• 
    

    
    

      99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

      基于四個(gè)理解的“弧度制”教學(xué)設(shè)計(jì)

      2022-03-07 18:47:41林偉芬
      關(guān)鍵詞:問題串思維發(fā)展

      林偉芬

      摘? 要:在三角函數(shù)的整體結(jié)構(gòu)下,本教學(xué)設(shè)計(jì)利用圓周運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象引入弧度制,并說明其必要性和價(jià)值,借助信息技術(shù)與弧長(zhǎng)公式探究1弧度的意義,讓學(xué)生體驗(yàn)一個(gè)新的單位制的研究路徑及其應(yīng)用價(jià)值,體會(huì)其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法,以達(dá)到四個(gè)理解:理解數(shù)學(xué),明確課堂研究路徑;理解學(xué)生,立足學(xué)生思維發(fā)展;理解技術(shù),為高效課堂助力;理解教學(xué),以問題串引領(lǐng)課堂.

      關(guān)鍵詞:弧度制;研究路徑;思維發(fā)展;問題串;四個(gè)理解

      本節(jié)課力求體現(xiàn)新課程和新教材的理念,構(gòu)建高效課堂,真正讓學(xué)生理解概念、學(xué)會(huì)思維,提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

      一、內(nèi)容及內(nèi)容解析

      本節(jié)課為人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第一冊(cè)第五章“三角函數(shù)”第一節(jié)“任意角與弧度制”第2課時(shí)的內(nèi)容.

      1. 內(nèi)容

      弧度制的概念及弧度與角度的互化,體會(huì)引入弧度制的必要性.

      2. 內(nèi)容解析

      (1)弧度制的本質(zhì).

      弧度制的本質(zhì)是用線段長(zhǎng)度度量角的大小,即定義長(zhǎng)度等于半徑的圓弧所對(duì)圓心角的大小為1弧度,將弧長(zhǎng)與半徑的度量單位統(tǒng)一為十進(jìn)制. 高中函數(shù)的概念中要求函數(shù)必須是實(shí)數(shù)集合與實(shí)數(shù)集合之間的對(duì)應(yīng),只有這樣才能進(jìn)行基本初等函數(shù)的運(yùn)算(四則運(yùn)算、復(fù)合、求反函數(shù)等),使函數(shù)具有更廣泛的應(yīng)用性. 三角函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的函數(shù)模型,但有些現(xiàn)象中的自變量不是角度,如鐘擺、潮汐現(xiàn)象等的自變量是時(shí)間,因此必須建立弧度制,將角與實(shí)數(shù)之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,從而為建立三角函數(shù)的概念做鋪墊.

      (2)蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法.

      在如何合理用十進(jìn)制實(shí)數(shù)定義弧度制這一新概念的探究過程中,讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般的探究過程及推理思想方法;通過類比角度制的1度角,定義弧度制中的“1個(gè)單位”角,滲透類比的數(shù)學(xué)思想方法.

      (3)知識(shí)的上下位關(guān)系.

      小學(xué)和初中學(xué)習(xí)的[0°]~[360°]角是任意角中的一部分內(nèi)容. 弧度制是角度制外另一種度量角大小的單位制度,兩者屬于并列關(guān)系. 角的推廣及弧度制的引入建立了角的集合與實(shí)數(shù)集之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,為學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ).

      (4)育人價(jià)值.

      弧度制的引入是在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上對(duì)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造,讓學(xué)生體驗(yàn)一個(gè)新的單位制的研究路徑及其應(yīng)用價(jià)值,落實(shí)“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界”的核心素養(yǎng)理念. 融入數(shù)學(xué)史,讓學(xué)生追溯弧度制的來(lái)源和價(jià)值,經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展和深化的過程,體會(huì)其中蘊(yùn)涵的人文精神.

      3. 教學(xué)重點(diǎn)

      1弧度的意義,角度與弧度的互化.

      二、目標(biāo)及目標(biāo)解析

      1. 目標(biāo)

      (1)理解1弧度角的意義,建立弧度制的概念,知道弧度制的本質(zhì)是用線段長(zhǎng)度來(lái)度量角的大小. 掌握角度制與弧度制的互化,知道一些特殊角的弧度;能夠通過弧度制的定義推導(dǎo)出弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式.

      (2)在探究如何科學(xué)、合理地定義弧度制這一新概念的過程中,體會(huì)從特殊到一般、類比的探究過程,以及數(shù)學(xué)思想方法.

      (3)通過弧度概念的生成過程,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),體會(huì)引入弧度制的必要性及其價(jià)值,感受數(shù)學(xué)發(fā)展的曲折性,體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)涵的人文精神.

      2. 目標(biāo)解析

      (1)能用自己的語(yǔ)言解釋弧度制的本質(zhì),并能說明其合理性.

      (2)能夠利用弧度制的定義推導(dǎo)弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式.

      (3)能進(jìn)行角度制和弧度制的換算.

      (4)能說明弧度制下角的集合可以與實(shí)數(shù)集建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,在弧度制建立的數(shù)學(xué)史中體會(huì)它曲折的發(fā)展歷程(人文價(jià)值)和在生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用價(jià)值及科學(xué)價(jià)值.

