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      核心素養(yǎng)視域下邏輯推理能力培養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐研究
      ——?jiǎng)討B(tài)軌跡中特殊值的巧妙運(yùn)用

      2022-01-24 06:10:50海倫市第一中學(xué)郭麗巍
      黑龍江教育(教育與教學(xué)) 2021年11期
      關(guān)鍵詞:邏輯推理象限選擇題

      海倫市第一中學(xué) 郭麗巍

      1.研究目標(biāo)

      新課程標(biāo)準(zhǔn)提出數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析??梢?jiàn)邏輯推理在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有舉足輕重的地位。邏輯推理包括歸納推理和演繹推理,它在幾何證明中占有重要的地位。邏輯推理的訓(xùn)練能力應(yīng)該從小培養(yǎng),為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

      《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中給出了邏輯能力的界定:通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象(數(shù)學(xué)概念、關(guān)系、性質(zhì)、規(guī)則、命題等)進(jìn)行邏輯思考(觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、演繹),從而做出推論;再進(jìn)一步尋找證據(jù)、給出證明或舉出反例說(shuō)明給出推論的合理性的綜合能力。

      2.應(yīng)用廣度

      動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)非常重要的一類題型,因其綜合性強(qiáng)、涉及知識(shí)點(diǎn)多、解答能力要求較高等特點(diǎn),一直受到命題者的青睞。在近幾年各地的中考、高考試卷中,以動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題為主的動(dòng)態(tài)幾何題頻頻出現(xiàn)在填空、選擇、解答等各種題型中,成為全卷的難點(diǎn),考查學(xué)生對(duì)圖形的直覺(jué)能力以及從變化中看到不變實(shí)質(zhì)的數(shù)學(xué)洞察力。史寧中教授認(rèn)為,教學(xué)不僅要教給知識(shí),更要幫助學(xué)生形成智慧。知識(shí)的主要載體是書本,智慧則形成于經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程中,形成于經(jīng)歷的活動(dòng)中,形成于學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的教育教學(xué)實(shí)踐中。今天我們淺談下數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)中的“邏輯推理”中的“歸納推理”。它主要體現(xiàn)在特殊值情況代替題設(shè)中的普遍條件,得出特殊的結(jié)論,從而在解決問(wèn)題時(shí)做出正確判斷。這種方法叫做“特殊值法”。題目中已知條件中含有某些不確定的量,而題目的結(jié)論是唯一的或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí),可以將變量取一些特殊值或特殊的位置、特殊情況來(lái)求出這個(gè)定值,從而簡(jiǎn)化了推理、論證的過(guò)程。這種方法的主要特征是取特例(如特殊值、特殊函數(shù)、特殊角、特殊點(diǎn)、特殊位置等),進(jìn)行合理科學(xué)的判斷——否定或肯定,從而達(dá)到快速解題的目的。

      下面以實(shí)例說(shuō)明特殊值在一些數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用。

      3.案例展示

      (1)解題策略——運(yùn)用函數(shù)模型,靜化動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

      例:已知A是雙曲線在第一象限上的一動(dòng)點(diǎn),連結(jié)AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)B,以AB為邊做等邊三角形ABC,點(diǎn)C在第四象限,已知點(diǎn)C的位置始終在一函數(shù)圖像上運(yùn)動(dòng),則這個(gè)函數(shù)解析式為( )

      [分析]:A為動(dòng)點(diǎn),AB為動(dòng)線??紤]A及AB的特殊位置,使得點(diǎn)A及直線AB為定點(diǎn)和定直線,把動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)問(wèn)題。

      解:如右圖,當(dāng)AB與x軸正半軸的夾角為45°時(shí);當(dāng)直線AB為一三象限的角分線時(shí),直線AB為y=x,此時(shí)可求出點(diǎn),即點(diǎn)C的坐標(biāo)為即函數(shù)解析式為

      解:如下圖,當(dāng)AB與x軸正半軸的夾角為60°時(shí);當(dāng)直線AB為一三象限的角分線時(shí),直線AB為此時(shí)可求出點(diǎn)則OA=即點(diǎn)C的坐標(biāo)為即函數(shù)解析式為

      解:如下圖,當(dāng)AB與x軸正半軸的夾角為30°時(shí);當(dāng)直線AB為一三象限的角分線時(shí),直線AB為此時(shí)可求出點(diǎn)則OA=2x,即點(diǎn)C的坐標(biāo)為即函數(shù)解析式為

