解答函數(shù)極值點(diǎn)偏移問題的兩種方法

李榮

函數(shù)極值點(diǎn)偏移問題是指函數(shù)在極值點(diǎn)附近偏移的問題.極值點(diǎn)偏移問題的一般形式是：已知函數(shù) f（x）的極值點(diǎn)為x0，兩相異實(shí)數(shù) x1、x2滿足 f（x1）=f（x2），求證：x1+x2>2x0、x1+x2<2x0、x1x2<x02、x1x2>x02等.函數(shù)極值點(diǎn)偏移問題具有較強(qiáng)的抽象性，一般難度較大.很多同學(xué)在解題時(shí)往往不知如何下手，找不到解題的思路.下面結(jié)合實(shí)例談一談求解極值點(diǎn)偏移問題的兩種方法，以供同學(xué)們參考.

一、構(gòu)造法

構(gòu)造法是解答函數(shù)極值點(diǎn)偏移問題的重要方法.由于函數(shù)極值點(diǎn)偏移問題一般含有兩個(gè)變量x1、x2，較難處理，所以最好的處理辦法是根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，再討論函數(shù)的單調(diào)性、最值等，從而使問題得解.

例1.設(shè)函數(shù) f（x）=ex -ax +a（a ∈ R），其圖象與 x 軸交于 A（x1，0），B（x2，0）兩點(diǎn)，且 x1<x2.（1）求 a 的取值范圍;（2）證明：f′（）<0.

解：（1）a >e2（過程略）;

（2）令 f′（x）=ex -a =0，可得極值點(diǎn) x0=lna，且 f（x）在（-∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，從而可得 x1<lna<x2.

設(shè)F（x）=f（lna +x）-f（lna -x），x >0，

則 F′（x）=a（ex +）-2a ≥0，

F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以 F（x）>F（0）=0，即 f（lna +x）>f（lna -x）x >0.

令 x =lna -x1>0，則 f（2lna -x1）>f（x1），又 f（x1）=f（x2），所以 f（2lna -x1）>f（x2），而x2，2lna -x1都位于 x0=lna 的右側(cè)，且 f（x）在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，

故x2<2lna -x1，即 e <a，

因此 e <a，即 f（）<0得證.

解答本題，需構(gòu)造函數(shù) F（x）=f（x0+x）-f（x0-x），并判斷在 x >0時(shí)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，以確定函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論.

二、比值代換法

比值代換法是一種十分有效的解題方法.比值代換法實(shí)質(zhì)上是運(yùn)用減元思想解題，即通過換元，將雙變量不等式中的x1、x2轉(zhuǎn)化為單變量t = x2，構(gòu)造出關(guān)于 t 的不等式或函數(shù)式，借助不等式的性質(zhì)或函數(shù)的單調(diào)性來證明結(jié)論.

例2.已知函數(shù) f（x）=lnx -kx 有2個(gè)零點(diǎn).（1）求 k 的取值范圍;（2）若 x1，x2是函數(shù)的2個(gè)零點(diǎn)，且 x1<x2，證明：x1x2>e2.

解：（1）0<k <（過程略）;

（2）由（1）知1<x1<e <x2，由題知 lnx1-kx1=lnx2-kx2=0，

則 lnx1+lnx2=k（x1+x2），lnx1-lnx2=k（x1-x2），要證 x1x2>e2，即證lnx1+lnx2>2，

也即k（x1+x2）>2，又 k = x1-x2，

只需證x1-x2>2，

x1x1

即證>2，令=t（0<t <1），即證 >2，

即證 lnt <2，設(shè)?（t）=lnt -（0<t <1），

則?′（t）= - = >0，

所以函數(shù)?（t）在（0，1）上遞增，

故?（t）<?（1）=0，即 x1x2>e2，命題得證.

我們根據(jù)題意可將x1x2>e2轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x2的不等式，于是設(shè)x2= t ，通過換元構(gòu)造關(guān)于t 的不等式，采用比值代換法求得問題的答案.

相比較而言，第一種方法比較常用，第二種方法的適用范圍較窄.在解題時(shí)，我們也可同時(shí)使用兩種方法來解題，這樣能有效地提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省射陽縣高級(jí)中學(xué)）