李慧琳 韓祥臨

摘? ? ? 要 以浙教版初中數(shù)學(xué)教材作為研究對(duì)象，采用文獻(xiàn)研究法和文本分析法，從數(shù)學(xué)史融入教材的“三大領(lǐng)域”、融入位置、融入方式三方面進(jìn)行分析，結(jié)果顯示浙教版初中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)史在“三大領(lǐng)域”的分布失衡，且相差較大。因此對(duì)數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教材提出了均衡各領(lǐng)域的數(shù)學(xué)史內(nèi)容，增加數(shù)學(xué)史在正文中的運(yùn)用，注重運(yùn)用重構(gòu)式的改進(jìn)建議。

關(guān) 鍵 詞 浙教版初中數(shù)學(xué)教材? 數(shù)學(xué)史? 分布領(lǐng)域? 教材改進(jìn)

引用格式 李慧琳，韓祥臨.浙教版初中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史內(nèi)容的分析與思考[J].教學(xué)與管理，2022（04）：71-74.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)，教材可以適時(shí)地介紹知識(shí)的相關(guān)背景，幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類(lèi)文明發(fā)展中的作用，感受數(shù)學(xué)家治學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，欣賞數(shù)學(xué)的優(yōu)美。美國(guó)數(shù)學(xué)史家克萊因在表述數(shù)學(xué)教育的核心思想時(shí)指出：數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)教學(xué)的指南。教材是課程內(nèi)容的重要載體，也是教師教學(xué)的主要依據(jù)，“講歷史，講思想，講文化”是教材編寫(xiě)的指導(dǎo)思想之一[1]，因此研究數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)史具有重要意義。

研讀現(xiàn)有的文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，國(guó)內(nèi)對(duì)于數(shù)學(xué)教材與數(shù)學(xué)史的研究主要集中在以下五個(gè)方面：一是對(duì)不同國(guó)家或地區(qū)的數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)史進(jìn)行維度劃分，基于比較研究法對(duì)各維度進(jìn)行對(duì)比研究;二是關(guān)于數(shù)學(xué)史如何更好地融入教材的理論探討與研究;三是教師對(duì)教材中的數(shù)學(xué)史的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用程度的調(diào)查研究;四是對(duì)我國(guó)流行教材中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容進(jìn)行細(xì)致的分類(lèi)統(tǒng)計(jì)并分析;五是針對(duì)教材中某一個(gè)小的知識(shí)點(diǎn)如何融入數(shù)學(xué)史。研究對(duì)象以人教版和北師大版居多，對(duì)于浙教版初中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)史研究甚少，故本文選取浙教版初中數(shù)學(xué)教材為研究對(duì)象，分析其數(shù)學(xué)史融入教材的現(xiàn)狀，以期為更好地改進(jìn)教材提供建議。

一、教材中數(shù)學(xué)史內(nèi)容的分析

浙江教育出版社出版的初中數(shù)學(xué)教材（2014年第3版）共六冊(cè)，對(duì)其中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容做了具體詳盡的統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示六冊(cè)教材中共有數(shù)學(xué)史料54處。其中七年級(jí)教材共融入20個(gè)數(shù)學(xué)史料，內(nèi)容分別為數(shù)的由來(lái)和發(fā)展、中國(guó)古代在數(shù)發(fā)展方面的貢獻(xiàn)、編青銅上的確定數(shù)、印第安食物罐上的寬與高的比為■、神奇的？仔、數(shù)學(xué)中的符號(hào)、丟番圖、七巧板、對(duì)頂角的幾何證明、古代風(fēng)箏的骨架角度、地球有多大、“雞兔同籠”問(wèn)題（31頁(yè)和38頁(yè)兩處）、盈不足問(wèn)題、《九章算術(shù)》中的“方程”、古算題、面積割補(bǔ)、古希臘的欺騙性土地分配事件、完全平方公式以及楊輝三角與兩數(shù)和的乘方。八年級(jí)數(shù)學(xué)教材共有數(shù)學(xué)史料20處，內(nèi)容包含三角形內(nèi)角和180°、費(fèi)馬和他的猜想、古代藏寶地圖、溫特沃斯和史密斯在《平面幾何》中證明全等、泰勒斯判定三角形全等的方法、將軍飲馬、趙爽弦圖、《九章算術(shù)》題目、勾股定理的證明、從勾股定理到圖形面積關(guān)系的拓展、巴比倫公元前梯子問(wèn)題改編、誰(shuí)將獲得最后一個(gè)小組出線(xiàn)名額、坐標(biāo)思想的由來(lái)、笛卡爾的故事、紙草書(shū)、歷史解一元二次方程的改編、韋達(dá)定理、一元二次方程發(fā)展小記、《幾何原本》第一卷命題 3以及《路邊苦李》故事。九年級(jí)教材中融入了14處數(shù)學(xué)史料，內(nèi)容包含數(shù)學(xué)家曾做的拋硬幣實(shí)驗(yàn)、趙州橋的橋拱圓弧半徑、《幾何原本》第三卷命題20、拿破侖經(jīng)典題目“只用一個(gè)圓規(guī)把一個(gè)圓分成四等分”、美妙的鑲嵌、黃金分割、《蒙娜麗莎》人像符合黃金分割、古希臘帕特農(nóng)神廟、《九章算術(shù)》題目、《算經(jīng)海島》題目、圓周率、“趙爽弦圖”、日晷以及杜登尼的“蜘蛛和蒼蠅”問(wèn)題。

