實時混合試驗的自適應(yīng)線性二次高斯時滯補償方法研究

張 博，周惠蒙，田英鵬，國 巍，古 泉，王 濤，滕 睿

(1. 中國地震局工程力學(xué)研究所，中國地震局地震工程與工程振動部門重點實驗室，哈爾濱 150080；2. 廣州大學(xué)工程抗震研究中心，廣州 510006；3. 中南大學(xué)土木工程學(xué)院，長沙 410075；4. 廈門大學(xué)土木學(xué)院，廈門 361005)

高速鐵路多架設(shè)在高架橋梁上，高鐵列車高速運行過程中與橋梁之間的由于動力相互作用引起的耦合振動對高鐵行駛穩(wěn)定性有較大影響，其中軌道橋梁截面剛度是影響車橋耦合振動的重要因素，通常采用數(shù)值仿真或線路試驗研究其對車橋耦合振動的影響，但是數(shù)值仿真對非線性的模擬精度有限，而線路試驗的成本太高，因此本文研究采用實時混合試驗對車橋耦合系統(tǒng)進行參數(shù)分析模擬[1]。

實時混合試驗技術(shù)(RTHS)是由擬動力試驗的發(fā)展而來，可以模擬結(jié)構(gòu)在真實地震或其他荷載下的動力響應(yīng)，因為采用子結(jié)構(gòu)，所以試驗子結(jié)構(gòu)可以做到大比例尺甚至足尺，能夠有效提升工程結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動力試驗結(jié)果可信度，并降低試驗成本，已經(jīng)在土木、機械、海工、高鐵等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[2-4]。實時混合試驗將結(jié)構(gòu)劃分為數(shù)值子結(jié)構(gòu)和試驗子結(jié)構(gòu)，數(shù)值子結(jié)構(gòu)計算出邊界的運動量(如位移、速度、力等)，通過振動臺(或作動器)向數(shù)值子結(jié)構(gòu)施加目標(biāo)運動量，并將試驗體產(chǎn)生的反力反饋回數(shù)值子結(jié)構(gòu)，進行計算下一時刻的數(shù)值命令，形成閉環(huán)。振動臺(或作動器)從接受命令到實現(xiàn)該命令之間存在一定的時間延遲，即為時滯，時滯越大，試驗結(jié)果越不準確，嚴重會造成試驗失穩(wěn)，因此，需要對振動臺(或作動器)進行時滯補償。

針對土木工程結(jié)構(gòu)抗震試驗需要，一些學(xué)者提出了一系列的時滯補償方法并應(yīng)用在實時混合試驗中[5-14]。吳斌等[5]提出了基于最大時滯的作動器動力補償方法，采用與期望位移最接近的過補償位移作為最佳命令；王貞等[6]提出實時混合試驗變時滯的自適應(yīng)時滯補償方法，基于最小二乘法估計位移信號；徐偉杰等[7]對逆補償方法參數(shù)α 進行研究發(fā)現(xiàn)：參數(shù)α 與補償?shù)臅r滯存在約10%誤差，根據(jù)振動臺時滯和信號頻率給出參數(shù)α 的取值范圍；Philips[8]提出一種多矩陣反饋控制結(jié)合模型高階導(dǎo)數(shù)的控制器，提高了對振動臺非線性試件的位移和加速度追蹤的性能；Gao 等[9]采用H∞方法補償內(nèi)環(huán)伺服作動器時滯，在0 Hz～25 Hz 白噪聲激勵下能夠補償大約12 ms～13 ms；Zhou 等[10]提出了基于魯棒線性二次高斯控制方法，采用伯德圖和奈奎斯特圖分析控制器的穩(wěn)定性和魯棒性，并應(yīng)用在Benchmark 問題中，結(jié)果表明該方法具有很好的魯棒性。Ou 等[11]提出了一種魯棒的集成執(zhí)行器控制(RIAC)策略，基于H∞優(yōu)化的環(huán)路整形反饋控制，用于噪聲影響最小化的線性二次估計塊以及可減少小殘留量的前饋塊延遲/滯后。Chae[12]提出了自適應(yīng)時間序列時滯補償算法，算法根據(jù)振動臺命令和響應(yīng)信號大批量數(shù)據(jù)，并基于最小二乘法預(yù)測下一時刻的位移，能夠有效解決實時混合試驗中的時滯問題。Ning等[13]采用自適應(yīng)前饋控制器降低時滯，并結(jié)合反饋控制提升時滯補償器的魯棒性，試驗結(jié)果表明這種控制策略時滯補償能力較好。李寧等[14]針對作動器的負載不同提出了自適應(yīng)時滯補償方法實現(xiàn)RTHS 中的跟蹤控制，模擬驗證結(jié)果表明魯棒性較好，實用性較好；李小軍等[15]提出將加加速度反饋信號和加加速度前饋信號引入控制系統(tǒng)中，提高了振動臺系統(tǒng)的有效頻帶；紀金豹等[16]提出多參量反饋控制方法能提高振動臺子結(jié)構(gòu)試驗中主動質(zhì)量驅(qū)動器(AMD)的控制帶寬；Tang等[17]提出全狀態(tài)仿真控制(FSCS)來提升振動臺RTHS 對高頻信號和結(jié)構(gòu)非線性結(jié)構(gòu)的加載特性；遲福東等[18]將考慮時滯補償策略進行實時混合試驗的穩(wěn)定性分析，并且在考慮補償?shù)那闆r下分析混合試驗的臨界時滯作為試驗參考；唐貞云等[19]通過增益裕度等量化指標(biāo)分析時滯補償對實時混合試驗中的穩(wěn)定性影響。目前的時滯補償方法主要是針對結(jié)構(gòu)工程的需要，因為結(jié)構(gòu)的頻率相對較低，應(yīng)用到高速列車車橋耦合振動中時，由于鐵道梁橋的頻率一般在10 Hz 以上，需要針對性地研究寬頻帶時滯補償方法。遲福東等[18]、唐貞云等[19]進行實時混合試驗穩(wěn)定性分析，研究表明，數(shù)值子結(jié)構(gòu)頻率越高，系統(tǒng)的臨界時滯越小，對時滯補償?shù)囊笤礁?，因此，進行車橋耦合系統(tǒng)的實時混合試驗需要在高頻段也要對時滯進行很好的補償。

