劉小琪, 吳 穎

(北京師范大學(xué)物理學(xué)系，北京 100000 )

0 引 言

法國物理學(xué)家傅科于1851年在巴黎萬圣殿內(nèi)的拱頂上懸掛了一個擺長67m，擺錘質(zhì)量為28kg的單擺，該單擺擺動周期約為16s，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)該單擺平面繞豎直軸作順時針轉(zhuǎn)動(由上向下看)，轉(zhuǎn)動周期約為 32h，這就是著名的傅科擺實(shí)驗(yàn)。傅科擺實(shí)驗(yàn)無需依賴地球以外的物體，就能直觀地展示地球自轉(zhuǎn)的存在，是物理學(xué)史上最美麗的實(shí)驗(yàn)之一。對傅科擺的仿真模擬研究具有重要的教學(xué)意義。

1 傅科擺的理論推導(dǎo)

1.1 考慮自轉(zhuǎn)的重力加速度

圖1 隨動坐標(biāo)系建立示意圖

(1)

O 點(diǎn)加速度可以表示為

(2)

根據(jù)非慣性系中加速度的公式

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

其中表觀重力由自轉(zhuǎn)角速度和星球半徑?jīng)Q定

(8)

表觀重力的矢量合成如圖 2所示

圖2 表觀重力示意圖

1.2 傅科擺的運(yùn)動微分方程

圖3 傅科擺受力示意圖

對于傅科擺，根據(jù)非慣性系中的牛頓第二定律有

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其中，

(10)

(11)

由此可列出三個方向的運(yùn)動微分方程

(12)

其中存在約束條件x2+y2+(l-z)2=l2，則可做出以下近似

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(14)

為了在程序中應(yīng)用 ode45 指令求解微分方程，將以上微分方程組改寫為一階微分方程組

(15)

2 利用App Designer編程仿真模擬

2.1 基于功能的面板設(shè)計

為了實(shí)現(xiàn)傅科擺的模擬，需要輸入?yún)⒘坎⑤敵鰣D像和數(shù)據(jù)?；诖?，設(shè)計了如圖 4 所示的面板。

圖4 程序面板

面板分為輸入、畫圖和輸出三個模塊。左側(cè)一欄為數(shù)據(jù)輸入欄，根據(jù)第一部分的理論推導(dǎo)，求解傅科擺的微分方程需要以下參量：擺球的初始坐標(biāo)(x_initial,y_initial,z_initial)、擺球初始速度(默認(rèn)為 0，由于傅科擺的速度必須垂直于擺繩的方向，用戶不能隨意設(shè)置初始速度)、傅科擺所處星球的自轉(zhuǎn)角速度(w)、傅科擺在星球上所處的緯度(λ)、星球表面的重力加速度g(考慮星球自轉(zhuǎn)，由星球質(zhì)量M，星球半徑R，星球自轉(zhuǎn)角速度w，傅科擺的緯度λ決定)。

通過計算和測試，確定能夠得到較好模擬效果的參數(shù)范圍，使用滑塊組件來實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的輸入，并根據(jù)這個范圍，將滑塊的范圍設(shè)置為合適的值。

2.2 程序與用戶操作流程圖

在程序開始運(yùn)行之后，用戶通過滑塊調(diào)節(jié)各個參數(shù)的大小，然后點(diǎn)擊“開始”按鈕，程序獲取用戶選擇的參數(shù)并開始進(jìn)行微分方程的求解，在運(yùn)行程序的同時，面板右側(cè)輸出欄中輸出擺球的坐標(biāo)(x_now,y_now,z_now)和擺球方位角(θ_now和φ_now)的實(shí)時數(shù)據(jù)。如果用戶點(diǎn)擊“暫?！卑粹o，畫圖和數(shù)據(jù)輸出的程序暫停運(yùn)行，再點(diǎn)擊“繼續(xù)”按鈕時，程序繼續(xù)運(yùn)行。在點(diǎn)擊“開始”按鈕之后，在任何時候點(diǎn)擊“停止”按鈕都能夠使程序關(guān)閉。在點(diǎn)擊“開始”按鈕之后，用戶仍然可以通過滑塊改變參數(shù)，以新參數(shù)重新開始計算。程序運(yùn)行與用戶操作的流程圖如圖 5 所示。

圖5 程序運(yùn)行與用戶操作流程圖

3 仿真模擬結(jié)果

為了方便使用者對傅科擺的運(yùn)動過程進(jìn)行觀察，可調(diào)的能實(shí)時變化的視角十分重要。 view 語句包含水平視角和俯仰視角，其中水平視角可調(diào)范圍是 0° 到360°；俯仰視角范圍需要從-90°到 90°才能實(shí)現(xiàn)俯仰的全部視角。

為了得到較好的圖像呈現(xiàn)效果，坐標(biāo)軸的選取十分重要。首先是坐標(biāo)軸范圍，由于的初始的擺球位置和擺線長度都是不確定的，所以在程序中采用的坐標(biāo)軸范圍是根據(jù)用戶的設(shè)置而變化的；其次，為了呈現(xiàn)更好的俯視圖的擺球軌跡圖像，使用 pbaspect 語句鎖定x,y軸的縱橫比。值得注意的是可以通過設(shè)計視圖右側(cè)的組件瀏覽器中的檢查器對圖像組件的初始坐標(biāo)軸、是否顯示網(wǎng)格等性質(zhì)進(jìn)行設(shè)置，以獲得更好的圖形效果。

圖6 運(yùn)行過程截圖

4 結(jié) 語

利用 MATLAB 中的App Designer 設(shè)計了一款能夠模擬其運(yùn)動過程的應(yīng)用程序。這款程序具有調(diào)節(jié)參數(shù)、顯示立體圖和俯視圖、設(shè)置是否顯示軌跡、實(shí)時輸出數(shù)據(jù)以及開始、停止、暫停、繼續(xù)的功能。立體圖和俯視圖的同步更新能夠直觀地顯示擺球的運(yùn)動情況；右側(cè)的實(shí)時數(shù)據(jù)也印證了傅科擺弦振動面緩慢轉(zhuǎn)動的特性。本款A(yù)PP 可以用于傅科擺運(yùn)動的輔助學(xué)習(xí)，有助于更加直觀地了解傅科擺的運(yùn)動特性。