      [解析]首先判斷點(diǎn)C的軌跡,若是選擇題,便可直接帶入點(diǎn)去驗(yàn)證,若本題為填空題,無(wú)論特殊點(diǎn)A選在哪里,都會(huì)得到一個(gè)確定的C點(diǎn),嘗試兩次即可發(fā)現(xiàn)此軌跡為反比例函數(shù)的一支。代入點(diǎn)求出函數(shù)表達(dá)式。

      (一般證明求解。)

      解:過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C做x軸的垂線交x軸于點(diǎn)F。

      ∵△ABC是等邊三角形

      [評(píng)析]本題是考查反比例函數(shù)的綜合題。自然解法源于高觀點(diǎn)的統(tǒng)領(lǐng)[1],本題涉及了直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理的知識(shí),綜合考查的知識(shí)點(diǎn)較多。解答本題的關(guān)鍵是將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通。由于本題是選擇題,引導(dǎo)學(xué)生自然化的解決問(wèn)題,化動(dòng)點(diǎn)為定線,培養(yǎng)核心素養(yǎng),簡(jiǎn)單巧妙地解決問(wèn)題。此題要想求出函數(shù)解析式,只要求點(diǎn)C函數(shù)軌跡,即點(diǎn)C的橫縱坐標(biāo)。由于此題中點(diǎn)C是一個(gè)動(dòng)點(diǎn),因此讓直線AB選取特定的位置,選定A、B點(diǎn)C的位置就很容易確定了。若要規(guī)范地證明此題需要一個(gè)完整的思考體系,一般的學(xué)生很難得到標(biāo)準(zhǔn)答案。因此在做選擇填空題時(shí),學(xué)生應(yīng)該學(xué)會(huì)適當(dāng)?shù)匕盐罩骶€、學(xué)會(huì)巧妙化動(dòng)為定。

      (2)嘗試運(yùn)用——打破思維定式,尋找最優(yōu)解法

      例:如圖,在正方形ABCD中,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O的直線分別交邊AD、BC于點(diǎn)E,F(xiàn)。且EF=6。則AE2+BF2的值為( )

      (A)9 (B)16 (C)18 (D)36

      [分析]本題直接解對(duì)有些學(xué)生來(lái)講比較困難。因此此題可以選取特殊點(diǎn)的方法,讓點(diǎn)E、點(diǎn)F都取線段的中點(diǎn),很容易得到答案。由此可見(jiàn)特殊點(diǎn)的選取在做題時(shí)很實(shí)用,即很快能得到答案。

      解:由平方加平方形式考慮到構(gòu)造勾股定理,在BA上取BG=AE,則△AEG≌△BGF,AE2+BF2=FG2,易得出答案。

      [評(píng)析]對(duì)于這類特殊值的帶入方法,若教師在平時(shí)的教學(xué)中能有意識(shí)地進(jìn)行引導(dǎo)總結(jié),形成固定的套路方法,那么學(xué)生在解題時(shí)就能主動(dòng)運(yùn)用“特殊值”來(lái)解決這樣的問(wèn)題,打破思維定式,尋找最優(yōu)解法[2]。

      (3)問(wèn)題遷移——精選思維起點(diǎn),巧解數(shù)學(xué)問(wèn)題

      哈師大附屬中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科期末檢測(cè)試卷中選擇題第十二題作為選擇題中的壓軸題得分率較低,下面探究能否運(yùn)用特殊值法去解決問(wèn)題。

      下列關(guān)于一元二次方程x2+bx+c=0的四個(gè)命題:

      ①當(dāng)c=0,b≠0時(shí),這個(gè)方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

      ②當(dāng)c≠0時(shí),若p是方程x2+bx+c=0的一個(gè)根,則是方程cx2+bx+1=0的一個(gè)根;

      ③若c<0,則一定存在兩個(gè)實(shí)數(shù)m<n,使得m2+mb+c<0<n2+nb+c;

      其中是假命題的序號(hào)是

      (A)① (B)② (C)③ (D)④

      [分析](1)很容易判斷出b2-4ac=b2<0即有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根。

      (2)由p是方程的一個(gè)根可知p2+bp+c=0,方程兩邊同時(shí)除以p2可推導(dǎo)。若用特殊值法可以選取p=2代入x2+bx+c=0,得2b+c=-4,把代入cx2+bx+1=0,得+1=0,2b+c=-4,因此②正確。

      (3)c<0,b2-4ac=b2>0,函數(shù)y=x2+bx+c=0與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),畫出圖象一定可以找到兩個(gè)實(shí)數(shù)m<n,使得m2+mb+c<0<n2+nb+c;對(duì)于低年級(jí)學(xué)生難度較大。