      三、教學(xué)問題診斷解析

      1. 問題診斷

      讓學(xué)生體會(huì)引入弧度制的必要性是第一個(gè)教學(xué)問題. 學(xué)生在小學(xué)和初中已經(jīng)習(xí)慣使用角度制對(duì)角進(jìn)行度量,如果不能體會(huì)到引入弧度制的合理性和必要性,認(rèn)為它是一種“規(guī)定”,可能會(huì)對(duì)弧度制學(xué)習(xí)產(chǎn)生抵觸情緒. 我們通過摩天輪的情境引入,讓學(xué)生感受用弧長(zhǎng)、半徑和圓心角來(lái)刻畫點(diǎn)的位置時(shí),由于弧長(zhǎng)(十進(jìn)制)和圓心角(六十進(jìn)制)的進(jìn)制不同給解決問題帶來(lái)不便,從而引發(fā)用十進(jìn)制的實(shí)數(shù)來(lái)度量角的需求的思考;通過數(shù)學(xué)史背景的介紹,了解數(shù)學(xué)家們?cè)谌菍W(xué)的發(fā)展中統(tǒng)一角度和弧長(zhǎng)單位上所做的努力,感知弧度制產(chǎn)生的必要性;通過角度制和弧度制的換算的鞏固練習(xí),感受角的集合與實(shí)數(shù)集之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,并讓學(xué)生了解這種對(duì)應(yīng)關(guān)系能夠解決角度制下無(wú)法解決的基本初等函數(shù)的運(yùn)算問題,體會(huì)弧度制的價(jià)值;利用弧度制下的扇形弧長(zhǎng)和面積公式,體會(huì)弧度制的優(yōu)越性.

      如何構(gòu)建弧度制是第二個(gè)教學(xué)問題. 我們將教育信息技術(shù)探究和公式推理論證相結(jié)合,讓學(xué)生在直觀感知的前提下,從特殊到一般地體會(huì)利用[lr]刻畫圓心角的大小的合理性,并類比角度制中1度角的概念自主建構(gòu)1弧度的概念,經(jīng)歷概念生成的過程,從而加深對(duì)概念的理解,突破難點(diǎn).

      2. 教學(xué)難點(diǎn)

      弧度制所反映的數(shù)學(xué)思想方法.

      四、教學(xué)支持條件分析

      本節(jié)課需要借助教育信息技術(shù)手段幫助學(xué)生深入理解弧度的概念,改變圓形和扇形的半徑,體會(huì)利用弧長(zhǎng)與半徑的比定義弧度的合理性,還需要利用計(jì)算器進(jìn)行弧度制與角度制的互化. 因此,本節(jié)課將采用作圖軟件和計(jì)算器作為教學(xué)支持條件.

      五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

      引導(dǎo)語(yǔ):上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了任意角的概念,將角的范圍從[0°]~[360°]擴(kuò)大到了任意角. 作為一個(gè)新的數(shù)學(xué)研究對(duì)象,我們有必要研究任意角的度量問題. 說到度量,生活中度量一個(gè)量有很多不同的單位制,為解決不同的問題帶來(lái)了方便. 例如,度量長(zhǎng)度可以用米、千米、英尺、碼等單位. 你還能舉個(gè)例子嗎?

      師生活動(dòng):學(xué)生舉例交流. 例如,度量溫度可以用攝氏度、華氏度、開爾文等單位;度量質(zhì)量可以用克、千克、噸、磅等單位.

      環(huán)節(jié)1:情境引入.

      深圳前海灣畔美麗的“灣區(qū)之光”摩天輪,目前已成為了粵港澳大灣區(qū)的新地標(biāo). 當(dāng)摩天輪不斷旋轉(zhuǎn)時(shí),轎廂會(huì)周而復(fù)始運(yùn)動(dòng). 我們用數(shù)學(xué)眼光來(lái)看待轎廂,可以將它抽象成一個(gè)點(diǎn).

      問題1:如圖1,轎廂從點(diǎn)P0運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P,點(diǎn)P的位置可以由哪些量確定?

      預(yù)設(shè):可以由半徑和圓心角決定;可以由半徑和弧[PP0]的長(zhǎng)度決定.

      追問1:點(diǎn)P的位置可由半徑、圓心角或弧長(zhǎng)確定,但是這些量的進(jìn)制不同,會(huì)給我們研究問題帶來(lái)不便,這個(gè)問題該怎么解決?

      追問2:我們學(xué)過的哪個(gè)公式體現(xiàn)了弧長(zhǎng)與圓心角之間的關(guān)系?

      師生活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)確定點(diǎn)的位置時(shí)角(六十進(jìn)制)與弧長(zhǎng)(十進(jìn)制)的進(jìn)制不同會(huì)給解決問題帶來(lái)不便,引出要用十進(jìn)制的實(shí)數(shù)來(lái)表示角的大小,并回顧扇形弧長(zhǎng)公式[l=nπr180.]

