童孝雯 汪春龍 燕少朋

摘要：針對回流焊爐溫度場優(yōu)化控制問題，該研究通過傳熱學(xué)機(jī)理分析，運(yùn)用導(dǎo)熱微分方程、牛頓冷卻定理建立了爐溫曲線模型，并以高溫回焊爐的制程界限為約束，基于遍歷搜索算法針對爐溫曲線進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化，得出了爐溫優(yōu)化曲線對應(yīng)的爐溫設(shè)置參數(shù)和傳送帶速度參數(shù)。結(jié)果表明：小溫區(qū)1～5、6、7、8～9的設(shè)置溫度分別為185℃、205℃、232℃、265℃，傳送帶運(yùn)動速度為72cm/min，并可繪制出滿足條件的最優(yōu)爐溫曲線。本文的分析思路與求解方法能夠?yàn)榛亓骱笭t的實(shí)際工程應(yīng)用提供最優(yōu)爐溫曲線的方案設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞：爐溫曲線;導(dǎo)熱微分方程;牛頓冷卻;遍歷搜索;優(yōu)化模型

中圖分類號：TB文獻(xiàn)標(biāo)識碼：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2022.01.064

0引言

回流焊爐系統(tǒng)的溫度場狀態(tài)控制，一直是研究的熱點(diǎn)。其可在不同的目的和角度下建立溫度控制系統(tǒng)模型，從而研究工業(yè)爐的生產(chǎn)過程，對實(shí)際工程應(yīng)用有較大的指導(dǎo)意義。

從熱交換機(jī)理出發(fā)建立工業(yè)爐溫度場，到基于多元統(tǒng)計(jì)投影原理的偏最小二乘法來研究冶金加熱爐的溫度分布狀態(tài);再到Patisson F等人在工業(yè)爐傳熱過程基礎(chǔ)上綜合考慮爐內(nèi)物理、化學(xué)反應(yīng)，建立了一維溫度分布。為了完善工業(yè)爐熱工理論，需借鑒計(jì)算流體力學(xué)和數(shù)值分析傳熱學(xué)等方法，實(shí)時(shí)采樣，結(jié)合計(jì)算機(jī)技術(shù)實(shí)時(shí)分析方法。對于現(xiàn)階段電子工業(yè)的發(fā)展，可進(jìn)一步對回焊爐中爐溫進(jìn)行分析研究。對于現(xiàn)今電子電路的發(fā)展，可分析回焊爐中各種機(jī)制之間的機(jī)理關(guān)系，如爐溫曲線優(yōu)化，還可以從金屬含量不同的焊膏，PCB板的材質(zhì)、厚度，加熱的溫度分布區(qū)間和傳送帶的變化速率等角度去考慮問題;再者，如Lee分析了爐溫與焊點(diǎn)失效模式的關(guān)系，如趙俊偉等從釬焊機(jī)理入手，由金相分析指出在流區(qū)峰值溫度一般應(yīng)該在220℃左右，峰值溫度低于200會形成不良焊接。

本研究主要針對回流焊爐溫度場優(yōu)化控制問題，基于傳熱學(xué)機(jī)理，建立了回流焊爐的溫度場分布模型，并針對制程界限的約束條件和最優(yōu)爐溫曲線進(jìn)行了優(yōu)化，為實(shí)際工程應(yīng)用提供了解決方案和優(yōu)化算法。

1數(shù)據(jù)來源與假設(shè)

1.1數(shù)據(jù)來源

該研究數(shù)據(jù)來源于2020年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模大賽A題。標(biāo)記第i個小溫區(qū)為Ai（k=1，2，…，11），A1～A5小溫區(qū)的溫度為T15，A6小溫區(qū)的溫度為T6，A7小溫區(qū)的溫度為T7，A8～A9小溫區(qū)的溫度為T89，A10～A11小溫區(qū)的溫度為T1011，爐前區(qū)域?yàn)锽1，爐后區(qū)域?yàn)锽2，其中虛線位置表示每區(qū)域的中心位置，具體標(biāo)記示意圖如圖1所示。

1.2假設(shè)說明

為了便于解決問題，提出以下假設(shè)：（1）假設(shè)電路板的焊接區(qū)域在各方向上熱通量相同;（2）假設(shè)爐內(nèi)熱空氣向電路板傳導(dǎo)的熱量全部用于焊接區(qū)域上的升溫;（3）忽略因傳送帶運(yùn)動使?fàn)t內(nèi)空氣流動對溫度場分布所產(chǎn)生的影響。