本文提出了自適應(yīng)線性二次高斯(ALQG)時滯補償算法，能夠用于實時混合試驗的高頻信號輸入下的時滯補償，進而提升試驗系統(tǒng)穩(wěn)定性。采用高鐵橋梁軌道與車體的耦合系統(tǒng)(車橋耦合系統(tǒng))實時混合試驗驗證算法的可行性，將簡化的7 跨橋梁軌道簡支梁作為實時混合試驗的數(shù)值子結(jié)構(gòu)，1/4 縮尺的車輛模型作為試驗子結(jié)構(gòu)。采用ALQG 方法，考慮不同軌道梁截面的影響進行了多種工況下車橋耦合振動的實時混合試驗，驗證方法的可行性和穩(wěn)定性，并與ATS 方法比較，驗證方法的優(yōu)越性。

1 ALQG 算法原理

ALQG 方法通過線性二次高斯(LQG)控制器提高控制系統(tǒng)的帶寬，減少高頻信號的時滯。在其基礎(chǔ)上，結(jié)合ATS 對剩余時滯進行補償，從而提高對高頻信號的時滯補償能力。

圖1 為ALQG 原理框圖。其中，被控對象為振動臺，自適應(yīng)補償器ATS 計算預(yù)測信號，狀態(tài)觀測器和線性二次調(diào)節(jié)器(LQR)控制器組成LQG 控制器，進行外環(huán)時滯補償并提升系統(tǒng)魯棒性。xt為數(shù)值子結(jié)構(gòu)計算出來的目標(biāo)位移信號，、是由位移命令進行差分得到的速度和加速度命令，xcom是目標(biāo)信號經(jīng)過自適應(yīng)補償器ATS 補償之后的信號，yGc為振動臺接受到的命令信號，xm為振動臺的響應(yīng)信號。下面分別介紹LQR、狀態(tài)觀測器和ATS。

圖1 ALQG 原理框圖Fig. 1 Principle block of ALQG

1.1 LQR 控制

線性二次調(diào)節(jié)器LQR 和狀態(tài)觀測器構(gòu)成LQG控制。本研究基于單輸入單輸出系統(tǒng)的連續(xù)傳遞函數(shù)設(shè)計LQR 控制器，這個傳遞函數(shù)是采用限帶白噪聲輸入由振動臺的輸入輸出信號識別得到的，一般表達式如下：