      【設(shè)計(jì)意圖】本情境基于大單元教學(xué)的理念,與借助三角函數(shù)來(lái)刻畫周期現(xiàn)象的單元教學(xué)目標(biāo)相呼應(yīng). 圓周運(yùn)動(dòng)是典型的周期性變化現(xiàn)象,而摩天輪上的點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)又不失一般性,這個(gè)過程可以理解為一個(gè)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的過程. 同時(shí),由弧長(zhǎng)與圓心角的進(jìn)制不同產(chǎn)生認(rèn)知上的矛盾,讓學(xué)生體會(huì)引入新的單位制來(lái)表示角的必要性,從而自然引出本節(jié)課的探究問題——如何用十進(jìn)制的實(shí)數(shù)來(lái)表示角的大小.

      環(huán)節(jié)2:合作探究.

      探究:如何用十進(jìn)制的實(shí)數(shù)來(lái)表示角的大???

      問題2:根據(jù)扇形弧長(zhǎng)公式[l=nπr180,] 發(fā)現(xiàn)角的大小與什么量有關(guān)?

      追問1:只確定半徑能確定角的大小嗎?只確定弧長(zhǎng)呢?

      師生活動(dòng):學(xué)生觀察扇形弧長(zhǎng)公式,并發(fā)現(xiàn)角的大小與弧長(zhǎng)和半徑有關(guān),但是只確定半徑或者弧長(zhǎng)都不能確定角的大小,教師引導(dǎo)學(xué)生思考要尋找弧長(zhǎng)與半徑之間的關(guān)系.

      追問2:當(dāng)角的大小確定時(shí),改變扇形的半徑,觀察實(shí)驗(yàn)規(guī)律.

      師生活動(dòng):教師借助GeoGebra軟件演示弧長(zhǎng)隨著半徑變化的過程,學(xué)生觀察、探究、歸納.

      觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果:當(dāng)角[α]的大小確定時(shí),[lr]也是確定的.

      追問3:能推理論證你觀察到的規(guī)律嗎?

      師生活動(dòng):學(xué)生利用扇形弧長(zhǎng)公式的變式[lr=nπ180]推理論證——[lr]隨著[α]的確定而唯一確定.

      【設(shè)計(jì)意圖】從學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)出發(fā),利用扇形的弧長(zhǎng)公式引發(fā)學(xué)生對(duì)弧長(zhǎng)與半徑關(guān)系的思考,借助GeoGebra軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)探究實(shí)驗(yàn)后再進(jìn)行推理論證,讓學(xué)生經(jīng)歷完整的“猜想—證明”的探究過程,滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.

      環(huán)節(jié)3:生成概念.

      在定義一種度量制度時(shí),必須先對(duì)1個(gè)單位進(jìn)行規(guī)定,然后再用它去度量其他的量. 例如,度量長(zhǎng)度時(shí),1個(gè)單位就是1米;角度制下,1個(gè)單位就是1度角.

      問題3:角度制下,1個(gè)單位是1度角,它的大小是怎么規(guī)定的?

      追問1:能否類比角度制,利用比值[lr]來(lái)定義新的“1個(gè)單位”?

      師生活動(dòng):小組討論交流并展示,教師點(diǎn)評(píng).

      預(yù)設(shè)生成如下.

      生1:類比角度制,我們組定義[lr=π]時(shí)的角是新的“1個(gè)單位”角.

      生2:類比角度制,我們組定義[lr=1]時(shí)的角是新的“1個(gè)單位”角.

      ……

      師:其實(shí)只要角能由比值唯一確定,這些規(guī)定都是合理的,同學(xué)們更喜歡哪一種定義?為什么?

      生:更喜歡第二種,因?yàn)楸容^簡(jiǎn)潔.

      師:好,出于簡(jiǎn)潔性我們選擇第二種定義,那么當(dāng)[lr=1]時(shí),這個(gè)新的“1個(gè)單位”角是唯一確定的嗎?試回答追問2.

      追問2:你定義的“1個(gè)單位”與圓的大小有關(guān)嗎?是唯一確定的角嗎?試著用角度來(lái)表示你定義的“1個(gè)單位”角.

      師生活動(dòng):學(xué)生在教師的引導(dǎo)下小組討論回答問題并展示方案,比較不同的定義方案,得到相對(duì)比較合適的“1個(gè)單位”角的定義——取[lr=1.] 新的“1個(gè)單位”角與圓的大小無(wú)關(guān),當(dāng)[lr=1,] 即[nπ180=1]時(shí),定義的單位角是唯一確定的,而且該角在角度制下可表示為[n°°°=180π°°]≈57.3°,此時(shí)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)與半徑剛好相等.

      【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生經(jīng)歷概念的自主建構(gòu),體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的過程,并在追問2中讓學(xué)生體會(huì)定義“1個(gè)單位”角的合理性,即1弧度角的大小由[lr=1]唯一確定.

      定義:長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做[1]弧度(radian)的角,記作1 rad,讀作1弧度. 我們把這種用弧度作為單位來(lái)度量角的單位制稱為弧度制.

