深化“新常規(guī)” 彰顯“深思維”

楊晴宇

［摘 要］低學(xué)段的學(xué)生在生活中對空間與幾何知識僅有初步的感受。通過復(fù)習(xí)立體圖形的知識，幫助學(xué)生利用“新常規(guī)”溝通平面圖形與立體圖形之間的關(guān)系，使他們進(jìn)一步完善對幾何圖形的建構(gòu)，進(jìn)而從多角度“再認(rèn)識”立體圖形，最終在合作交流中深化思維。

［關(guān)鍵詞］立體圖形；復(fù)習(xí)教學(xué)；數(shù)學(xué)思維

［中圖分類號］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2022）35-0037-04

“圖形與幾何”復(fù)習(xí)課牽扯到的知識點既多又雜。為了摸清學(xué)生的思維起點，筆者做了一個前測，了解到有85%以上的學(xué)生能掌握復(fù)習(xí)課的知識點。若在課堂上一一再現(xiàn)這些知識點的話，勢必會占用大量的時間，但若僅僅將知識點簡單再現(xiàn)，就會使教學(xué)浮于表面。那么，如何處理好“有限時間”與“大量知識點”、“知識點”與“知識網(wǎng)”、“基礎(chǔ)”與“提升”、“低階思維”與“高階思維”的關(guān)系，這是需要教師好好思考的。

于是，筆者在設(shè)計“立體圖形的認(rèn)識（總復(fù)習(xí)）”時，充分考慮用好“新常規(guī)”，從預(yù)習(xí)導(dǎo)航、課堂支持、反思提升三方面考慮，做了調(diào)整，以提升學(xué)生辨析、推理、描述等能力。

一、把握核心，強(qiáng)化“再認(rèn)識”

精心選擇內(nèi)容，加強(qiáng)對核心知識的深度理解，可以避免表面教學(xué)、表層教學(xué)、表演教學(xué)。教師應(yīng)精心設(shè)計復(fù)習(xí)課，對于一般的內(nèi)容點到即可，而對于核心內(nèi)容則要詳細(xì)展現(xiàn)，多角度深化學(xué)生對它的認(rèn)識。為此，筆者設(shè)計本節(jié)課時，抽取學(xué)生畫的不同層次的、具有代表性的思維導(dǎo)圖，及時調(diào)整教學(xué)設(shè)計并有針對性地對教學(xué)進(jìn)行預(yù)案。

【教學(xué)設(shè)計片段1】

（課前，筆者讓學(xué)生利用思維導(dǎo)圖，回顧并整理已學(xué)過的立體圖形的特征。）

師：我們學(xué)習(xí)了長方體、正方體、圓柱、圓錐這些立體圖形，現(xiàn)在我們就圍繞這些立體圖形來上一節(jié)總復(fù)習(xí)課。

（如圖1所示，筆者呈現(xiàn)學(xué)生的思維導(dǎo)圖作品，類型有知識樹、列表、畫圖。學(xué)生上臺匯報，接著進(jìn)行集體評價。）

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生在課前獨(dú)立整理立體圖形的特征，把對基本知識點的回憶提前，課堂上直接省略這一步，以節(jié)約時間。而學(xué)生通過制作思維導(dǎo)圖，有效整合了分散的知識點。

【教學(xué)后記】由于課前時間充裕，學(xué)生獨(dú)立梳理的知識點較為完善。學(xué)生由點狀思維、中心思維逐步向發(fā)展性思維轉(zhuǎn)變。大部分學(xué)生采用了表格的形式從點、線、面的數(shù)量和特征來整理，有的學(xué)生用結(jié)構(gòu)圖來整理，還有的學(xué)生用知識樹、魚骨圖等進(jìn)行梳理。課堂上學(xué)生自信地結(jié)合自制的思維導(dǎo)圖，向大家做了介紹，其余學(xué)生在聽他人匯報的同時再次回顧了知識點，對自己有遺漏或欠缺的地方，利用課后時間做了修正。此環(huán)節(jié)，可以較好地解決“有限時間”與“大量知識點”的矛盾，培養(yǎng)了學(xué)生的總結(jié)性思維。