當(dāng)被控對象中無積分器時，當(dāng)系統(tǒng)輸入階躍信號時會逐漸收斂，但會存在穩(wěn)定誤差。當(dāng)在被控對象與輸入輸出的誤差比較環(huán)節(jié)之間引入積分環(huán)節(jié)(如圖1 所示)時，并取合適的 ，可以將穩(wěn)態(tài)誤差降低為0，K為系統(tǒng)狀態(tài)X的增益矩陣。選取合適的增益kI和增益矩陣K即為LQR 控制器的設(shè)計，LQR 控制器表示如下：

則當(dāng)前系統(tǒng)的動態(tài)特性為：

已知被控對象數(shù)學(xué)模型的狀態(tài)方程，采用最佳調(diào)節(jié)器LQR 方法設(shè)計，求解里卡蒂方程，確定最佳控制矩陣K：

使得下列性能指標(biāo)達到最小值：

式中：Q為實對稱矩陣，由于系統(tǒng)為單輸入-單輸出系統(tǒng)；R為標(biāo)量。

1.2 狀態(tài)觀測器

由于振動臺-試驗體系統(tǒng)的狀態(tài)量無法直接測量，因此在控制系統(tǒng)中引入全階狀態(tài)觀測器。根據(jù)圖1，狀態(tài)觀測器的方程為：

1.3 自適應(yīng)時滯補償器ATS

ALQG 采用自適應(yīng)時滯補償序列(ATS)[12]進行剩余時滯的補償。ATS 是基于泰勒展開，預(yù)測信號描述為：

1.4 LQG 性能

圖2 采用LQG 的控制系統(tǒng)幅相頻曲線Fig. 2 Amplitude-phase curve of control system using LQG

2 試驗設(shè)計

試驗對象為高鐵橋梁軌道與車體的耦合系統(tǒng)(車橋耦合系統(tǒng))，圖3 為車橋耦合系統(tǒng)簡圖，將車橋系統(tǒng)看作3 自由度系統(tǒng)，分別是車體、轉(zhuǎn)向架和橋梁，試驗中只考慮橋梁的豎向位移。

圖3 車橋耦合系統(tǒng)簡圖Fig. 3 Diagram of vehicle-bridge couple system

當(dāng)車輛高速行駛時，車輪與橋梁軌道之間的振動會影響高速車輛的穩(wěn)定性，橋梁的截面的參數(shù)(梁高、腹板厚度、截面積、慣性矩等)會影響橋梁的自振頻率，這些參數(shù)實質(zhì)上影響橋梁的剛度，會使得橋梁振動的信號處于不同頻帶，進而測試ALQG 對不同頻率信號的補償效果。將振動臺實時混合試驗技術(shù)應(yīng)用于車橋耦合系統(tǒng)中，以研究橋梁截面參數(shù)對車輛行駛穩(wěn)定性的影響。

不同的加載條件下(不同的橋梁截面剛度)，用ALQG 控制器來修正位移命令，使得響應(yīng)信號的幅值和相位與命令信號盡量一致，并利用命令與響應(yīng)信號的均方根誤差作為時滯補償效果評價標(biāo)準。

2.1 子結(jié)構(gòu)劃分

在高速鐵路車橋耦合系統(tǒng)的實時混合試驗中，將7 跨(每跨32 m)橋梁的簡支梁橋作為數(shù)值子結(jié)構(gòu)，橋梁簡化模型如圖4，將橋梁簡化為簡支梁，橋梁、橋墩和地基之間力傳遞均看作彈簧阻尼。將車體和轉(zhuǎn)向架簡化的1/4 車體模型作為試驗子結(jié)構(gòu)，車體模型為質(zhì)量塊，重量為真實車體質(zhì)量的1/4，轉(zhuǎn)向架采用彈簧阻尼代替，圖5 為試驗子結(jié)構(gòu)模型等效示意圖，圖6 為試驗體和傳感器布置圖。

圖4 數(shù)值子結(jié)構(gòu)模型Fig. 4 Model of numerical substructure

圖5 試驗子結(jié)構(gòu)模型等效示意圖Fig. 5 Equivalent schematic diagram of experimentalsubstructure model

圖6 試驗體及傳感器布置圖Fig. 6 Experimental body and sensor layout

實際中，車輪受到橋梁軌道的豎向振動，車體、轉(zhuǎn)向架都是豎向運動；但在本研究中，由于試驗條件限制，采用的是水平單向加載的振動臺，因此將車體和轉(zhuǎn)向架的運動方向由豎向轉(zhuǎn)換為水平運動，重力作用采用數(shù)值計算與測量的輪軌力相加，同時因為導(dǎo)軌非常光滑，車體和轉(zhuǎn)向架模型的重力影響可忽略不計，橋梁軌道、車體和轉(zhuǎn)向架的動力相互作用沒有變化。