      既然角的大小與半徑無(wú)關(guān),為了方便,我們可以直觀地取成單位圓(半徑為[1]的圓)來(lái)表示,在單位圓[O]中,弧[AB]的長(zhǎng)等于[1],[∠AOB]就是[1]弧度的角.簡(jiǎn)記為[1rad],讀作1弧度.

      師生活動(dòng):教師用希沃?jǐn)?shù)學(xué)畫板演示1弧度角的生成動(dòng)畫,并追問如何作出[2 rad,-0.5 rad,2π rad]等弧度制下的角,學(xué)生思考并回答.

      追問3:如何用弧度制來(lái)表示任意角?

      師生活動(dòng):學(xué)生利用定義,結(jié)合用希沃?jǐn)?shù)學(xué)畫板探究的過程,從特殊角推廣到任意角,考慮到任意角[α]終邊的旋轉(zhuǎn)方向,得到定量表示:[α=lr.]

      【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體驗(yàn)單位定義的過程——定義一種新的單位制,往往先定義1個(gè)單位,然后再以它為標(biāo)準(zhǔn)去表示其他的量,從而得到弧度角的絕對(duì)值公式.

      師生活動(dòng):教師播放介紹弧度制曲折發(fā)展歷程及應(yīng)用價(jià)值的小視頻(時(shí)長(zhǎng)[1]分[30]秒),學(xué)生觀看. 教師板書定義和公式,并在視頻播放后補(bǔ)充:隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不斷深入,同學(xué)們對(duì)弧度制的價(jià)值能體會(huì)更深.

      【設(shè)計(jì)意圖】利用數(shù)學(xué)史料讓學(xué)生更全面、深入地了解弧度制的概念,感受數(shù)學(xué)知識(shí)曲折的發(fā)展歷程,體會(huì)其中蘊(yùn)涵的人文精神,激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的動(dòng)力.

      環(huán)節(jié)4:概念深化.

      問題4:對(duì)于一個(gè)角的大小,我們已經(jīng)有了兩種角的度量制,對(duì)此你能想到什么?你還想研究什么問題?

      預(yù)設(shè):度量同一種對(duì)象的兩種度量制,它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系,我想研究弧度制的價(jià)值,以及弧度制與角度制之間的聯(lián)系和區(qū)別……

      追問:你認(rèn)為聯(lián)系兩種度量制的橋梁是什么?

      師生活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生從最熟悉的周角或平角出發(fā),用角度制和弧度制分別表示,從而建立聯(lián)系. 利用[180°=π rad],接下來(lái)只要單位化就可以得出換算公式了.

      [180°=π rad?1°°=π180 rad≈0.017 45 rad,1rad=180π°°≈57.3°°=57°°18.]

      【設(shè)計(jì)意圖】通過問題4提醒學(xué)生研究問題是怎么發(fā)現(xiàn)的,從不同角度去刻畫同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象,所得到的結(jié)論之間一定存在內(nèi)在聯(lián)系,發(fā)現(xiàn)這種聯(lián)系是數(shù)學(xué)研究的一個(gè)基本任務(wù). 關(guān)于換算公式的探究,關(guān)鍵是找到聯(lián)系兩種度量制的“橋梁”. 讓學(xué)生提出想研究的問題,促使學(xué)生開展主動(dòng)學(xué)習(xí),在落實(shí)“四基”的過程中,培養(yǎng)學(xué)生一般觀念下對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的研究路徑的思考,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

      環(huán)節(jié)5:學(xué)以致用.

      例1? 按照下列要求,把[67°30]化成弧度.

      (1)精確值;

      (2)精確到[0.001]的近似值.

      師生活動(dòng):教師帶領(lǐng)學(xué)生一起思考,提醒學(xué)生換算的關(guān)鍵是利用[180°=][πrad],教師板演. 對(duì)于第(2)問,教師演示利用windows自帶的計(jì)算器“(角)度”化“弧度”計(jì)算功能求近似值,如圖2所示.

      預(yù)設(shè)答案:(1)因?yàn)閇67°30=1352°,]

      所以[67°30=1352×π180 rad=3π8 rad.]

      (2)[67°30≈1.178 rad.]

      【設(shè)計(jì)意圖】熟悉角度化弧度,學(xué)會(huì)借助計(jì)算工具來(lái)計(jì)算.

      例2? 將[3.14 rad]換算成角度(用度數(shù)表示,精確到[0.001.])

      師生活動(dòng):如圖3,教師演示計(jì)算器中“弧度”化“(角)度”功能的用法,學(xué)生讀出近似值. 得出[3.14 rad≈179.909°,]可以簡(jiǎn)寫為[3.14≈179.909°.°] 教師說明:今后用弧度制表示角時(shí),“弧度”二字或“[rad]”通常省略不寫,而只寫該角所

      對(duì)應(yīng)的弧度數(shù). 例如,[α=2]表示[2]弧度的角;[sinπ6]表示[π6 rad]角的正弦值.

      【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生熟悉弧度化角度,教師在此向?qū)W生說明單位可以省略的寫法.