總體來(lái)看，浙教版六冊(cè)教材中共有數(shù)學(xué)史料54處，其中七年級(jí)21處，八年級(jí)20處，九年級(jí)14處，每?jī)?cè)出現(xiàn)的數(shù)學(xué)史數(shù)量依次為：9，11，14，6，10，4。雖然六冊(cè)教材都有融入數(shù)學(xué)史料，但集中在七上、七下和八上這三冊(cè)書(shū)，約占總體數(shù)學(xué)史數(shù)量的68%，而八下、九上和九下三冊(cè)書(shū)中的數(shù)學(xué)史約占總體數(shù)量的37%，說(shuō)明編寫(xiě)者注重在低年級(jí)的教材中融入更多的數(shù)學(xué)史料，這符合學(xué)生心理發(fā)展由具體到抽象的階段性特點(diǎn)。教材中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容十分廣博，包括中西方不同國(guó)家、不同領(lǐng)域、不同時(shí)期的內(nèi)容。

1.數(shù)學(xué)史在“三大領(lǐng)域”的分布

由表1可以看出，數(shù)學(xué)史分布在“圖形與幾何”領(lǐng)域的數(shù)量最多共有32處，約占總體的59%;在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的融入數(shù)量次之，共21處，約占比39%;而“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域僅有一處數(shù)學(xué)史融入，約占總體比重的2%，即為用頻率估計(jì)概率時(shí)給出了古代數(shù)學(xué)家擲硬幣的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)史在“三大領(lǐng)域”中的分布嚴(yán)重失衡。產(chǎn)生這種現(xiàn)象與領(lǐng)域本身的知識(shí)特征有很大關(guān)系，“圖形與幾何”在歷史上的資料是很多的，數(shù)學(xué)家們對(duì)此的爭(zhēng)論也多，比如勾股定理的證法就有20多種[2]，故此領(lǐng)域可引入的數(shù)學(xué)史較多;“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的知識(shí)歷史研究比較困難，且浙教版初中數(shù)學(xué)教材有關(guān)“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容只有三章，導(dǎo)致教材中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容更少。

