關(guān)注解題過程探究解題策略

丁素琴

[摘 ?要] 解題能力在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位是不言而喻的，若要提升學(xué)生的解題能力需具備良好的審題習(xí)慣、自學(xué)習(xí)慣和獨(dú)立思考習(xí)慣. 教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注解題過程，通過探究解決思路和解題方法形成解題策略，加以有效的變式訓(xùn)練逐漸提升解題能力.

[關(guān)鍵詞] 解題能力;審題習(xí)慣;解題策略

隨著新課改的深入，中考題目也發(fā)生了日新月異的變化，尤其中考壓軸題更加關(guān)注對學(xué)生的綜合知識應(yīng)用能力的考查. 為了提升壓軸題的解題效率，教學(xué)中常試圖借助于“難題”“新題”的強(qiáng)化來培養(yǎng)學(xué)生的解題思路，克服學(xué)生的畏難情緒. 然教學(xué)效果卻不盡如人意，大部分學(xué)生解題時僅局限于機(jī)械模仿，題目略有變化就束手無策，未形成解題能力. 那么，如何才能有效提升解題能力呢？筆者結(jié)合一道探究題，談?wù)剮c(diǎn)對解題能力培養(yǎng)的認(rèn)識，以期共鑒.

認(rèn)真審題，加深理解

審題是解題的關(guān)鍵，只有認(rèn)真審題才能從已知中尋找問題的來龍去脈，進(jìn)而應(yīng)用已有認(rèn)知順利解題;同時，只有認(rèn)真審題才能發(fā)現(xiàn)隱藏的條件，通過條件與結(jié)論的邏輯關(guān)系找到解決問題的蛛絲馬跡，進(jìn)而選擇合適的解題方法解決問題.

審題在解題中的價值是不言而喻的，然學(xué)生在考試時因?qū)忣}不清而造成的錯誤卻屢見不鮮，那么，教學(xué)中應(yīng)如何引導(dǎo)學(xué)生審題，培養(yǎng)其良好的審題習(xí)慣呢？

首先要認(rèn)真讀題. 雖然教學(xué)中一直強(qiáng)調(diào)在審題時要認(rèn)真讀、反復(fù)讀，通過讀題提取有效的信息，尋找解題方向，然部分學(xué)生在讀題時往往走馬觀花，粗略讀一遍就開始動手解題，這樣容易造成因讀題不清而思考不周，從而使解題思路和解題步驟偏離主題，最終造成錯誤.

其次要學(xué)會理解. 讀是理解的前提，理解是解題的保障. 在認(rèn)真讀題后，學(xué)生需要將題目中的關(guān)鍵詞、已知條件及結(jié)論等相關(guān)信息進(jìn)行有效提煉，接下來運(yùn)用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行有效分析，進(jìn)而弄懂已知與未知的聯(lián)系，通過調(diào)取已有認(rèn)知進(jìn)行有效的知識遷移，從而找到解決問題的思路.

最后要善于動手操作. 為了提升審題和理解的深度，審題時往往還需要借助于動手操作. 動手操作在解決圖像問題時應(yīng)用得最為廣泛，通過數(shù)形結(jié)合使復(fù)雜的問題簡單化，使抽象的問題直觀化，使解決問題變得更加得心應(yīng)手.

審題能力的培養(yǎng)需要持之以恒地訓(xùn)練，尤其是日常訓(xùn)練尤為重要，只有養(yǎng)成好的審題習(xí)慣，才能有效避免因?qū)忣}不清而造成的錯誤失分，從而整體上提升成績.

探究解題過程，內(nèi)化數(shù)學(xué)思想

中考壓軸題大多是綜合性題目，主要源于教材，通過對課本知識進(jìn)行一定的變式、遷移、發(fā)散而轉(zhuǎn)化成新穎別致的綜合題，其主要考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識應(yīng)用能力和知識遷移能力，在解題過程中還會滲透數(shù)學(xué)思想，如數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想等. 在解題教學(xué)中要讓學(xué)生通過探究回歸教材，通過探究內(nèi)化數(shù)學(xué)思想，通過不斷地總結(jié)、運(yùn)用、反思，形成解題思路和解題方法，從而使知識的運(yùn)用可以融會貫通.

例題 ?如圖1所示，已知拋物線y= -x2+bx+c與y軸相交于點(diǎn)C，與x軸相交于點(diǎn)A（-4，0），B（1，0）.

（1）求拋物線的解析式;

（2）已知點(diǎn)P為拋物線上的一點(diǎn)，連接PC，PB，使△PBC成為以BC為直角邊的Rt△PBC，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

（3）已知點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)F在拋物線上，若連接BC，EF，是否可以構(gòu)成一個平行四邊形？若可以，請寫出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不可以，請說明理由.

解析 ?對于第（1）題，可以直接將A（-4，0），B（1，0）代入y=-x2+bx+c，也可以直接用交點(diǎn)式y(tǒng)=-（x+4）（x-1）轉(zhuǎn)化為一般式，得y=-x2-x+2.

對于第（2）題，由已知條件可以求出直線BC的斜率為-2. 因BC邊為直角邊，由此可知與BC垂直的直線的斜率為. 然因Rt△PBC未指明直角邊的頂點(diǎn)，所以在解題時需要分類討論：若B為直角邊的頂點(diǎn)，設(shè)BP的解析式為y=x+b，將點(diǎn)B的坐標(biāo)（1，0）代入上式，即可求出直線BP的解析式. 直線BP的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立后可求得點(diǎn)P的坐標(biāo). 同理，若C為直角邊的頂點(diǎn)，求解過程相同.

