懸索橋基準(zhǔn)索股調(diào)整計(jì)算的改進(jìn)方法

鄧小康，孫 杰

(武漢科技大學(xué) 汽車(chē)與交通工程學(xué)院，湖北 武漢 430081)

0 引 言

懸索橋主纜索股架設(shè)線形控制是懸索橋施工控制的關(guān)鍵環(huán)節(jié)[1]，主纜索股架設(shè)完成后，其在鞍槽內(nèi)不動(dòng)點(diǎn)位置就完全固定下來(lái)[2]，后續(xù)施工中不動(dòng)點(diǎn)間的無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度無(wú)法再進(jìn)行調(diào)整，故對(duì)主纜線形存在的誤差應(yīng)盡量在索股架設(shè)階段加以消除[3-5]。

主纜索股架設(shè)線形調(diào)整計(jì)算的核心是確定無(wú)應(yīng)力索長(zhǎng)調(diào)整量(ΔS)與垂度偏差量(Δf)之間的關(guān)系。文獻(xiàn)[6]提出基于拋物線理論的基準(zhǔn)索股調(diào)整計(jì)算方法，該方法計(jì)算簡(jiǎn)便、精確度較高，但其采用拋物線來(lái)擬合主纜線形，與實(shí)際情況并不相符。文獻(xiàn)[7-8]提出基于懸鏈線理論的基準(zhǔn)索股調(diào)整計(jì)算方法，該方法采用了與實(shí)際情況最為接近的懸鏈線來(lái)擬合主纜線形，但需通過(guò)反復(fù)迭代來(lái)確定主纜線形和無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度，計(jì)算繁瑣，不便于現(xiàn)場(chǎng)調(diào)索操作[9-10]。

筆者在對(duì)懸索橋主纜線形和主纜變形與受力關(guān)系分析基礎(chǔ)上，提出了一種懸索橋基準(zhǔn)索股調(diào)整計(jì)算的改進(jìn)方法。該方法基于懸鏈線理論，采用泰勒公式將主纜線形方程在目標(biāo)空纜狀態(tài)處展開(kāi)，求解展開(kāi)后的方程即可獲得索長(zhǎng)調(diào)整量與主纜跨中矢高變化量之間關(guān)系，該方法計(jì)算簡(jiǎn)便、精度高。此外，筆者還分別討論了該方法在等高主塔和不等高主塔情況下的應(yīng)用。

1 計(jì)算方法提出

主纜計(jì)算示意如圖1。圖1中：以最低點(diǎn)A為原點(diǎn)，y軸豎直向上，左邊x軸水平向左，右邊x軸水平向右建立坐標(biāo)系。令：q為沿索長(zhǎng)均勻分布的主纜自重，H為索段上任一點(diǎn)的水平分力，z為任一點(diǎn)的斜率。

圖1 主纜計(jì)算示意Fig. 1 Schematic diagram of main cable

文獻(xiàn)[11]已求出不考慮彈性伸長(zhǎng)對(duì)主纜自重荷載集度影響時(shí)的主纜線形斜率參數(shù)方程和有應(yīng)力長(zhǎng)度。故圖1中主纜線形方程如式(1)～式(3)：

(1)

(2)

(3)

圖1中的最低點(diǎn)左側(cè)主纜(或右側(cè)主纜)，其任意兩點(diǎn)間主纜有應(yīng)力長(zhǎng)度如式(4)：

(4)

式中：zj為索段高點(diǎn)j的斜率；zi為索段低點(diǎn)i的斜率。

為計(jì)算簡(jiǎn)便，筆者在進(jìn)行調(diào)索計(jì)算時(shí)，對(duì)當(dāng)前狀態(tài)和目標(biāo)空纜狀態(tài)的主纜長(zhǎng)度均采用有應(yīng)力索長(zhǎng)。文獻(xiàn)[12]研究表明：這樣處理造成的誤差很小。