      當(dāng)堂檢測(cè)1:填寫下列特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表.

      師生活動(dòng):一名學(xué)生在黑板上填寫,其余學(xué)生填在教材上. 利用[180°=π,] 師生共同批改和糾錯(cuò).

      師:關(guān)于角度和弧度的換算,你找到竅門了嗎?

      關(guān)鍵:[180°=π].

      師:這種等量關(guān)系能體現(xiàn)任意角的集合與實(shí)數(shù)集之間怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系?

      師生活動(dòng):學(xué)生在教師引導(dǎo)下尋找一一對(duì)應(yīng)關(guān)系:如圖4,正角的弧度數(shù)是正數(shù),零角的弧度數(shù)是0,負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù);反之也成立.

      師:有了這樣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,它就能解決一些在以前看起來(lái)沒有意義的問題. 例如,角度制下[30°]與[sin30°]相加無(wú)意義,而弧度制下[π6]和[sinπ6=12]可以進(jìn)行實(shí)數(shù)加法,是不是非常地神奇呢?實(shí)數(shù)是一種絕佳的度量工具,弧度制作為一種新的度量工具,使得這些量在實(shí)數(shù)意義下變得可測(cè)量、可比較、可運(yùn)算,為我們打開了一扇通往新世界的大門!

      【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)角度與弧度互化的本質(zhì)進(jìn)行過程性總結(jié),體會(huì)角的集合與實(shí)數(shù)集之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,為下節(jié)課學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)做鋪墊. 有了弧度制后能解決一些原來(lái)沒有意義的問題,打開學(xué)生的視野,對(duì)學(xué)生的思維提出了挑戰(zhàn),讓學(xué)生感受新的單位制創(chuàng)立過程中的創(chuàng)新精神.

      當(dāng)堂檢測(cè)2:利用弧度制證明下列關(guān)于扇形的公式.

      (1)[l=αR;](2)[S=12αR2;](3)[S=12lR.]

      其中[R]是圓的半徑,[α 0<α<2π]為圓心角,[l]是扇形的弧長(zhǎng),[S]是扇形的面積.

      師生活動(dòng):學(xué)生自主完成證明,體會(huì)弧度制下的扇形公式比角度制下簡(jiǎn)潔. 教師借助希沃白板手機(jī)端的工作臺(tái)拍照將具有代表性的學(xué)生解答上傳至大屏幕,師生共同糾錯(cuò)和點(diǎn)評(píng).

      【設(shè)計(jì)意圖】在角度制下,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了扇形的弧長(zhǎng)和面積公式,讓學(xué)生在弧度制下證明以上三個(gè)公式,關(guān)鍵是將角度轉(zhuǎn)化為弧度,從而簡(jiǎn)化角度制下的扇形公式,通過對(duì)比讓學(xué)生體會(huì)弧度制的引入在簡(jiǎn)化三角公式方面的價(jià)值.

      環(huán)節(jié)6:總結(jié)提升.

      問題5:(1)回顧本節(jié)課的研究過程,我們是怎樣開展對(duì)弧度制的研究的?

      (2)我們是根據(jù)什么思路展開對(duì)一種度量單位的制定的?

      (3)你認(rèn)為利用弧度制我們可以解決怎樣的問題?

      師生活動(dòng):學(xué)生自主回顧、歸納和總結(jié)(可小組交流),教師適時(shí)點(diǎn)撥和提煉觀點(diǎn).

      【設(shè)計(jì)意圖】前兩個(gè)問題意在促進(jìn)學(xué)生梳理本節(jié)課的研究問題和研究思路,讓學(xué)生不僅掌握知識(shí)和技能,還學(xué)會(huì)一種新的單位制的研究路徑:度量需要—尋找標(biāo)準(zhǔn)—制定單位—定量表示—單位換算,豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),完善知識(shí)體系. 第三個(gè)問題意在引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)弧度制作為一種新的度量工具,為我們打開了一扇通往新世界(三角函數(shù))的大門,能夠解決一些我們從前解決不了的問題,讓學(xué)生充分體會(huì)引入弧度制的必要性和價(jià)值. 并且教會(huì)學(xué)生用一種新的數(shù)學(xué)眼光來(lái)看世界,用新的語(yǔ)言工具來(lái)表達(dá)世界,用新的思維來(lái)思考世界,讓學(xué)生對(duì)下節(jié)課三角函數(shù)的學(xué)習(xí)提前作出思考,且充滿期待.

      環(huán)節(jié)7:目標(biāo)檢測(cè).

      檢測(cè)1:把下列角度化成弧度.

      (1)22°30′;(2)-210°;(3)1 200°.

      檢測(cè)2:把下列弧度化成角度.

      (1)[π12;](2)[-4π3;](3)[3π10.]

      【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生對(duì)弧度與角度互化知識(shí)的掌握情況.

      檢測(cè)3:用弧度表示:(1)終邊在[x]軸上的角的集合;(2)終邊在[y]軸上的角的集合.

