn)一步將(y2+2)x1(y-2)=(y1-2)x2(y+2)整理得：(3x1+x2)y=4kx1x2+6x1-2x2，結(jié)合韋達(dá)定理知2kx1x2=3(x1+x2)，代入前式可得：(3x1+x2)y=4kx1x2+6x1-2x2=6(x1+x2)+6x1-2x2=4(3x1+x2)，依題意：3x1+x2≠0，否則此時(shí)A1P∥A2Q，故得y=4，即點(diǎn)S恒在直線y=4上.

評(píng)注本題的目標(biāo)很明確，就是要證明交點(diǎn)S的縱坐標(biāo)為定值，因此首先聯(lián)立直線A1P和A2Q的方程，消去x，得到(3x1+x2)y=4kx1x2+6x1-2x2，但是此式中的x1,x2不對(duì)稱(chēng)，無(wú)法直接運(yùn)用韋達(dá)定理.這里的想法是利用韋達(dá)定理得到2kx1x2=3(x1+x2)，其本質(zhì)是將二次表達(dá)式x1x2化為一次表達(dá)式x1+x2，從而實(shí)現(xiàn)齊次化的目的.

二、利用韋達(dá)定理進(jìn)行消元

三、利用橢圓方程實(shí)現(xiàn)對(duì)稱(chēng)化

下面我們給出這類(lèi)問(wèn)題的幾個(gè)變式題.

(1)求橢圓的方程；

(2)當(dāng)|AP|=2|PB|，如圖1，求直線l的方程.

圖1