二、建立聯(lián)系，建構(gòu)“知識網(wǎng)”

教材上所呈現(xiàn)的復(fù)習(xí)內(nèi)容是對各圖形知識點的一一羅列，如果仔細(xì)分析，不外乎是從三視圖、展開圖、圖形運(yùn)動三個角度開展的，如果把這節(jié)課的立足點定位在溝通平面圖形與立體圖形之間的關(guān)系，那么這節(jié)復(fù)習(xí)課就能真正實現(xiàn)學(xué)生對幾何圖形的“再認(rèn)識”，幫助學(xué)生建構(gòu)更完善的幾何圖形知識結(jié)構(gòu)。學(xué)生真正意義上的“深思維”，需要建立在教師的深度教、引導(dǎo)的基礎(chǔ)之上，發(fā)展學(xué)生“深思維”不是一味地讓學(xué)生自主探討，而是讓他們在教師引導(dǎo)下對知識進(jìn)行“層進(jìn)式”“沉浸式”和“高階思維式”的持續(xù)探討。

【教學(xué)設(shè)計片段2】

師（出示有同一個頂點的三條線段，其中兩兩相互垂直，線段略）：這個立體圖形有部分線段被遮住了，猜猜它是什么？

生1：若三條線段是相等的，以三條線段為棱畫圖，就是一個正方體；若其中一條線段與另外兩條長度不同，以三條線段為棱畫圖，就是一個長方體。

師：從這個過程中，你能看出正方體和長方體之間有什么聯(lián)系嗎？為什么說正方體是特殊的長方體？

生2：正方體具有長方體所有的特征，可以用集合圖來表示正方體是特殊的長方體。

【設(shè)計意圖】長方體的長、寬、高極其重要，一旦它們確定了，就能確定其6個面的形狀，同時也能確定其形狀；反之，長方體的形狀發(fā)生變化，那么它的長、寬、高也一定發(fā)生變化，它們?nèi)呤窍噍o相成的。利用這一特點，再通過動畫演示，能讓學(xué)生直觀感受長方體與正方體之間的聯(lián)系，初步感受線、面、體間的關(guān)系，為深化學(xué)生的思維添加基石。

【教學(xué)后記】在實際教學(xué)過程中，根據(jù)三條線段的位置、長度關(guān)系來猜圖形，學(xué)生一猜即中，因為他們有了初步的空間觀念。俗話說眼見為實，筆者利用動畫演示長方體到正方體的變化，可使學(xué)生將正方體記憶為長、寬、高都相等的長方體，避免了生搬硬套的理解和記憶。

【教學(xué)設(shè)計片段3】

練習(xí)1：有一個長方體，圖2的左邊分別是從它前面和上面看到的圖形，那么右邊哪個圖形是從它右面看到的？

師：說說你是怎樣想的？

生：根據(jù)從前面、上面看到的圖形，可以確定長方體的長、寬、高，進(jìn)而確定長方體的形狀。

練習(xí)2：根據(jù)已知的兩個面（如圖3），你能確定長方體的形狀嗎？

師：練習(xí)2中，這兩個分別是怎樣的長方體？它的長是幾，寬是幾，高是幾？

師：要知道怎樣的兩個面才能確定長方體的形狀？為什么？

生（小結(jié)）：只有知道相鄰的兩個面，才能確定長方體的長、寬、高，進(jìn)而確定它的形狀。

【設(shè)計意圖】練習(xí)2中，筆者設(shè)計的兩道題分別是已知相鄰兩個面和已知相對兩個面，能否確定長方體的形狀，讓學(xué)生在腦海中“刻畫”圖形，最終明白只有確定了長方體的長、寬、高，才能知道其形狀，得出的結(jié)論才是精準(zhǔn)的，從而更好地發(fā)展學(xué)生的空間觀念。如此，讓學(xué)生再次感受到線、面、體間的關(guān)系，使思維從具象向抽象過渡，構(gòu)建全面的知識網(wǎng)。