2 等高主塔基準(zhǔn)索股調(diào)整計(jì)算

等高主塔基準(zhǔn)索股的調(diào)整計(jì)算可歸納為：已知在考慮各種施工誤差情況下的主纜計(jì)算跨徑為L(zhǎng)，主纜在調(diào)索前的垂度為f(假定此時(shí)跨中標(biāo)高高于目標(biāo)狀態(tài)Δf)，沿索長(zhǎng)均勻分布的主纜自重為q(圖2)，求主纜的索長(zhǎng)調(diào)整量。

圖2 等高主塔基準(zhǔn)索股調(diào)整示意Fig. 2 Adjustment diagram of datum cable strand of constant heightmain tower

2.1 主纜調(diào)索方程構(gòu)建

由于主塔等高，最低點(diǎn)A位于跨中位置，且此時(shí)A點(diǎn)往左右兩邊的斜率均為0。令調(diào)索前主纜頂端的斜率為z1，主纜水平分力為H。代入式(1)、式(3)可得式(5)、式(6)：

(5)

(6)

式(5)、式(6)為二元非線性方程組，方程組包含兩個(gè)未知數(shù)，即主纜的水平分力H和頂端的斜率z1，只需求出兩個(gè)未知數(shù)，調(diào)索前的主纜線形和內(nèi)力即可完全確定。式(6)除以式(5)得式(7)：

(7)

構(gòu)建函數(shù)如式(8)：

(8)

式(8)即為對(duì)稱(chēng)主塔的主纜調(diào)索方程，其僅包含頂端斜率z1一個(gè)未知數(shù)。對(duì)式(8)求導(dǎo)得式(9)：

(9)

對(duì)式(8)求二階倒數(shù)，有式(10)：

(10)

式(10)恒大于0，g(z1)為凹函數(shù)，如圖3。

2.2 運(yùn)用泰勒一階展開(kāi)式計(jì)算調(diào)索量

目標(biāo)空纜狀態(tài)下主纜長(zhǎng)度S0和主塔頂端主纜斜率z0為已知量，均可由成橋狀態(tài)分析得到[13]。

圖3 g(z1)函數(shù)示意Fig. 3 Schematic diagram of g(z1)

由于調(diào)索前空纜狀態(tài)和目標(biāo)空纜狀態(tài)主纜線形差別不大，z0應(yīng)在式(8)的解附近，將g(z1)在z0處一階展開(kāi)，得式(11)：

(11)

式中：O(z1)為高階微量。

忽略高階微量，則式(11)變?yōu)槭?12)：

g(z)=C1+C2(z1-z0)=0

(12)

求解式(12)即可求得z1，如式(13)：

(13)

通過(guò)文中算例發(fā)現(xiàn)：采用泰勒一階展開(kāi)求出的z1存在較大誤差，對(duì)結(jié)果按照式(13)進(jìn)行二次修正后即可得到滿(mǎn)足精度要求的z1。

將z1代入式(5)可求得調(diào)索前空纜狀態(tài)主纜的水平分力H，如式(14)：

(14)

將求得的H和z1代入式(4)，即可得到有應(yīng)力長(zhǎng)度S。需注意的是，目標(biāo)空纜狀態(tài)的主纜長(zhǎng)度S0也應(yīng)采用不考慮變形前后q變化時(shí)的有應(yīng)力長(zhǎng)度，將S和S0相減，即得索長(zhǎng)調(diào)整量，如式(15)：

ΔS=|S-S0|

(15)

2.3 運(yùn)用泰勒二階展開(kāi)式計(jì)算調(diào)索量

將g(z1)在z0處二階展開(kāi)，有式(16)：

(16)

式中：O(z1)為高階微量。

忽略高階微量，則式(16)變?yōu)槭?17)：

(17)

式中：C1、C2同2.2節(jié)。

求解式(17)，即可求得z1，如式(18)：

(18)