      【設(shè)計(jì)意圖】此題在任意角中已考查過,在弧度制下繼續(xù)考查,讓學(xué)生學(xué)會(huì)用弧度制表示任意角,并且注意不同單位制不能混用.

      檢測(cè)4:已知半徑為120 mm的圓上,有一條弧的長(zhǎng)是144 mm,求該弧所對(duì)的圓心角(正角)的弧度數(shù).

      【設(shè)計(jì)意圖】考查弧度的概念,以及對(duì)弧度制下弧長(zhǎng)公式的掌握情況.

      檢測(cè)5:已知扇形的周長(zhǎng)為40 cm,求此扇形面積的最大值.

      【設(shè)計(jì)意圖】考查與扇形公式有關(guān)的綜合問題.

      知識(shí)拓展: 弧度制與最重要的無(wú)理數(shù)[π]有著極密切的關(guān)系,任意圓周長(zhǎng)與直徑之比都等于[π,]它具有傳奇色彩和浪漫的詩(shī)意,對(duì)它的研究推動(dòng)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展. 請(qǐng)大家查閱數(shù)學(xué)史,感受[π]的無(wú)窮魅力和巨大威力,了解更多關(guān)于弧度制思想的發(fā)展歷史和應(yīng)用,或者了解一些其他的角的度量制及它們的應(yīng)用.

      六、板書設(shè)計(jì)

      本節(jié)課的整體板書設(shè)計(jì)如圖5所示.

      七、教學(xué)評(píng)價(jià)及反思

      1. 教學(xué)評(píng)價(jià)

      評(píng)價(jià)是課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié),教師可以基于對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià),反思教學(xué)過程,總結(jié)經(jīng)驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)問題,進(jìn)而提出改進(jìn)思路.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn))》指出,教學(xué)評(píng)價(jià)要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)技能的掌握,還要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、方法和習(xí)慣,更要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的達(dá)成. 概念課的評(píng)價(jià)原則:一是重視學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成;二是重視評(píng)價(jià)的整體性與階段性;三是重視過程評(píng)價(jià);四是關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度. 筆者認(rèn)為,好的探究性問題和課堂的階段性小結(jié)就是對(duì)學(xué)生思維的一種很好的過程性評(píng)價(jià). 本節(jié)課中有相當(dāng)數(shù)量的開放性問題,給學(xué)生提供了思維空間和表達(dá)交流的機(jī)會(huì). 每個(gè)開放性問題,教師都可以通過學(xué)生的回答、展示和交流,在學(xué)習(xí)的過程中不斷推動(dòng)學(xué)生對(duì)知識(shí)間的結(jié)構(gòu)和聯(lián)系做出自己的思考,并且從學(xué)生的反饋中對(duì)他們是否已經(jīng)掌握知識(shí)及其脈絡(luò)、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是否有所提升做出過程性評(píng)價(jià). 當(dāng)然,評(píng)價(jià)方式除了傳統(tǒng)的習(xí)題書寫測(cè)驗(yàn)外,還可以采用課堂觀察、口頭檢測(cè)、開放式活動(dòng)中的表現(xiàn)、課內(nèi)外作業(yè)等評(píng)價(jià)方式.

      2. 教學(xué)反思

      無(wú)論是準(zhǔn)備這節(jié)課的過程還是上完這節(jié)課后,筆者都在思考,如何才能體現(xiàn)《標(biāo)準(zhǔn)》的理念,構(gòu)建高效的課堂,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理性思維,真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)?章建躍博士提出的理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解技術(shù)、理解教學(xué),筆者深以為然. 四個(gè)理解的水平是教師專業(yè)水平和育人能力的集中體現(xiàn),是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量和效益的決定性因素,也是有效提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的必備條件. 因此,筆者從四個(gè)理解上進(jìn)行鉆研,力求使數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落實(shí)在教學(xué)過程中.

      (1)理解數(shù)學(xué),明確課堂研究路徑.

      理解數(shù)學(xué),就是要把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì),特別是對(duì)內(nèi)容中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法要有深入理解,要對(duì)一些具有統(tǒng)攝性的“一般觀念(big idea)”有深入理解并能自覺應(yīng)用. 在本節(jié)課的設(shè)計(jì)中,在“一般觀念”的引領(lǐng)下,“弧度制”的學(xué)習(xí)屬于任意角概念研究路徑“背景—定義—度量—運(yùn)算—性質(zhì)”中的“任意角的度量”這一環(huán),從這個(gè)宏觀視角切入,讓學(xué)生感到弧度制的學(xué)習(xí)是自然、合理的. 弧度制以用實(shí)數(shù)度量角為目標(biāo),以建立一種度量制的基本原則和方法(度量需要—尋找標(biāo)準(zhǔn)—制定單位—定量表示—單位換算)為指導(dǎo)設(shè)計(jì)教學(xué)過程,解決了如何建立弧度制及角的度量制的內(nèi)在聯(lián)系等問題. 這節(jié)課弧度制的建構(gòu)過程是“背景(引入弧度制的必要性、如何定義是合理的)—定義—表示”,遵循了概念教學(xué)的一般套路,讓學(xué)生經(jīng)歷了完整的概念建構(gòu)的過程,并引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出本節(jié)的核心問題. 在“一般觀念”的引領(lǐng)下,整個(gè)課堂的生成自然流暢、水到渠成.