【教學(xué)后記】在教學(xué)過程中，要讓學(xué)生真正參與學(xué)習(xí)的過程。如已知兩個相鄰的面，學(xué)生能推出長方體的長、寬、高，進(jìn)而確定長方體的形狀。已知兩個相對的面，是無法確定長方體的形狀的，這也是學(xué)生的學(xué)習(xí)難點。在這過程中，筆者及時利用動畫演示，幫助有困難的學(xué)生，讓學(xué)生的思維逐步得到提升，真正做到讓學(xué)習(xí)可見、讓思維發(fā)展。

【教學(xué)設(shè)計片段4】

（任務(wù)1）

師：除了從三視圖的角度可以溝通平面圖形和立體圖形之間的聯(lián)系，還可以從什么角度來溝通它們之間的聯(lián)系呢？

師（出示圖4）：判斷下列圖形哪些是正方體的展開圖。

生1：前面兩個是，最后一個不是。

師：最后一個為什么不是？

生2：最后一個找不到3組相對的面。

生3：有3組相對的面才能折疊成正方體。

（任務(wù)2）

師（出示圖5）：下列圖形是長方體的展開圖嗎？如果是，在頭腦中想象折疊的過程；如果不是，怎么改才能折成長方體？

生4：由平面圖形折疊成立體圖形，不僅要找出3組相對的面，還要考慮面與面之間的大小關(guān)系。

（任務(wù)3）

師（出示圖6）：下面左邊4個正方體中，有一個是用右邊的圖形折疊而成的。先猜一猜是哪一個，再折一折。

（四個選項都有學(xué)生選，讓選擇①、③、④錯誤選項的學(xué)生分別說說自己的想法。）

師：他們說的對嗎？如果在腦中想象折疊過程有困難，還可以怎么做？

生5：動手折一折來驗證。

師（引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)）：把立體圖形展開就得到平面圖形，反之，將一個平面圖形折疊，也可以得到立體圖形（如圖7）。

【設(shè)計意圖】探究平面圖形和立體圖形之間的聯(lián)系，教材上的安排是先復(fù)習(xí)長方體的展開圖，再復(fù)習(xí)正方體的展開圖。然而事實上，正方體的展開圖比長方體的展開圖簡單些，筆者對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行調(diào)整并設(shè)計3個任務(wù)，讓學(xué)生圍繞展開圖進(jìn)行研究，讓學(xué)習(xí)更具思考價值和思維廣度。

任務(wù)1通過正方體展開圖，讓學(xué)生感受到只要確定3組相對的面，就能折疊出正方體。任務(wù)2通過長方體展開圖，讓學(xué)生進(jìn)一步意識到，在折疊時不僅要考慮相對的面，還要考慮面與面之間的大小關(guān)系，這樣，又回到探究長方體的棱的相關(guān)問題，使學(xué)生在思考的過程中能夠鞏固對長方體和正方體特征的認(rèn)識。任務(wù)3主要讓學(xué)生根據(jù)正方體的展開圖，通過想象與推理找到與展開圖相對應(yīng)的正方體，具有一定的挑戰(zhàn)性和趣味性。

在教學(xué)時，教師除了要為每個學(xué)生提供足夠的研究時間和空間，還應(yīng)鼓勵學(xué)生在想象的基礎(chǔ)上動手操作，這照顧到空間想象能力較弱的學(xué)生，有助于他們加深對展開圖與立體圖形對應(yīng)關(guān)系的認(rèn)識，發(fā)展空間觀念和推理能力。