對于第（3）題，B，C為四邊形的兩定點(diǎn)，BC在四邊形中可以充當(dāng)兩個角色：一個角色是邊，一個角色是對角線. 因此，在解決問題時也需要分類討論：①假如存在這樣的平行四邊形，連接BC，以BC為邊. 因?yàn)镋F為BC對邊，所以BC∥EF，通過平移EF可得三個符合條件的線段，如圖2所示. 圖形畫出后，問題也就迎刃而解了. ②以BC為對角線，則BE在x軸上，且點(diǎn)E只可能在點(diǎn)B的右側(cè). 因?yàn)镃F是BE的對邊，所以CF∥BE，即CF平行于x軸. 所以過點(diǎn)C作x軸的平行線，與拋物線相交于點(diǎn)F，再作BE，使得BE=CF，從而得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，如圖3所示.

本題為綜合題目，第（1）題和第（2）題是常規(guī)的基礎(chǔ)題，只要認(rèn)真審題并合理分析即可輕松解題. 第（3）題實(shí)則為一動點(diǎn)問題，部分學(xué)生在做動點(diǎn)問題時不會分析，抓不住關(guān)鍵點(diǎn)，致使常常感到束手無策. 第（3）題解答的關(guān)鍵是學(xué)生能否抓住“邊平行”這一點(diǎn)，利用分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想建構(gòu)圖形. 教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注過程，嘗試用不同方法解題. 比如第（1）題求解析式，既可以直接將交點(diǎn)坐標(biāo)代入方程求解，也可以利用交點(diǎn)式求解. 學(xué)生通過多解不僅可以找到最優(yōu)解決策略，而且也能發(fā)散思維. 可見，解題能力的培養(yǎng)，不是以順利解決問題為目的，而是讓學(xué)生在解決問題中有所收獲和感悟，最終形成解題能力.

教學(xué)反思 ?本題將分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用得淋漓盡致. 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想將點(diǎn)（形）轉(zhuǎn)化為數(shù)，進(jìn)而計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo);反過來，又利用數(shù)研究和建構(gòu)形（三角形、四邊形）. 通過數(shù)與形的結(jié)合，獲得了柳暗花明的求解效果. 第（2）題因頂點(diǎn)位置的不確定、第（3）題因BC邊位置的不確定都需要進(jìn)行分類討論，分類討論的應(yīng)用充分考查了學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性. 在整個求解過程中，方程與函數(shù)的結(jié)合也是一大亮點(diǎn)，同時在解題過程中，將解三角形的問題轉(zhuǎn)化為直線垂直問題，將直線垂直問題遷移至解析式的斜率問題，通過小坡度的問題將數(shù)學(xué)思想滲透于解題過程中，潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

變式訓(xùn)練，活學(xué)活用

在教學(xué)中為了實(shí)現(xiàn)鞏固知識、提高技能的目的，教師在日常訓(xùn)練時常根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況設(shè)計(jì)一些有針對性、啟發(fā)性的變式題目，以此來深化學(xué)生的思維. 同時，學(xué)生獲取知識的過程不能僅靠單一的講授，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生主動獲取知識，若教師在教學(xué)中一直使用舊題強(qiáng)化訓(xùn)練，不僅不能激起學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，而且容易造成思維定式. 因此，教學(xué)中要借助于巧妙的變化來激發(fā)學(xué)生的求知欲望，這樣有利于幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)解決問題的規(guī)律，從而提升解題能力.

為了加深學(xué)生對例題的解題方法的理解，引導(dǎo)學(xué)生多角度觀察、多方位思考，教師將例題進(jìn)行了以下改編，以期可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和多樣性，提高靈活運(yùn)用知識的能力.

變式1：連接AC，求證：∠CAO=∠BCO.

變式2：將Rt△PBC改為等腰三角形.

變式3：在拋物線上取一點(diǎn)M，作MN⊥x軸于N，若△AMN與△AOC相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

變式4：設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，拋物線的對稱軸與x軸相交于點(diǎn)E，作CF//x軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接DF，判斷以EF為直徑的圓與直線DF的位置關(guān)系.

變式5：在拋物線上任取一點(diǎn)D，使其位于x軸上方，作DE//x軸，交拋物線于點(diǎn)E，作DF⊥x軸于F，EG⊥x軸于G，若四邊形DEGF的周長取最大值，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

上面的變式題目是教師結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知，并根據(jù)例題相關(guān)的知識進(jìn)行的變形，其目的是通過變式訓(xùn)練鞏固知識和消除畏難情緒. 解答例題時主要以教師引導(dǎo)為主，變式后可以放手讓學(xué)生去探究，讓學(xué)生在探究中進(jìn)一步反思之前的求解過程，從而通過探究找到解決問題的規(guī)律，方便學(xué)生總結(jié)歸納，最終形成解決問題的通法. 以此，借助于變式不僅能讓學(xué)生養(yǎng)成總結(jié)的習(xí)慣，而且有利于學(xué)生自主學(xué)習(xí)，養(yǎng)成獨(dú)立思考的習(xí)慣，有利于學(xué)生建構(gòu)和完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有利于提升學(xué)生的綜合學(xué)習(xí)能力.

總之，提升學(xué)生的解題能力離不開教材，離不開日常習(xí)慣的培養(yǎng)，離不開教師的悉心引導(dǎo). 教師在日常教學(xué)中要通過行之有效的訓(xùn)練和科學(xué)的引導(dǎo)，使學(xué)生會探究、會分析、會總結(jié)、會反思，從而提升學(xué)生的解題能力.

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