2基于傳熱學(xué)機(jī)理的爐溫曲線模型建立與求解

2.1爐溫曲線模型的建立

焊爐內(nèi)溫度場分布：

θs（x）=1-xLθ1+xLθ2θs（0）=θ1d2θsu2=0θs（L）=θ2（1）

其中，L為兩小溫區(qū)之間的溫度;θ為各溫區(qū)邊界的溫度值。故一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)的溫度場是呈線性分布的。

假設(shè)各小溫區(qū)的中心溫度穩(wěn)定于對應(yīng)加熱爐的溫度，爐前、爐后中心溫度為室溫。故均勻的一維熱傳導(dǎo)溫度場，在不同溫區(qū)的中心線間的溫度場是線性分布的。針對一般情況：相鄰溫區(qū)間，即ai≤x≤

ai+1，若Ti+1=Ti，則該區(qū)間內(nèi)溫度呈現(xiàn)均等分布;若Ti+1≠Ti，則溫度呈現(xiàn)線性變化分布，對各溫區(qū)定量計(jì)算可得：

Tf（x）=T1-25a1-b1+25? ，? b1≤x<a1Ti+1-Tiai+1-ai+Ti? ，? ai≤x<ai+1，i=1，2，…，1025-T11b2-a11+T11? ，? a11SymbolcB@x<b2（2）

可通過熱傳導(dǎo)微分方程求解爐前爐后區(qū)域的溫度場分布：

Tt=D2Tx2T（x，0）=25oCT（0，t）=Ti，（i=15，89）T（x-0，t）=T（x+0，t）（3）

運(yùn)用熱傳導(dǎo)方程有限差分法、追趕法可求解出爐前爐后區(qū)域的溫度場分布。

因?yàn)闋t內(nèi)熱空氣與電路板上焊接區(qū)域的熱交換以熱對流方式進(jìn)行，所以電路板上焊接區(qū)域內(nèi)的溫度變化可用牛頓冷卻公式求解：

Q=αF（Tf-Tw）（4）

α=ku（5）

其中，α為熱交換系數(shù)，Tf為爐內(nèi)流體熱空氣溫度，Tw為電路板焊接區(qū)域處溫度，u為流體溫度的相對速度。

焊接區(qū)域吸收熱量為：

Q=cmΔTw（6）

ΔTw=Tw（k+1）-Tw（k）（7）

假設(shè)爐內(nèi)熱空氣向電路板傳導(dǎo)的熱量全部用于焊接區(qū)域上的升溫，忽略熱交換過程中熱量的損失：

dQchdx=αF（Tf（x）-Tw（x））dQindx=cmΔTw（x）ΔTw（x）=Tw（x+Δx）-TwxdQchdx=dQindx（8）

Tw（x+Δx）=Twx+αFcm（Tfx-Twx）（9）

其中，Qin為進(jìn)入溫度場的熱量，Qch為電路板從環(huán)境中吸收的熱量，c，m分別是電路板的熱容和質(zhì)量，ΔTw為電路板焊接區(qū)域處的溫度差，Tf1為爐內(nèi)的初始溫度。

構(gòu)建有限元函數(shù)關(guān)系式的求解：初始狀態(tài)下Tw0與室內(nèi)溫度相同，即Tw0為25℃：

Q=αF（Tf0-Tw0）=cm（Tw1-Tw0）（10）

由上式可得電路板上焊接區(qū)域處的溫度隨位移的變化關(guān)系式：

Tw1=Tw0+αFcm（Tf0-Tw0）（11）

可解得電路板上焊接區(qū)域處溫度以位移為參數(shù)的通式：

Tw（k+1）=Twk+αFcm（Tfk-Twk）k=0，1，2…n（12）

L=SNk（13）

平均對流換熱系數(shù)α的研究：在本文中對流換熱系數(shù)主要研究的是對流換熱的強(qiáng)弱，其影響因素有：熱風(fēng)速度v，基板長度L，氣體粘度μ，氣體運(yùn)動粘度系數(shù)λ，普朗特?cái)?shù)Pr。α的函數(shù)關(guān)系式如下所示：