【教學(xué)后記】任務(wù)1的3個圖形，由易到難，要求學(xué)生既要能根據(jù)展開圖想象將其還原成正方體，又要判斷出6個面的相對關(guān)系。任務(wù)2不僅要求學(xué)生要確定3組相對的面，還要考慮面與面之間的大小關(guān)系，再通過調(diào)整面的大小，使之可以折疊成長方體。任務(wù)3為教材上的思考題，學(xué)生可通過推理或排除的方法找到正確選項，可訓(xùn)練學(xué)生觀察、分析、推理、表達(dá)等能力。這樣的教學(xué)設(shè)計，使學(xué)生通過逐級訓(xùn)練，逐層推進(jìn)地學(xué)習(xí)，提升空間想象能力，拓展思維深度。

三、豐富變化，促進(jìn)“再生長”

精編綜合性練習(xí)題，具有以簡約的素材承載眾多的知識點的特點，可有效激發(fā)學(xué)生的批判性思維和創(chuàng)造性思維。教師在教學(xué)中構(gòu)建有深層認(rèn)知意義的情境，為學(xué)生靈活解決實際問題、發(fā)展空間想象能力、培養(yǎng)合理的聯(lián)想能力起到重要作用。

【教學(xué)設(shè)計片段5】

師（出示圖8）：下面兩條線段可以形成什么平面圖形？這個平面圖形再通過運(yùn)動能得到什么立體圖形？圈出這個立體圖形可能是什么物品。

生1：可以形成三角形，三角形通過旋轉(zhuǎn)可以得到圓錐。

師：是怎樣的圓錐呢？

生1：底面半徑為12 cm，高為24 cm的圓錐，可能是生日帽。

師（做出旋轉(zhuǎn)手勢）：通過不同方式的旋轉(zhuǎn)還能得到怎樣的圓錐？

生2：能得到底面半徑為24 cm，高為12 cm的圓錐，可能是斗笠。

師：還能形成什么平面圖形？

生3：長方形，通過旋轉(zhuǎn)得到底面半徑為12 cm，高為24 cm的圓柱，可能是積木桶，也可能是花瓶。

生4：通過旋轉(zhuǎn)還可以得到底面半徑為24 cm，高為12 cm的圓柱，可能是蒲團(tuán)。

師（小結(jié)）：在研究形的問題時，不能忘記數(shù)，只有數(shù)形結(jié)合，描述立體圖形才會更精準(zhǔn)。

【設(shè)計意圖】此題的設(shè)計，又一次引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生感受從線可以想到面、體，形成從一維到二維，再到三維的認(rèn)知體驗。

學(xué)生通過把三角形和長方形以不同的邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到不同的圓錐和圓柱，進(jìn)一步加深對圓錐和圓柱特征的認(rèn)識。這樣的設(shè)計同時啟發(fā)學(xué)生關(guān)注數(shù)據(jù)信息，注意數(shù)形結(jié)合，只有將圖形的認(rèn)識和實際結(jié)合起來，描述才會更精準(zhǔn)。

【教學(xué)后記】此題的訓(xùn)練很好地構(gòu)建了圓柱、圓錐的“知識點”與“知識網(wǎng)”之間的聯(lián)系，同時也協(xié)調(diào)了“低階思維”與“高階思維”的關(guān)系。線→面→體的想象與生活實物緊密聯(lián)系，進(jìn)一步溝通了空間幾何中一維、二維、三維之間的聯(lián)系，讓學(xué)生的想象、推理能力達(dá)到新高度。這樣的課堂設(shè)計，讓學(xué)生有獨(dú)立思考的時間、有合作交流的空間、有探究發(fā)表的機(jī)會，使得學(xué)生的思維在交流中得以彰顯。此環(huán)節(jié)溝通了線段與平面圖形的聯(lián)系、平面圖形與立體圖形之間的聯(lián)系、立體圖形與立體圖形之間的聯(lián)系、立體圖形各要素之間的聯(lián)系。

綜上所述，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)于溫故中知新，于聯(lián)系中整合，于交流中彰顯思維深度！

（責(zé)編 覃小慧）