為方便試驗體的設(shè)計，試驗體的質(zhì)量、剛度、阻尼等參數(shù)與高鐵原型相應(yīng)參數(shù)的質(zhì)量縮尺比值為0.0045，車體與轉(zhuǎn)向架之間的質(zhì)量、阻尼和剛度分別為38 kg、45 (N·s)/m 和1012.5 N/m；轉(zhuǎn)向架與車輪之間的質(zhì)量、阻尼和剛度分別為4.63 kg、90 (N·s)/m 和7974 N/m。

2.2 試驗框架

車橋耦合實時混合試驗是由數(shù)值子結(jié)構(gòu)、控制算法ALQG、試驗子結(jié)構(gòu)、振動臺及其控制器組成，數(shù)值子結(jié)構(gòu)采用移動載荷卷積積分法[4](MLCIM)求解每一時步k的橋梁變形信號xkt，發(fā)送至預(yù)測算法ALQG 計算出預(yù)測信號ykGc，通過Pulsar 控制器將預(yù)測信號發(fā)至振動臺進行加載，將振動臺響應(yīng)信號反饋至控制算法ALQG 中形成內(nèi)環(huán)；振動臺產(chǎn)生動作以加載試驗子結(jié)構(gòu)，質(zhì)量塊和轉(zhuǎn)向架的慣性力和重力轉(zhuǎn)化為交界面的輪軌力fk反饋至數(shù)值子結(jié)構(gòu)，用于計算下一時刻k+1的橋梁變形信號，形成外部閉環(huán)。輪軌力計算公式如下：

使用到的軟件為Matlab/Simulink 和Pulsar 控制軟件，Matlab/Simulink 用來搭建數(shù)值橋模型和ALQG 算法，Pulsar 控制軟件接收到預(yù)測信號xcom控制振動臺運動；硬件為算法運行平臺xPC目標(biāo)機、數(shù)據(jù)實時通信模塊Scramnet 卡以及加載平臺單自由度振動臺。實時混合試驗開始前將Matlab/Simulink 中數(shù)值子結(jié)構(gòu)、控制算法等編譯后下載至xPC 目標(biāo)機中，通過Scramnet 卡進行發(fā)送接收數(shù)據(jù)，試驗中的數(shù)據(jù)采樣頻率為1024 Hz，上述軟硬件構(gòu)成實時混合試驗的實時環(huán)境?；贏LQG 時滯補償?shù)能嚇蝰詈舷到y(tǒng)實時混合試驗總體框架如圖7 所示。

圖7 實時混合試驗框架Fig. 7 RTHS experiment frame

2.3 試驗工況

采用ALQG 控制算法對車橋耦合系統(tǒng)的實時混合試驗中振動臺的時滯進行補償，用于橋梁截面的參數(shù)對車橋耦合振動影響的分析，可以通過改變梁高、腹板厚度和截面積以調(diào)整橋梁剛度以達到對橋梁整體變形信號頻率的改變。本次試驗設(shè)定列車速度為300 km/h，選擇3 種橋梁截面(形狀見圖8 和表1)作為試驗工況，驗證ALQG 算法的補償效果和穩(wěn)定性。

表1 橋梁截面信息Table 1 Bridge section information

圖8 橋梁軌道橫截面[20-21]Fig. 8 Bridge section shape[20-21]

3 試驗驗證

3.1 正弦信號輸入測試

首先分別對振動臺輸入加載頻率為1 Hz～40 Hz正弦曲線，分別采用ALQG 和ATS 補償器進行補償，測試算法的控制效果。采用1 Hz～40 Hz 單頻正弦信號測試振動臺系統(tǒng)不同頻率下的時滯，振動臺的時滯如圖9 中所示，并基于兩種控制器測試出不同頻率的最大補償時滯。根據(jù)圖9 中結(jié)果，可以看出，ALQG 相比較于ATS 方法更接近于振動臺系統(tǒng)時滯，而且對高頻信號，補償?shù)臅r滯更大。

圖9 不同頻率下最大補償時滯Fig. 9 Maximum compensation delay at different frequency

3.2 實時混合試驗驗證

將ALQG 控制器應(yīng)用在車橋耦合實時混合試驗中振動臺的時滯補償，驗證其在實時混合試驗中的補償效果，通過比較命令信號與響應(yīng)信號的時域曲線，并采用均方根誤差作為衡量標(biāo)準，判斷ALQG 控制器的補償效果；同時采用ATS 補償進行補償作為對比試驗。圖10～圖12 分別為命令信號與響應(yīng)信號的時程圖、功率譜和幅相頻曲線對比圖。