2.數(shù)學(xué)史融入的位置

從表2可以看出，教材中各個(gè)位置都有出現(xiàn)數(shù)學(xué)史料，但各個(gè)位置數(shù)學(xué)史料數(shù)量有一定差別，集中在閱讀材料、作業(yè)題、章節(jié)前、正文四個(gè)位置。其中閱讀理解的數(shù)學(xué)史料與作業(yè)題包含的數(shù)學(xué)史料數(shù)量相等，分別占總體的24%，如八年級(jí)上冊(cè)證明一節(jié)給出閱讀材料“費(fèi)馬和他的猜想”來(lái)充實(shí)說(shuō)明在數(shù)學(xué)的發(fā)展中占有重要地位，七年級(jí)下冊(cè)關(guān)于二元一次方程的應(yīng)用直接給出我國(guó)古算題讓學(xué)生求解。章節(jié)前的數(shù)學(xué)史共有12處，約占總體的22%，如七年級(jí)上冊(cè)在近似數(shù)一節(jié)前介紹曾侯乙編鐘上的準(zhǔn)確數(shù)，八年級(jí)上冊(cè)勾股定理一節(jié)前介紹趙爽弦圖等。正文中的數(shù)學(xué)史料共有10處，占比為19%，例如七年級(jí)下冊(cè)乘法公式中的完全平方公式是歐幾里得首次在《幾何原本》中抽象出來(lái)的。設(shè)計(jì)題、課題學(xué)習(xí)和探究活動(dòng)處分別有一處數(shù)學(xué)史?？傮w來(lái)看，數(shù)學(xué)史在教材中的分布比較寬泛，這說(shuō)明編者注重將數(shù)學(xué)史穿插于教材的各處，以達(dá)到有物有則的效果。

3.數(shù)學(xué)史運(yùn)用的方式

汪曉勤在借鑒Tzanakis和Arcavi以及Jankvist研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，按照數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)程度，將數(shù)學(xué)教材中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的方式分成五類(lèi)[3]：點(diǎn)綴式、附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式。按照這五種方式將教材中運(yùn)用的數(shù)學(xué)史進(jìn)行分類(lèi)統(tǒng)計(jì)，結(jié)果顯示這五種方式都有涉及（見(jiàn)表3）。浙教版數(shù)學(xué)教材運(yùn)用數(shù)學(xué)史最多的方式是附加式，約占總體的31%，如七年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)有理數(shù)時(shí)給出閱讀材料“中國(guó)古代在數(shù)發(fā)展方面的貢獻(xiàn)”。順應(yīng)式出現(xiàn)了15次，約占總體的28%，如七年級(jí)下冊(cè)二元一次方程組時(shí)給出根據(jù)古算題改編的盈不足問(wèn)題。復(fù)制式出現(xiàn)了14次，占總體的26%，如九年級(jí)上冊(cè)的圓周角定理是直接引用《幾何原本》第三卷的命題來(lái)說(shuō)明此定理。重構(gòu)式出現(xiàn)了7次，約占總體的13%。重構(gòu)式是指正文各欄目中借鑒或重構(gòu)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展歷史，以發(fā)生法來(lái)呈現(xiàn)知識(shí)[4]，因此教材運(yùn)用重構(gòu)式的難度最大，運(yùn)用此方式的數(shù)量較少，如九年級(jí)下冊(cè)三角函數(shù)中使用劉徽的“割圓術(shù)”方法解決新的數(shù)學(xué)問(wèn)題。點(diǎn)綴式只出現(xiàn)一次，即九年級(jí)上冊(cè)比例線(xiàn)段一節(jié)中展示帕特神農(nóng)廟建筑圖，用來(lái)反應(yīng)黃金分割率用于社會(huì)各個(gè)方面。

二、對(duì)教材中數(shù)學(xué)史內(nèi)容改進(jìn)的思考

1.開(kāi)發(fā)資源，均衡各領(lǐng)域數(shù)學(xué)史內(nèi)容

“三大領(lǐng)域”作為義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，對(duì)于培育學(xué)生不同方面的數(shù)學(xué)能力起著舉足輕重的作用，而該教材中“數(shù)與代數(shù)”和“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的數(shù)學(xué)史內(nèi)容僅占總體的41%。因此，在教材編寫(xiě)時(shí)應(yīng)進(jìn)一步挖掘這兩個(gè)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)史料，并將原始的數(shù)學(xué)史學(xué)形態(tài)轉(zhuǎn)化為合理的數(shù)學(xué)教育形態(tài)融入教材中，以促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。

