孫 進(jìn), 丁宗玲

(安徽大學(xué)物理與光電工程學(xué)院， 安徽 合肥 230039)

0 引 言

單擺是日常生活中以及工程中的常見(jiàn)模型，具有較為廣泛的應(yīng)用，因而一直以來(lái)都是學(xué)者們關(guān)注的對(duì)象[1-5]。在本科生大學(xué)物理教學(xué)中，為了計(jì)算的方便，一般將其簡(jiǎn)化成簡(jiǎn)諧振動(dòng)[6]，以便學(xué)生對(duì)其運(yùn)動(dòng)有簡(jiǎn)單的認(rèn)知。但實(shí)際上，單擺的運(yùn)動(dòng)是復(fù)雜而多變的，可能是規(guī)律運(yùn)動(dòng)也可能是隨機(jī)行為。只有在不考慮阻力及驅(qū)動(dòng)力，且初始擺角非常小的情況下，單擺的運(yùn)動(dòng)才能近似歸結(jié)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。在更為普遍的情況下，單擺將做周期與初始擺角相關(guān)聯(lián)的周期振動(dòng)甚至轉(zhuǎn)動(dòng)以及出現(xiàn)混沌現(xiàn)象[7-8]。

對(duì)于單擺在不同情況下運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的分析，有助于學(xué)生更加清晰的了解單擺的實(shí)際運(yùn)動(dòng)的變化。但由于在這一過(guò)程較為復(fù)雜，甚至?xí)霈F(xiàn)混沌的非線(xiàn)性變化，其運(yùn)動(dòng)方程很難進(jìn)行精確的解析求解。作者之前曾采用數(shù)值計(jì)算的方法求解完整的運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)單擺在有阻力和無(wú)阻力情況下的實(shí)際運(yùn)動(dòng)進(jìn)行過(guò)比較和分析[9]。在這篇文章中，進(jìn)一步加入對(duì)于外界驅(qū)動(dòng)力的考慮，利用計(jì)算機(jī)對(duì)驅(qū)動(dòng)力作用下單擺的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了模擬計(jì)算。通過(guò)改變不同的參數(shù)，展示不同的驅(qū)動(dòng)力對(duì)于單擺運(yùn)動(dòng)的不同影響，希望能夠更加清晰的展示出單擺的運(yùn)動(dòng)特征，幫助學(xué)生更加透徹地理解單擺的運(yùn)動(dòng)。

1 數(shù)值計(jì)算方法

在周期性驅(qū)動(dòng)力的作用下，單擺的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為：

(1)

其中m和l分別代表單擺的質(zhì)量和擺長(zhǎng)。在方程(1)中，單擺分別受到重力，與速率成正比的空氣阻力以及角頻率為ω的周期性驅(qū)動(dòng)力的作用。為了使研究結(jié)果更具普遍性，本文對(duì)方程(1)不做任何簡(jiǎn)化，在保證精度的前提下，采用數(shù)值方法處理微分方程的初值問(wèn)題，對(duì)其進(jìn)行求解。在數(shù)值計(jì)算方法中，Runge-Kutta[10]是一種公認(rèn)較為精確的方法，它可以用來(lái)求解一階常微分方程組，較為常用的是四階和六階Runge-Kutta。在之前對(duì)于單擺的研究中[9]，采用四階Runge-Kutta方法取得了較好的結(jié)果，因而這篇文章里沿用此方法解方程(1)，得到不同時(shí)間點(diǎn)上單擺運(yùn)動(dòng)的角位移θ以及角速度dθ/dt。

2 計(jì)算結(jié)果

不同的驅(qū)動(dòng)力對(duì)單擺會(huì)產(chǎn)生不同的影響，改變驅(qū)動(dòng)力的頻率和大小，單擺的運(yùn)動(dòng)將發(fā)生非常有趣的變化。

2.1 驅(qū)動(dòng)力較小時(shí)單擺的受迫振動(dòng)及共振

圖1 不同條件下單擺的擺角隨時(shí)間的變化

保持其它參數(shù)不變， 圖2(a)展示了單擺穩(wěn)定后振動(dòng)的振幅隨驅(qū)動(dòng)力的角頻率而發(fā)生的變化，振幅最大處即為共振。當(dāng)f=1N時(shí)，共振發(fā)生在ω=3.05rad/s。圖2(a)中嵌入的小圖為f=1N時(shí)單擺運(yùn)動(dòng)的相軌跡，黑色代表ω=2.5 rad/s而紅色代表ω=3.05 rad/s。在重力、阻力和驅(qū)動(dòng)力的共同作用下，單擺最后的運(yùn)動(dòng)相圖都?xì)w為閉合的橢圓，也就是穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ω=3.05 rad/s時(shí)，橢圓的面積明顯增大很多，說(shuō)明在其它條件不變的情況下，共振大大增大了體系的機(jī)械能。