圖10 為命令與響應(yīng)的時域比較圖，當(dāng)命令曲線和響應(yīng)曲線吻合度越高時，表明時滯補償方法對命令信號的復(fù)現(xiàn)能力越強，圖10(a)～圖10(c)展示了ALQG 和ATS 方法的補償效果對比，整體上，ALQG 方法能夠?qū)r滯補償?shù)? ms 之內(nèi)；圖10(d)～圖10(f)中展示了兩種時滯補償方法在峰值處的局部對比，能夠觀察到除尖峰處外，ALQG 響應(yīng)與命令信號吻合度較高，只存在微小波動；但在峰值處，ALQG 響應(yīng)于命令信號有差異，這是由于在峰值時刻，振動臺需要反向運動，液壓作動器處于換向階段，此時作動器動態(tài)特性存在靜態(tài)摩擦，即死區(qū)，ALQG 方法在ATS 方法基礎(chǔ)上，結(jié)合了線性的LQG 方法，提高了響應(yīng)的速度，所以在尖峰處存在一定的幅值誤差。為了保證試驗的穩(wěn)定運行，盡可能減少時滯。需要在減少時滯和減少尖峰處幅值誤差之間取得平衡，綜合考慮，ALQG 性能要優(yōu)于ATS。

圖10 命令與響應(yīng)信號比較的時程圖Fig. 10 Time history of command and response signals

圖11 為在頻域中對命令和響應(yīng)信號進行對比：從圖11(a)～圖11(c)整體圖，能夠看到在各頻率點下，兩種時滯補償方法的補償效果相當(dāng)；從圖11(d)～圖11(f)局部放大圖，將頻率點4 Hz～8 Hz的頻率響應(yīng)對比進行放大，能夠看到ALQG 響應(yīng)與命令信號兩條曲線吻合度非常高，說明ALQG補償方法表現(xiàn)出更好的復(fù)現(xiàn)能力。從時域和頻域結(jié)果表明，ALQG 補償方法能夠在實時混合試驗中取得優(yōu)秀的補償效果，對于中高頻信號(4 Hz～8 Hz)，也表現(xiàn)出較強的復(fù)現(xiàn)能力。

圖11 命令與響應(yīng)信號比較的頻域圖Fig. 11 Command and response signals comparison in frequency domain

圖12 為各工況下振動臺系統(tǒng)(yGc到xm)、ALQG系統(tǒng)(xt到xm)和ATS 系統(tǒng)(xt到xm)的幅相頻曲線對比，說明ALQG 和ATS 方法對高頻信號的時滯補償作用。從圖12 可以看出，ALQG 系統(tǒng)的相角曲線在0 Hz～20 Hz 滯后接近0，明顯小于ATS 補償方法，說明ALQG 方法比ATS 對高頻信號有更好的時滯補償作用。

圖12 傳遞函數(shù)對比圖Fig. 12 Transfer function comparison chart

采用均方根誤差RMSE(式(17))對補償效果進行評估，各工況的時滯和均方根誤差在表2列出。

表2 中，采用ALQG 時均方根誤差和時滯分別為6.04%～7.01%和0 ms～5 ms，遠低于采用ATS時的13.02%～15.96%和0 ms～11.3 ms，ALQG 達到了時滯補償?shù)念A(yù)期效果。

表2 時滯與均方根誤差Table 2 Time delay and value of RMSE

4 結(jié)論

針對車橋耦合系統(tǒng)實時混合試驗中的10 Hz～20 Hz頻率信號時滯問題，本文提出了自適應(yīng)線性二次高斯控制器ALQG，采用LQG 提升控制系統(tǒng)帶寬的基礎(chǔ)上，結(jié)合ATS 補償剩余時滯，從而實現(xiàn)寬頻帶信號的時滯補償。本文采用車橋耦合系統(tǒng)的實時混合試驗驗證控制算法的有效性，時域和頻域的實驗結(jié)果表明：采用ALQG 的試驗中，命令信號與響應(yīng)信號的時滯保持在0 ms～4 ms 范圍內(nèi)，均方根誤差為6.04%～7.01%范圍內(nèi)，而且在命令和響應(yīng)的頻域信號吻合度非常好，時滯補償效果優(yōu)于ATS。