例如“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的有理數(shù)運(yùn)算一節(jié)，可以在教材中引入《九章算術(shù)》中的有理數(shù)加法法則：“異名相除，同名相益，正無(wú)入正之，負(fù)無(wú)入負(fù)之。”意思是（兩有理數(shù)相加）異號(hào)時(shí)（絕對(duì)值）相減（符號(hào)取絕對(duì)值較大者），同號(hào)（絕對(duì)值）相加（符號(hào)取其原來(lái)的符號(hào)），正數(shù)加零為正數(shù)（本身），負(fù)數(shù)加零為負(fù)數(shù)（本身）[5]。此法則與教材中法則意思相同，且對(duì)比教材中的敘述，此法則文字十分精煉，朗朗上口，學(xué)生樂(lè)于習(xí)誦。教師可以介紹中國(guó)是世界上最早系統(tǒng)總結(jié)出有理數(shù)四則運(yùn)算的國(guó)家，以及中國(guó)對(duì)于有理數(shù)運(yùn)算發(fā)展的貢獻(xiàn)等。這樣不僅使學(xué)生熟知了運(yùn)算法則，而且做到了弘揚(yáng)中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，這是數(shù)學(xué)課程思政融入中學(xué)的有效途徑。

再如學(xué)習(xí)“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的中位數(shù)知識(shí)時(shí)，教材中可以展示這樣的故事：第一個(gè)可能使用中位數(shù)的例子出現(xiàn)在Edward Wright關(guān)于航海的著作中[6]。1599年，他在書(shū)中講解了在航行中如何用指南針確定輪船位置的方法。海浪的波動(dòng)帶動(dòng)輪船顛簸，導(dǎo)致即使同一時(shí)期在甲板上觀察指南針，得到的數(shù)據(jù)都會(huì)有很大的差異。為了盡可能保證數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，他把測(cè)得的觀察值按照大小順序列成表格，在此表格中，位于最中間位置的數(shù)據(jù)則是最可能接近真實(shí)值的數(shù)據(jù)。這時(shí)人們將中位數(shù)作為平均數(shù)的代替品來(lái)看待。這樣的數(shù)學(xué)故事可以使學(xué)生對(duì)于中位數(shù)的由來(lái)以及意義有更加深刻的體會(huì)。

2.調(diào)整結(jié)構(gòu)，增加數(shù)學(xué)史在正文中的運(yùn)用

數(shù)學(xué)史位于正文的位置僅占總體的17%，最多的是在章節(jié)最后的閱讀材料處，所處這樣的位置是對(duì)數(shù)學(xué)史料的大材小用，難以讓師生注重其內(nèi)容，其所蘊(yùn)含的育人價(jià)值更是難以發(fā)揮。數(shù)學(xué)史進(jìn)入正文，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)方能充分反映數(shù)學(xué)的文化底蘊(yùn)[7]。我們應(yīng)該調(diào)整教材的結(jié)構(gòu)，盡可能將數(shù)學(xué)史穿插、編排進(jìn)入正文中，引起師生的重視，更高效地滲透數(shù)學(xué)文化。

例如在學(xué)習(xí)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)，可以在正文中給出這樣的一個(gè)探究活動(dòng)：矩形長(zhǎng)為a+b+c+d，寬為e，如圖1所示，請(qǐng)學(xué)生用兩種方法求矩形的面積。學(xué)生依據(jù)以前學(xué)過(guò)的知識(shí)可得：（a+b+c+d）e=ae+be+ce+de。然后介紹這種思想在我國(guó)稱(chēng)為出入相補(bǔ)原理，此定理在我國(guó)的運(yùn)用不晚于春秋。劉徽在《九章算術(shù)》中多次運(yùn)用此原理解決問(wèn)題，吳文俊在研究劉徽著作的基礎(chǔ)上首次概括出來(lái)出入相補(bǔ)原理的完整表述：若一個(gè)平面圖形從一處移到它處面積不變，若把它分割成幾個(gè)部分，各部分面積的和等于原來(lái)圖形的面積[8]。此題目符合出入相補(bǔ)原理的第二種情況。從這個(gè)探究活動(dòng)學(xué)生就可以總結(jié)出單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，并且了解其中蘊(yùn)含的中國(guó)古代數(shù)學(xué)思想。像這樣在正文中介紹數(shù)學(xué)史內(nèi)容，可以使數(shù)學(xué)史切切實(shí)實(shí)與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)聯(lián)起來(lái)，凸顯其對(duì)于教學(xué)的必要性，使學(xué)生感受中國(guó)卓絕的數(shù)學(xué)思想無(wú)處不在，從而將數(shù)學(xué)課程思政貫徹到中學(xué)教育。