      (4)以通過(guò)韋達(dá)定理去求p-q的值,也可以選取特殊的p,q帶入驗(yàn)證。例如若選取p=2,q=3為方程的根,此時(shí)方程為x2-5x+6=0,即b=-5,c=6。通過(guò)驗(yàn)證可以發(fā)現(xiàn)p-q=不成立,因此本題答案是D。

      [點(diǎn)評(píng)]本題是哈師大附中某次期末考試中選擇題的最后一道題。對(duì)于難題我們應(yīng)該巧妙地選取特殊值?!疤厥饣辈呗圆坏墙鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段,也是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理的重要工具。因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,有必要加強(qiáng)“特殊值法”的教學(xué)。

      4.思考與分析

      (1)反思——螺旋上升,層層深入

      邏輯推理能力是學(xué)生創(chuàng)造力的基礎(chǔ),是構(gòu)成優(yōu)秀人才的要素之一。具有較高邏輯思維能力的學(xué)生,能夠依據(jù)已有的知識(shí)和事實(shí),遵循一定的法則,按照嚴(yán)密的步驟進(jìn)行抽象、概括、判斷、推理,從已知到未知,把握事物的本質(zhì)??梢?jiàn),在日常教學(xué)中教師應(yīng)該注重學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng),讓他們學(xué)會(huì)精巧地解決問(wèn)題。

      眾所周知,數(shù)學(xué)選擇題只有四個(gè)選項(xiàng),并且只有一項(xiàng)是正確答案,這也正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性。正是它的嚴(yán)密性和唯一性,才使得我們敢大膽地使用“取特殊值法”來(lái)找出答案。所謂的“取特殊值法”就是對(duì)題目中的某些變量賦值[3]。動(dòng)態(tài)軌跡問(wèn)題是熱門題型,如果考生能夠熟練地運(yùn)用特殊值法常常會(huì)起到事半功倍的效果。

      (2)分析——單因素方差分析對(duì)比真實(shí)數(shù)據(jù)

      根據(jù)海倫市第一中學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)和本題的得分情況,區(qū)里統(tǒng)考統(tǒng)批,盡可能地排除誤差,年級(jí)總?cè)藬?shù)1231,通過(guò)對(duì)6個(gè)班級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)比分析數(shù)據(jù)如下:

      單因素方差分析結(jié)果(參考水平P值選取0.05),利用假設(shè)檢驗(yàn)的思想;原假設(shè)為u1=u2=u3=u4=u5=u6;即假設(shè)無(wú)差異。

      V1 ANOVA平方和 df 均方 F 顯著性組間1502.298 5 300.460 1.391.228組內(nèi)48372.049 224 215.947總數(shù)49874.348 229

      通過(guò)分析可發(fā)現(xiàn)P值為0.228,即拒絕原假設(shè),因此6個(gè)班的成績(jī)有差異。假定方差的齊性,下面進(jìn)行LSD多重比較,同樣參考水平P值選取0.05,考慮95%的置信區(qū)間。

      ★.均值差的顯著性水平為0.05.

      班級(jí) 801 802 803 804 805 806平均分77.46 74.9075.79 78.83 74.27 70.88

      參照上表可以發(fā)現(xiàn)801班和806班顯著性是0.046,804班和806班的顯著性是0.018。這兩組數(shù)據(jù)的差異性比較大,有理由拒絕原假設(shè)。因此通過(guò)分析后的結(jié)論是6個(gè)班的成績(jī)存在差異,即四班和一班成績(jī)相對(duì)較好。

      班級(jí)人數(shù)701 702 703 704 705 706做錯(cuò)人數(shù) 13 17 12 14 11 14總?cè)藬?shù) 39 39 39 36 36 42

      本題702班做錯(cuò)的人數(shù)17人,明顯差異大于其他幾個(gè)班級(jí)的人數(shù),比例明顯高于其他班級(jí)。因此702班的老師在合情推理方面多加滲透,雖然作為選擇題的壓軸題還是有難度,本題做的好的班級(jí)并不是成績(jī)好的班級(jí)。所以相對(duì)于學(xué)情而言,應(yīng)該選擇適合學(xué)生的得分方式,培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

      (3)回歸——自然通法,循序漸進(jìn)

      張景中先生認(rèn)為:“一種方法解很多題,要好過(guò)很多方法解一個(gè)題。這一種方法絕不是靈機(jī)一動(dòng)的妙法,而應(yīng)是最基本、最重要、最自然的通法。”其實(shí)站在數(shù)學(xué)思維的角度看,自然的解法才是最好的方法,才是學(xué)生能想到的方法,也是能引起思維共鳴的方法。因此,在處理特定的問(wèn)題時(shí),我們可以打破思維定式,自然而常規(guī)地解決高考選擇、填空題中的難題。

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