兩類立體幾何問題的解法剖析

謝梅林 謝志堅(jiān)

立體幾何問題的考查角度有很多種，如繪制三視圖、直觀圖，求空間幾何體的體積，判斷或證明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，求空間角的大小等.空間立體幾何問題一般對(duì)同學(xué)們的空間想象能力和抽象思維能力的要求較高.下面主要探討一下兩類立體幾何問題的解法.

一、證明直線、平面之間的平行關(guān)系

直線、平面之間的平行關(guān)系主要包括直線與平面平行、平面與平面平行兩種.證明線面平行一般需利用線面平行的判定定理或者面面平行性質(zhì)定理;證明面面平行一般需運(yùn)用面面平行的判斷定理.在證明線面、面面之間的平行關(guān)系時(shí)，往往需要根據(jù)相關(guān)的定理和性質(zhì)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出三角形的中位線、平行四邊形，以便由線線平行證得線面平行、面面平行.

例1.如圖1，已知 MA⊥平面ABCD，CN⊥平面ABCD，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD =60°，CN =1，AM =3.證明：BN//平面ADM.

分析：根據(jù)已知條件，我們很難在圖中找到與 BN 平行的直線，所以需根據(jù)面面平行的判斷定理和性質(zhì)定理來證明線面平行.由菱形的性質(zhì)可知 BC//AD，且根據(jù)已知條件可知 MA//NC，這樣便可根據(jù)兩個(gè)平面平行的判斷定理證明平面 BCN//平面ADM，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理證明 BN//平面ADM.

證 明 ：由 MA⊥平面ABCD，CN⊥平面ABCD 可 得MA//NC，

因?yàn)樗倪呅?ABCD 是菱形，所以 BC//AD，

又因?yàn)?AD，AM 在平面 ADM 內(nèi)，且 AD∩AM = A，BC∩CN = C，

所以平面 BCN//平面ADM，

又因?yàn)?BN?平面BCN，

所以 BN//平面ADM，即命題得證.

二、求空間角的大小

空間角主要包括直線與平面所成的角、異面直線所成的角、二面角.求空間角的大小，我們通常需根據(jù)直線與平面所成的角、異面直線所成的角、二面角的定義，或利用空間向量法來求解.在運(yùn)用向量法求空間角的大小時(shí)，需首先根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，然后求得各個(gè)點(diǎn)、直線、平面的坐標(biāo)，運(yùn)用空間向量的夾角公式和向量運(yùn)算法則求解.

例2.如圖2，已知四棱錐 P - ABCD 的底面是正方形 ，PA⊥平面ABCD，AE⊥PD . 若 AP = AB，求 二 面 角B - PC-D的余弦值.

證明：

我們根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)，以點(diǎn)A 為坐標(biāo)原點(diǎn)， AD、AB、AP分別為 x 、y 、z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求出兩個(gè)面的法向量，再根據(jù)向量的夾角公式求得二面角的大小.需要注意的是，兩個(gè)面的夾角不一定等于兩個(gè)平面的法向量的夾角，還有可能等于其補(bǔ)角.

由此可見，解答空間立體幾何問題，不僅要熟練掌握空間幾何中的基本公式、定義、性質(zhì)、定理，還需學(xué)會(huì)結(jié)合空間幾何圖形添加合適的輔助線、建立空間直角坐標(biāo)系，這樣才能順利求得問題的答案.

（作者單位：江西省贛州市南康區(qū)第三中學(xué)）