α=f（v，L，μ，λ，Pγ）f（v，L，μ，λ，P）=0.664v12Pγ13λ/μL12β=Pγ13λ/μL12（14）

求解得β的相關(guān)函數(shù)值。綜上所述，可得：

Tw（k+1）=Twk+0.664v12βFcm（Tfk-Twk） k=0，1，2，…nTw（x+Δx）=Twx+0.664v12βFcm（Tfk-Twk）

（15）

通過上述關(guān)系式通過有限差分法可得出爐溫曲線。

2.2爐溫曲線優(yōu)化模型的建立

優(yōu)化目標(biāo)：在上述的研究基礎(chǔ)上，滿足制程界限的條件，使?fàn)t溫曲線超過217℃到峰值溫度所覆蓋的面積最小，同時(shí)還需保證以峰值溫度為中心線的兩側(cè)超過217℃的爐溫曲線盡量對稱。

2.2.1曲線對稱系數(shù)模型的建立

在滿足溫度曲線超過217℃到峰值溫度所覆蓋的面積最小目標(biāo)基礎(chǔ)上，要求以峰值溫度為中心線的兩側(cè)超過217℃的爐溫曲線盡量對稱。對于爐溫曲線對稱要求，以峰值為中心線為y軸，峰值區(qū)域時(shí)間為x軸建立坐標(biāo)，如圖2所示。

對超出217℃到峰值的整體溫度曲線區(qū)域取對稱時(shí)間點(diǎn)作溫度切線，如上圖右側(cè)圖片所示，Li表示為作切割劃分的各點(diǎn)切線，ni、n'i表示對稱軸兩側(cè)等值劃分的各對稱點(diǎn)。對于上述，任意i（i∈[1，n]）直線斜率為k1，k2，…，ki。

求解關(guān)于對稱軸對應(yīng)的各切線的斜率ki、k'i，使其滿足：

ki+ki'=0（16）

記γ為滿足對稱的曲線對稱系數(shù)，滿足下述公式：

γ=∑ni=1ki+ki'（17）

當(dāng)兩邊對稱度越高時(shí)，在誤差允許的范圍內(nèi)，γ值約趨于0。

2.2.2優(yōu)化判別系數(shù)

設(shè)定δ為求解陰影面積最小和滿足對稱條件的優(yōu)化判別系數(shù)，使其滿足：

δ=mA+ny，其中m，n為各自權(quán)重，設(shè)定其為：

δ=mA+nym=n=1orδ=mA+nγm=n=1（18）

2.2.3優(yōu)化搜索模型

通過遍歷搜索算法，以制程界限條件為主要約束，通過Matlab編程遍歷搜索算法進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化求解，求解思路如下：

步驟一：進(jìn)行遍歷搜索過程中速度區(qū)間和各個溫度區(qū)間的劃分。

步驟二：明確遍歷搜索過程中制程界限的約束條件。

步驟三：進(jìn)行曲線對稱系數(shù)、優(yōu)化判別系數(shù)的求解。

步驟四：進(jìn)行曲線對稱系數(shù)、優(yōu)化判別系數(shù)的判別與挑選。

3模型的結(jié)果與討論

3.1模型的結(jié)果

考慮算法的運(yùn)行速度，遍歷優(yōu)化算法編程中可取速度的步長為5cm/min，溫度步長均為5℃進(jìn)行優(yōu)化搜尋，得到在制程界限約束條件下的若干條爐溫曲線，選取滿足其中超過217℃到峰值溫度所覆蓋的面積最小并且以峰值溫度為中心線的兩側(cè)超過217℃的爐溫曲線應(yīng)盡量對稱這些要求的爐溫曲線如圖3所示。

通過這條優(yōu)化的爐溫曲線即可求得對應(yīng)各個溫區(qū)的溫度，傳送帶的運(yùn)動速度和相應(yīng)的指標(biāo)值分別為：T15=185℃，T6=205℃，T7=232℃，T89=265℃，v=72cm/min，δ=1086.4。