3.改變方式，注重運(yùn)用重構(gòu)式

要提高教材中數(shù)學(xué)史的融入水平，就必須避免只以點(diǎn)綴式、附加式、復(fù)制式等“為歷史而歷史”的顯性方式來(lái)呈現(xiàn)史料[9]，應(yīng)該增加重構(gòu)式的運(yùn)用。重構(gòu)式屬于一種隱性的融入方式，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的揭示，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行超越時(shí)空的整合，可以讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)家的智慧，提高數(shù)學(xué)探究能力。由此可見(jiàn)，教材的編寫(xiě)應(yīng)該盡可能展現(xiàn)“知識(shí)背景—知識(shí)發(fā)生—知識(shí)發(fā)展變化—知識(shí)應(yīng)用”的過(guò)程。

例如在編寫(xiě)配方法一節(jié)時(shí)，可以在教材中隱性融入數(shù)學(xué)家花拉子米用幾何論證方程x2+10x=39的求解過(guò)程。首先給出方程x2+10x=39，以及從幾何角度此方程代表的圖形是長(zhǎng)、寬分別為（x+10）和x的長(zhǎng)方形的面積（如圖2）。接著給出問(wèn)題：這不是正方形，無(wú)法根據(jù)上節(jié)課所說(shuō)直接開(kāi)平方求出邊長(zhǎng)，也就是x的值。那么，可以通過(guò)什么方式把它變?yōu)橐粋€(gè)正方形？學(xué)生想到可以采用割補(bǔ)法，經(jīng)過(guò)自己動(dòng)手得到割補(bǔ)以后變成正方形（如圖3），讓學(xué)生探求由于圖形的變化導(dǎo)致方程如何變化，從而總結(jié)出配方法。

這個(gè)過(guò)程就是花拉子米在代數(shù)發(fā)展止步不前的時(shí)代從幾何角度分析求解方程的過(guò)程。這樣重構(gòu)式的運(yùn)用方法讓學(xué)生經(jīng)歷花拉子米探索方程解的過(guò)程，對(duì)于加深學(xué)生理解為什么要在“方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”的深度理解十分有幫助。領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)家解決問(wèn)題的思考方式，頓悟到自己遇到困難時(shí)可以嘗試從不同的角度思考問(wèn)題，完成與數(shù)學(xué)家的一次“跨越時(shí)空的心靈之約”。

總之，浙教版初中數(shù)學(xué)教材應(yīng)該進(jìn)一步發(fā)掘數(shù)學(xué)史料，重點(diǎn)豐富數(shù)學(xué)史在“數(shù)與代數(shù)”和“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的融入，使各個(gè)領(lǐng)域都呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史百花齊放的場(chǎng)景，通過(guò)合理運(yùn)用數(shù)學(xué)史料加深學(xué)生對(duì)領(lǐng)域知識(shí)的理解與掌握。并且應(yīng)注重以重構(gòu)的方式在正文中融入數(shù)學(xué)史，使數(shù)學(xué)史在“重生”中大放異彩，發(fā)揮其深層次的育人價(jià)值。

參考文獻(xiàn)

[1] 蒲淑萍，汪曉勤.教材中的數(shù)學(xué)史：目標(biāo)、內(nèi)容、方式與質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)研究[J].課程·教材·教法，2015，35（03）：53-57.

[2] 陳碧芬，唐恒鈞.北京師范大學(xué)版初中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史的研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2007，16（02）：95-97.

[3][4] 汪曉勤.法國(guó)初中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)史[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2012，51（03）：16-20，23.

[5] 韓祥臨，等.數(shù)學(xué)史在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[M].北京：中國(guó)文史出版社，2004：7.

[6] 吳駿，黃青云.基于數(shù)學(xué)史的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的理解[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2013，52（11）：16-21.

[7] 王振輝，汪曉勤.數(shù)學(xué)史如何融入中學(xué)數(shù)學(xué)教材[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2003，42（09）：18-21.

[8] 劉芳芳.出入相補(bǔ)原理的歷史及教學(xué)應(yīng)用[D].太原：山西師范大學(xué)，2014.

[9] 覃淋.我國(guó)高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史的分析與思考[J].教育導(dǎo)刊（上半月），2020（02）：71-79.

【責(zé)任編輯? 郭振玲】