      (2)理解學(xué)生,立足學(xué)生思維發(fā)展.

      理解學(xué)生,就是要全面了解學(xué)生的思維規(guī)律,把握中學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn). 為了幫助學(xué)生提高思維品質(zhì),需要教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)采用符合學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的方式,從學(xué)生的角度出發(fā),立足他們的知識(shí)儲(chǔ)備,引發(fā)思考,探究數(shù)學(xué)知識(shí). 學(xué)生已經(jīng)有了一定的概念形成及角度制的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),并且在初中學(xué)習(xí)過扇形的弧長(zhǎng)公式,生活中也有較多的圓周運(yùn)動(dòng)體驗(yàn). 立足于這些基礎(chǔ),弧度制的學(xué)習(xí)應(yīng)該給學(xué)生設(shè)置合適的問題情境,從已有的公式出發(fā),給學(xué)生提供充分的類比探究和自主建構(gòu)概念的空間. 通過回顧初中已學(xué)的弧長(zhǎng)公式,發(fā)現(xiàn)弧長(zhǎng)與半徑的關(guān)系,并利用信息技術(shù)進(jìn)行觀察而后借助公式進(jìn)行推理論證,再用類比的方法對(duì)1弧度的角進(jìn)行定義,啟發(fā)學(xué)生思考兩種已學(xué)度量制的內(nèi)在聯(lián)系,符合學(xué)生從形象到抽象、從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律,有利于學(xué)生感受新、舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系. 這樣設(shè)計(jì),既培養(yǎng)了學(xué)生的理性思維,又引發(fā)了學(xué)生對(duì)新知的自主建構(gòu)過程,循序漸進(jìn),符合學(xué)生的邏輯思維.

      (3)理解技術(shù),為高效課堂助力.

      理解技術(shù),就是要懂得如何有效利用技術(shù)促進(jìn)學(xué)生的學(xué)和教師的教,將抽象內(nèi)容可視化,靜態(tài)內(nèi)容動(dòng)態(tài)化,借助技術(shù)改變課堂生態(tài),實(shí)現(xiàn)大面積個(gè)性化的教學(xué)和優(yōu)質(zhì)資源的共享. 這節(jié)課融入的信息技術(shù)手段,主要是為了解決以下幾個(gè)問題:① 在靜態(tài)的弧長(zhǎng)公式[l=nπr180]中變形得到[lr=nπ180,] 從而尋找度量角的十進(jìn)制實(shí)數(shù)有一定的難度,學(xué)生一般無(wú)法直接找到[lr]這個(gè)量,需要教師進(jìn)行適當(dāng)鋪墊. 使用信息技術(shù)可以動(dòng)態(tài)地表示角的終邊旋轉(zhuǎn)的過程及可改變半徑的扇形,因此有利于學(xué)生觀察角、半徑及弧長(zhǎng)的大小變化. 利用GeoGebra軟件,從形的角度可以直觀看出角的大小確定時(shí),弧長(zhǎng)與半徑的比值是不變的,學(xué)生再?gòu)臄?shù)的角度根據(jù)弧長(zhǎng)公式去推理證明方向就明確多了——信息技術(shù)的融合滲透了數(shù)形結(jié)合的思想,也培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng). ② 1弧度角無(wú)法尺規(guī)作圖. 為了讓學(xué)生感知1弧度角的大小和定義,利用希沃?jǐn)?shù)學(xué)畫板動(dòng)態(tài)展示它的形成過程(將長(zhǎng)度為1的半徑彎曲形成弧長(zhǎng)),加深了學(xué)生對(duì)概念的直觀感知. ③ 一些非特殊角不方便進(jìn)行角度與弧度互化的運(yùn)算,需要借助計(jì)算器. ④ 如何將靜態(tài)的數(shù)學(xué)文化的知識(shí)更生動(dòng)活潑地融入課堂. 本節(jié)課采用了將數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容錄制成微課小視頻的方式傳遞給學(xué)生,調(diào)動(dòng)學(xué)生的多個(gè)感官,使其經(jīng)歷弧度制演變的歷史過程,了解其本質(zhì),并加以適當(dāng)應(yīng)用,能幫助學(xué)生更好地理解弧度制及其優(yōu)勢(shì). 在增加趣味性的同時(shí),作為課堂內(nèi)容的一種擴(kuò)展和補(bǔ)充,讓學(xué)生更深刻地感受到弧度制概念產(chǎn)生的曲折歷程,激發(fā)學(xué)生的研究動(dòng)力和科研精神.

      (4)理解教學(xué),以問題串引領(lǐng)課堂.