將式(18)代入式(5)，即可求出H。

已知z1和H即可參照2.2節(jié)方法求出當(dāng)前狀態(tài)下主纜長(zhǎng)度S，并由式(15)得到索長(zhǎng)調(diào)整量ΔS。

3 不等高主塔基準(zhǔn)索股調(diào)整計(jì)算

為滿(mǎn)足地形和線路走向要求，在某些情況下懸索橋會(huì)采用主塔不等高的設(shè)計(jì)[14]。不等高主塔會(huì)造成主纜線形改變和內(nèi)力重分布[15]，其調(diào)索計(jì)算方法也會(huì)發(fā)生改變。

不等高索塔基準(zhǔn)索股的調(diào)索計(jì)算可歸納為：已知在考慮各種施工誤差情況下的主纜計(jì)算跨徑為L(zhǎng)，主纜在調(diào)索前的左右垂度分別為f1、f2(假定此時(shí)主纜最低點(diǎn)標(biāo)高高于目標(biāo)狀態(tài)Δf)，沿索長(zhǎng)均勻分布的主自重為q，求主纜索長(zhǎng)的調(diào)整量，如圖4。

圖4 不等高索塔基準(zhǔn)索股調(diào)整示意Fig. 4 Adjustment diagram datum cable strand of unequal height tower

令調(diào)索前左、右主纜頂端斜率分別為z1、z2，則主纜水平分力為H。由式(5)、式(6)可得式(19)～式(21)：

(19)

(20)

(21)

由式(19)除以式(20)、式(20)除以式(21)，可得式(22)、式(23)：

(22)

(23)

對(duì)式(22)進(jìn)行調(diào)整，有式(24)：

(24)

對(duì)式(23)進(jìn)行調(diào)整，有式(25)：

(25)

目標(biāo)空纜狀態(tài)下主纜長(zhǎng)度S0和主塔頂端主纜斜率z10、z20為已知量，均可由成橋狀態(tài)分析得到。

由于調(diào)索前空纜狀態(tài)和目標(biāo)空纜狀態(tài)主纜線形差別不大，z10、z20應(yīng)在式(24)、式(25)的解附近。將m(z1,z2)和n(z1,z2)在(z10,z20)處一階展開(kāi)，得式(26)～式(31)：

(26)

z20)+O2(z1,z2)

(27)

令：

(28)

(29)

(30)

(31)

式中：O1、O2分別為高階微量。

將z1=z10、z2=z20代入式(28)～式(31)，即可得到泰勒展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)，忽略高階微量，式(26)、式(27)可寫(xiě)為式(32)、式(33)：

m(z10,z20)+C1(z1-z10)+C2(z2-z20)=0

(32)

n(z10,z20)+C3(z1-z10)+C4(z2-z20)=0

(33)

求解式(32)、式(33)，即可求得z1、z2，如式(34)、式(35)：

(34)

(35)

為提高精度，可將求得的z1、z2再次代入式(34)、式(35)進(jìn)行二次修正，修正后的z1、z2作為最終結(jié)果。

將z1、z2代入式(19)，可求得主纜水平分力H，如式(36)：

(36)

已知z1、z2和H后即可參照第2節(jié)方法求出當(dāng)前狀態(tài)下的主纜長(zhǎng)度S，再用|S-S0|即可求得索長(zhǎng)調(diào)整量。

4 算 例

4.1 算例1

某等高主塔懸索橋，主纜沿弧長(zhǎng)的自重線荷載為q=0. 2117 kN/m，已通過(guò)成橋狀態(tài)線形分析得到主纜索股有應(yīng)力長(zhǎng)度為1 129.020 m，在考慮索塔偏位和索鞍預(yù)偏量情況下，實(shí)測(cè)索股兩端水平距離為1 105. 622 m，目標(biāo)空纜狀態(tài)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 目標(biāo)空纜狀態(tài)參數(shù)Table 1 Parameters of target empty cable status

