巧構(gòu)造，妙解不等式證明題

王亞軍

在學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常遇到不等式證明題.此類問(wèn)題涉及的知識(shí)面較廣，如函數(shù)、不等式、方程、三角函數(shù)、圓錐曲線、解三角形等.有些不等式證明題較為復(fù)雜，采用常規(guī)方法很難使問(wèn)題得解，需靈活運(yùn)用構(gòu)造法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程、復(fù)數(shù)、函數(shù)、三角形等問(wèn)題來(lái)求解，才能順利證明結(jié)論.下面結(jié)合實(shí)例，來(lái)談一談如何運(yùn)用構(gòu)造法證明不等式.

一、構(gòu)造方程

對(duì)于一些與變量相關(guān)的不等式問(wèn)題，我們可將其構(gòu)造成方程或者方程組，通過(guò)解方程或方程組來(lái)求得問(wèn)題的答案.對(duì)于二次不等式，可將其構(gòu)造成一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、判別式來(lái)建立關(guān)系式，求得問(wèn)題的答案.

例1.

證明：

我們將已知關(guān)系式變形，得到關(guān)于 ab 以及 a + b的式子，由此聯(lián)想到一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，于是構(gòu)造出一元二次方程，借助判別式建立關(guān)系式，從而證明結(jié)論.

二、構(gòu)造復(fù)數(shù)

在解答含有絕對(duì)值、三角式的不等式問(wèn)題時(shí)，我們可將問(wèn)題與復(fù)數(shù)關(guān)聯(lián)起來(lái)，構(gòu)造出合適的復(fù)數(shù)模型，如 z = x + yi ，通過(guò)復(fù)數(shù)運(yùn)算求得問(wèn)題的答案.構(gòu)造復(fù)數(shù)模型，通常需將x、y看作復(fù)平面上的點(diǎn) （x，y） .

例2.

證明：

我們由目標(biāo)不等式聯(lián)想到復(fù)數(shù) z =a +bi 的模z = ，于是構(gòu)造出兩個(gè)復(fù)數(shù) z1=a +bi，z2=c +di，通過(guò)復(fù)數(shù)運(yùn)算以及絕對(duì)值不等式的性質(zhì)證明結(jié)論.

三、構(gòu)造幾何圖形

在證明不等式時(shí)，我們可深入挖掘代數(shù)式背后的幾何意義，由此構(gòu)造出幾何圖形，通過(guò)分析幾何圖形的位置關(guān)系、性質(zhì)等建立關(guān)系式，證明不等式成立.

例3.已知a2+b2=c2，證明： an +bn <cnn ∈ N，n ≥3.

證明：設(shè)直角三角形 ABC 的三條邊長(zhǎng)a， b， c 所對(duì)應(yīng)的角分別是 A， B， C，其中角 C 為直角，

由正弦定理可得sinA =，cosA =，

且0< sinA <1，0< cosA <1，

所以 an +bn <cn 等價(jià)于 sinnA + sinnB &lt; sinnC，因?yàn)?n ∈ N， n ≥3，

根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可知： sinnA + cosnA < sin2A + cos2A =1，

所以 è（?） ?（?）n + è（?） ?（?）n <1，即 an +bn <cn .

綜上所述，不等式 an +bn <cn 成立.

該目標(biāo)式與勾股定理a2+b2=c2較為相似，于是構(gòu)造一個(gè)以c 為斜邊，a 、b 為直角邊的直角三角形，再利用正弦定理= = 和冪函數(shù)的單調(diào)性證明不等式成立.

在解答不等式證明題受阻時(shí)，我們要學(xué)會(huì)根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行聯(lián)想、構(gòu)造，將不等式與方程、復(fù)數(shù)、幾何圖形關(guān)聯(lián)起來(lái)，構(gòu)造出合適的數(shù)學(xué)模型，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程、復(fù)數(shù)、幾何問(wèn)題來(lái)求解.這樣不僅能轉(zhuǎn)換解題的思路，還能提升解題的效率.

（作者單位：甘肅省岷縣第二中學(xué)）