3.2模型的檢驗(yàn)與分析

3.2.1可視化定性驗(yàn)證

爐溫曲線模型的檢驗(yàn)，主要針對附件中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，運(yùn)用建立的爐溫曲線機(jī)理模型，對已知的各小溫區(qū)數(shù)據(jù)、傳送帶運(yùn)動速度數(shù)據(jù)進(jìn)行求解，得出計(jì)算爐溫曲線。最后，對實(shí)驗(yàn)爐溫曲線與計(jì)算爐溫曲線可視化處理，直觀地通過曲線圖像比較、分析實(shí)驗(yàn)爐溫曲線與計(jì)算爐溫曲線，進(jìn)而檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇浴?/p>

由實(shí)驗(yàn)爐溫曲線與計(jì)算爐溫曲線的變化趨勢、分布狀況，可得在一定程度上實(shí)驗(yàn)爐溫曲線與計(jì)算爐溫曲線具有較高的相似性，即可說明在一定程度上所建立的爐溫曲線具有較高的合理性。

3.2.2判別因子定量驗(yàn)證

不妨將制程界限作為判別因子，將實(shí)驗(yàn)爐溫曲線視為客觀上的準(zhǔn)確值，進(jìn)而針對制程界限判別因子進(jìn)行定量計(jì)算，并對比選定的準(zhǔn)確值進(jìn)行相對誤差計(jì)算，進(jìn)而討論模型的合理性與準(zhǔn)確性。通過編程求解可得具體相對誤差如表所示。

由上表可得，溫度上升斜率與溫度下降斜率的相對誤差相對較大，可能是因?yàn)闇囟鹊淖兓俾蕦笭t內(nèi)溫度場分布較為敏感造成的。相對而言，溫度上升過程中在150℃～190℃的時(shí)間、溫度大于217℃的時(shí)間、峰值溫度得相對誤差相對較小，故可以認(rèn)為該機(jī)理模型求解的值具有一定的準(zhǔn)確性與可靠性。

3.2.3模型的誤差分析

為了便于模型的建立，本文忽略了傳送帶運(yùn)動、熱量密度集中、熱輻射等因素對焊爐內(nèi)溫度分布的影響。事實(shí)上，焊爐內(nèi)溫度場的分布將受到以上所列因素的影響，故產(chǎn)生了必然的誤差。同時(shí)，溫度的變化速率受溫度場分布的影響是敏感的，故可認(rèn)為表2中的較大誤差是由此產(chǎn)生的。

4結(jié)論

通過建立回流焊爐溫曲線模型，針對回流焊爐的工作目標(biāo)，運(yùn)用爐溫曲線優(yōu)化模型，基于遍歷算法進(jìn)行爐溫曲線優(yōu)化參數(shù)的求解，以能夠?yàn)閷?shí)際工程應(yīng)用提供可參考的參數(shù)方案。對于實(shí)際工程項(xiàng)目產(chǎn)生的相關(guān)問題，可以從機(jī)理分析出發(fā)，應(yīng)用本文中的思路與求解方法，通過現(xiàn)場測試的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對理論值進(jìn)行一定的修正后，能夠找到符合實(shí)際情況的各工作參數(shù)的方案，在參數(shù)方案下對機(jī)器進(jìn)行控制，可以更加有效地實(shí)現(xiàn)想要達(dá)到爐溫優(yōu)化曲線的結(jié)果，以指導(dǎo)實(shí)踐。

參考文獻(xiàn)

[1]Fabrice， Patisson， Etienne，等. Coal pyrolysis in a rotary kiln： Part I. Model of the pyrolysis of a single grain[J]. Metallurgical & Materials Transactions B， 2000.

[2]王寧.回流焊溫度控制系統(tǒng)的建模與實(shí)現(xiàn)[D].咸都：西南交通大學(xué)，2011.

[3]Lee N C. Optimizing the reflow profile via defect mechanism analysis[J]. Soldering Surface Mount Technology，1999.

[4]趙俊偉，聶延平，趙志平，等.再流區(qū)工藝參數(shù)對焊接可靠性的影響[J].電子工藝技術(shù)，2001，（2）：60-63.

[5]龔雨兵.再流焊爐溫曲線優(yōu)化研究[J].熱加工工藝，2013，42（015）：187-190.

[6]史策.熱傳導(dǎo)方程有限差分法的MATLAB實(shí)現(xiàn)[J].咸陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，24（4）：27-29，36. DOI：10.3969/j.issn.1672-2914.2009.04.009.

[7]張興中，黃文，劉慶國，等.傳熱學(xué)[M].北京：國防工業(yè)出版社，2011.