      理解教學(xué),就是要把握教學(xué)的基本規(guī)律,按教學(xué)規(guī)律辦事. 章建躍博士提出,教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵詞是“情境—問題—活動(dòng)—結(jié)果”,在教學(xué)過程中幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想,掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,將抽象的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于理解的數(shù)學(xué)知識(shí). 為了讓學(xué)生感受弧度制與三角函數(shù)大單元的聯(lián)系,本節(jié)課采用“灣區(qū)之光”摩天輪上的點(diǎn)周而復(fù)始運(yùn)動(dòng)的生活情境,提出“問題[1]:轎廂從點(diǎn)P0運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P,點(diǎn)P的位置可以由哪些量確定?”便于學(xué)生從中觀察和抽象出圓或扇形的弧長(zhǎng)、半徑與圓心角之間的關(guān)系,從而自然產(chǎn)生采用十進(jìn)制的實(shí)數(shù)來(lái)度量角的需要;提出“問題2:根據(jù)扇形弧長(zhǎng)公式[l=nπr180,] 發(fā)現(xiàn)角的大小與什么量有關(guān)?”促使學(xué)生從變量的角度來(lái)觀察已學(xué)公式,體驗(yàn)探究和歸納活動(dòng),尋找變化過程中的不變性,滲透從特殊到一般的思想方法;提出“問題[3]:角度制下,1個(gè)單位是1度角,它的大小是怎么規(guī)定的?”引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比學(xué)習(xí)活動(dòng),自主構(gòu)建1弧度的概念;提出“問題4:對(duì)于一個(gè)角的大小,我們已經(jīng)有了兩種角的度量制,對(duì)此你能想到什么?你還想研究什么問題?”推動(dòng)了學(xué)生尋找知識(shí)之間內(nèi)在聯(lián)系的思維活動(dòng),給學(xué)生提供了自主發(fā)現(xiàn)和研究問題的空間;問題5的三個(gè)問題則是對(duì)整堂課的回顧,推進(jìn)學(xué)生歸納、總結(jié)的思維活動(dòng),建構(gòu)和完善自身的知識(shí)體系,關(guān)注研究對(duì)象和研究路徑,理清整個(gè)知識(shí)的來(lái)龍去脈. 用五個(gè)關(guān)鍵問題形成的問題串來(lái)推進(jìn)學(xué)生主動(dòng)思考,讓學(xué)生根據(jù)問題解決的需要進(jìn)行觀察、思考、探究、歸納等活動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)內(nèi)容展開過程中注重類比、歸納、特殊化、一般化等邏輯方法的使用,促使學(xué)生開展主動(dòng)學(xué)習(xí),以激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維,在落實(shí)“四基”的同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng).

      參考文獻(xiàn):

      [1]教育部考試中心編寫. 中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系[M]. 北京:人民教育出版社,2020.

      [2]劉燁燁.“弧度制”教學(xué)設(shè)計(jì)[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育(高中版),2021(4):24-28.

      [3]高敏. 課例:弧度制[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬),2015(4):16-18.

      [4]中華人民共和國(guó)教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)[M]. 北京:人民教育出版社,2020.

      [5]章建躍. 核心素養(yǎng)導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)教材變革(續(xù)1):《普通高中教科書·數(shù)學(xué)(人教A版)》的研究與編寫[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬),2019(7):6-11.

      [6]彭思維,汪曉勤. 英美早期三角學(xué)教科書中的弧度制[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué),2020(11):1-6.

      2723501705343

      猜你喜歡
      問題串思維發(fā)展
      數(shù)學(xué)教學(xué)中促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展研究
      成才之路(2017年3期)2017-01-20 21:41:52
      在讀說教學(xué)中提高學(xué)生思維發(fā)展
      考試周刊(2017年2期)2017-01-19 15:11:41
      初中英語(yǔ)閱讀活動(dòng)的分析與重構(gòu)
      精心設(shè)計(jì)問題串 提高復(fù)習(xí)有效性
      重視聽心算訓(xùn)練,促進(jìn)思維發(fā)展
      以問題串為主線、以概念圖為依托的課堂教學(xué)
      探究小學(xué)品德課與學(xué)生思維發(fā)展的有效結(jié)合
      考試周刊(2016年81期)2016-10-24 11:43:14
      精心設(shè)計(jì)“問題串”,提升高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率
      任務(wù)驅(qū)動(dòng) 自主導(dǎo)學(xué) 圖文轉(zhuǎn)換 高效課堂
      新課標(biāo)下的語(yǔ)文有效教學(xué)研究
      成才之路(2016年11期)2016-05-10 18:49:14
      伽师县| 仪陇县| 陆丰市| 乐至县| 临江市| 依安县| 耿马| 海林市| 曲靖市| 林口县| 东丽区| 阿克| 巴林左旗| 南澳县| 依安县| 泰宁县| 隆回县| 临澧县| 囊谦县| 永德县| 太仓市| 历史| 平和县| 蛟河市| 综艺| 山丹县| 射洪县| 栖霞市| 阿鲁科尔沁旗| 康保县| 舞阳县| 元朗区| 合江县| 许昌县| 额尔古纳市| 黄大仙区| 泽库县| 岐山县| 天峨县| 陆丰市| 蒙阴县|