圖2 單擺達(dá)到穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)后振幅隨驅(qū)動(dòng)力角頻率的的變化

此外，計(jì)算結(jié)果顯示共振對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)力的角頻率并不是自由單擺對(duì)應(yīng)的固有角頻率3.13 rad/s，而是發(fā)生了偏移，出現(xiàn)在ω=3.05 rad/s。對(duì)于共振頻率偏移的原因可以通過(guò)運(yùn)動(dòng)方程的解析解來(lái)解釋。在小擺角的情況下取sinθ≈θ，由簡(jiǎn)化的方程(1)可以解析解得單擺達(dá)到穩(wěn)定后的振幅為：

2.2 驅(qū)動(dòng)力振幅的影響

隨著驅(qū)動(dòng)力的繼續(xù)增強(qiáng)，單擺的運(yùn)動(dòng)將不再趨于穩(wěn)定。如在γ=2.5，f=20.5 N,ω=2.5 rad/s的情況下，單擺在經(jīng)歷了短暫調(diào)整過(guò)后，并沒(méi)有達(dá)到單一頻率的振動(dòng)狀態(tài)，而是在兩個(gè)不同頻率之間來(lái)回變化，即為產(chǎn)生了二倍分叉。為了能夠更加清晰的看出單擺運(yùn)動(dòng)的變化，我們將200s之后單擺運(yùn)動(dòng)的相圖展示在圖3中。由圖3(a)可見(jiàn)單擺的相軌跡在交叉的兩個(gè)閉合圖形上變換，對(duì)應(yīng)著在兩種穩(wěn)定的振動(dòng)狀態(tài)之間不斷變換。隨著驅(qū)動(dòng)力的不斷增強(qiáng)，單擺振動(dòng)的頻率分叉逐漸增多，如圖3(b)-(d)所示，從二倍分叉到四倍再到八倍，最后單擺將不會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其相軌跡在一片區(qū)域里不重復(fù)出現(xiàn)，也就是達(dá)到了混沌這一非線(xiàn)性狀態(tài)。

圖3 隨著驅(qū)動(dòng)力的增大，單擺運(yùn)動(dòng)的相軌跡的變化過(guò)程

在達(dá)到混沌狀態(tài)以后，繼續(xù)增大f，單擺的運(yùn)動(dòng)還會(huì)發(fā)生有趣的變化。圖4(a)為保持γ=2.5，ω=2.5，當(dāng)f=25.0 N時(shí)，單擺的擺角隨時(shí)間的變化，嵌入的小圖是此時(shí)的相軌跡?？梢?jiàn)混沌現(xiàn)象已經(jīng)消失，單擺運(yùn)動(dòng)的相軌跡變成了較為復(fù)雜的閉合曲線(xiàn)。此時(shí)單擺又回到了周期運(yùn)動(dòng)，但不再是以豎直方向?yàn)檎駝?dòng)的中心位置，而是向外力的施力方向偏移。其次，在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期中，單擺的運(yùn)動(dòng)也變得更加復(fù)雜，不再是單一的往返擺動(dòng)，而是在不同的擺角振幅以及振動(dòng)中心之間切換。繼續(xù)增大驅(qū)動(dòng)力，當(dāng)f=35.0 N時(shí)，由于驅(qū)動(dòng)力遠(yuǎn)大于重力及阻力，起到主導(dǎo)作用，由圖4(b)可見(jiàn)此時(shí)單擺恢復(fù)了穩(wěn)定的單頻周期性振動(dòng)，振動(dòng)的平衡位置保持在θ>0的固定位置。

圖4 當(dāng)f分別等于25N和35N時(shí)單擺運(yùn)動(dòng)的角位移隨時(shí)間的變化

3 總 結(jié)

本文采用四階Runge-Kutta數(shù)值計(jì)算方法求解完整的單擺運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)驅(qū)動(dòng)力作用下單擺的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了討論。首先，在驅(qū)動(dòng)力不是很大的情況下，驅(qū)動(dòng)力的作用會(huì)與單擺的擺動(dòng)相協(xié)調(diào)，最后形成統(tǒng)一的穩(wěn)定振動(dòng)，振動(dòng)的振幅與驅(qū)動(dòng)力的頻率有關(guān)。但與一般受迫振動(dòng)不同的是，單擺發(fā)生共振的頻率與單擺的本征頻率相比會(huì)有所減小，驅(qū)動(dòng)力越大，減小得越多。其次，增大驅(qū)動(dòng)力的振幅，會(huì)使得單擺最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的頻率發(fā)生二倍、四倍、八倍分叉，然后達(dá)到非線(xiàn)性的混沌狀態(tài)。繼續(xù)增大驅(qū)動(dòng)力，由于驅(qū)動(dòng)力的作用逐漸變成主導(dǎo)，單擺的運(yùn)動(dòng)又會(huì)恢復(fù)到穩(wěn)定的振動(dòng)。