對(duì)跨中標(biāo)高高于目標(biāo)狀態(tài)(即垂度小于目標(biāo)空纜狀態(tài))0.2、0.4、0.5、0.6、0.8、1.0 m情況，通過(guò)懸鏈線索長(zhǎng)計(jì)算程序得到當(dāng)前狀態(tài)精確索長(zhǎng)及索長(zhǎng)精確調(diào)整量(與文獻(xiàn)[8]對(duì)比，其索長(zhǎng)誤差小于0.001%)，再按照文中提出的改進(jìn)方法和基于拋物線理論的調(diào)索公式分別計(jì)算主跨索長(zhǎng)調(diào)整量，將這3者對(duì)比，結(jié)果如表2。

通過(guò)表2可看出：同精確解相比，基于拋物線理論調(diào)索公式計(jì)算結(jié)果誤差為3.24%～4.35%；而采用文中基于泰勒公式一階展開(kāi)式(不進(jìn)行二次修正)進(jìn)行調(diào)索計(jì)算時(shí)，計(jì)算結(jié)果誤差為8.70%～25.54%，誤差較大；進(jìn)行二次修正后，計(jì)算調(diào)索量誤差降為0～1.09%，精度大為提高；采用文中提出的基于泰勒公式二階展開(kāi)式進(jìn)行調(diào)索計(jì)算時(shí)，計(jì)算調(diào)索量誤差為0～1.09%，索長(zhǎng)調(diào)整量計(jì)算精度較高。

表2 等高索塔索長(zhǎng)調(diào)整量比較Table 2 Comparison of cable length adjustment of equal height cable tower m

4.2 算例2

某不等高主塔懸索橋跨度L=888 m，主纜恒載集度q=54 kN/m，取f1=60 m，f2=61 m。對(duì)跨中標(biāo)高高于目標(biāo)狀態(tài)(即垂度小于目標(biāo)空纜狀態(tài))0.2、0.4、0.5、0.6、0.8、1.0 m的情況，通過(guò)懸鏈線索長(zhǎng)計(jì)算程序得到當(dāng)前狀態(tài)精確索長(zhǎng)及索長(zhǎng)精確調(diào)整量，再按照文中提出改進(jìn)方法的調(diào)索公式計(jì)算主跨索長(zhǎng)調(diào)整量，將二者對(duì)比，結(jié)果如表3。

由表3可知：當(dāng)主塔不等高時(shí)，同精確值相比，采用文中提出的泰勒公式一階展開(kāi)式(二次修正)進(jìn)行調(diào)索時(shí)，計(jì)算調(diào)整量誤差為0～0.32%，索長(zhǎng)調(diào)整量計(jì)算精度較高。

表3 不等高索塔索長(zhǎng)調(diào)整量Table 3 Cable length adjustment of unequal height cable tower m

5 結(jié) 論

筆者提出了一種懸索橋基準(zhǔn)索股調(diào)整計(jì)算的改進(jìn)方法。該方法以筆者前期研究過(guò)程中提出的主纜線形斜率參數(shù)方程和索長(zhǎng)計(jì)算方法為基礎(chǔ)，將當(dāng)前狀態(tài)主纜線形方程采用泰勒展開(kāi)式展開(kāi)，求解展開(kāi)后的方程即可得到調(diào)索前主纜長(zhǎng)度，進(jìn)而獲得索長(zhǎng)調(diào)整量。

算例1結(jié)果表明：等高索塔采用泰勒公式一階展開(kāi)式(不進(jìn)行二次修正)計(jì)算時(shí)，得到的索長(zhǎng)調(diào)索量誤差較大；采用泰勒公式一階展開(kāi)式(二次修正)或泰勒公式二階展開(kāi)式進(jìn)行調(diào)索計(jì)算時(shí)，索長(zhǎng)調(diào)整量與精確值基本一致。算例2結(jié)果表明：不等高索塔采用泰勒公式一階展開(kāi)式(二次修正)進(jìn)行調(diào)索計(jì)算時(shí)，索長(zhǎng)調(diào)整量與精確值基本一致。