許科挺 毛孟杰

【摘 要】 在一個信息社會中，社會對人的素質(zhì)提出較高的要求，而較高素質(zhì)的培養(yǎng)，需要教師創(chuàng)導(dǎo)有利于學(xué)生主動的、積極的“深度學(xué)習(xí)”.文章通過對鄭瑄老師執(zhí)教的“神奇的黃金分割”新授課教學(xué)過程的分析，提出關(guān)于初中數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵、開展深度學(xué)習(xí)的途徑、深度學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)系的三點思考.

【關(guān)鍵詞】 問題驅(qū)動;深度學(xué)習(xí);課例研究

0 引言

信息爆炸、專業(yè)分工細(xì)化的時代，社會對人的素質(zhì)提出越來越高的要求，那種由被動的、孤立的、機械的“淺層學(xué)習(xí)”習(xí)得的零碎的知識，已經(jīng)不能滿足社會的需求.當(dāng)下普遍存在的缺乏“深度學(xué)習(xí)”嚴(yán)重制約學(xué)生后續(xù)非義務(wù)教育的學(xué)習(xí)，“深度學(xué)習(xí)”已然成為初中數(shù)學(xué)教育界關(guān)注的焦點.

我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有趣味性、挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與，獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程.它除了要求學(xué)生學(xué)會理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，關(guān)注數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，更多地注重應(yīng)用、分析、創(chuàng)造等高階思維活動.它的最終目標(biāo)指向是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[1].

開展數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)有很多途徑，其中，“問題驅(qū)動”是數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的一個重要途徑.“問題驅(qū)動”是以“問題”為載體，通過“發(fā)現(xiàn)問題”“提出問題”“分析問題”和“解決問題”的一系列教學(xué)過程讓學(xué)生深刻理解知識的本質(zhì)，走進學(xué)生的情感與思維深處，發(fā)展他們的核心素養(yǎng).本文是筆者對浙江省特級教師、正高級教師鄭瑄老師在寧波惠貞書院執(zhí)教的一節(jié)“神奇的黃金分割”新授課教學(xué)過程片段，進行個案分析，撰寫成文，供讀者研究.

1 教學(xué)片段1.1 創(chuàng)設(shè)情景，發(fā)現(xiàn)問題

教師：同學(xué)們，在初一我們學(xué)習(xí)了線段的中點.

如圖1，若P是線段AB的中點，則有APBP=1，

并且AP=BP=12AB，它體現(xiàn)出線段的均衡、對稱與和諧之美.那么，當(dāng)時怎么找線段的中點呢？

學(xué)生1：有對折法、測量法和尺規(guī)作圖法三種方法.

教師：很好，因為線段是對稱圖形，所以可用對折法找中點;由于線段可度量，所以可用測量法畫中點;也可用尺規(guī)通過作線段AB的中垂線作出它的中點.下面，我們自然會想：中點P把線段AB分割成兩條線段AP和BP，BPAP與APAB會不會相等？

學(xué)生2：BPAP=1，APAB=12，它們是不相等的.

教師：對，BPAP≠APAB，這說明中點在線段中并不是很完美的.那么，在線段上有沒有這樣一個特殊點P，使得BPAP=APAB呢？

評注 我們知道，教師要引出“黃金分割”“黃金分割點”和“黃金比”等新知識，應(yīng)該找出新知識的生長點，不能簡單地把新知識拋給學(xué)生，讓學(xué)生硬性地、機械地接受.

在本案例中，鄭老師以初一已學(xué)過的“線段中點”作為新知識的萌芽點，通過“線段中點”雖有在線段中的均衡、對稱與和諧之美，但比例不夠完美，讓學(xué)生自然而然去思考一個問題：在線段上有沒有這樣一個特殊點P，使得BPAP=APAB呢？.筆者認(rèn)為，鄭老師這種通過設(shè)置相關(guān)學(xué)習(xí)情景的深度學(xué)習(xí)，已經(jīng)不是表面的讓學(xué)生簡單的“算一算”“量一量”“猜一猜”等淺層的指令性的學(xué)習(xí).這種帶有挑戰(zhàn)性的問題情境的深度學(xué)習(xí)能讓學(xué)生主動地、興趣盎然地發(fā)現(xiàn)問題，它不但可以提高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣和好奇心，而且會讓學(xué)生養(yǎng)成運用數(shù)學(xué)的思維方式進行思考的習(xí)慣，而這種數(shù)學(xué)的思維方式無疑是學(xué)生形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)（抽象、推理、運算等）的基礎(chǔ)[2].

1.2 類比探究，提出問題

教師：如圖2，點P把線段AB分成兩條線段AP（較大）和PB（較?。笲PAP=APAB，那么稱AB被點P黃金分割，點P叫做線段AB的黃金分割點，線段AP與AB的比叫做黃金比.同學(xué)們，與學(xué)習(xí)“線段中點”相比，你們對今天的“黃金分割”會提出哪些感興趣的問題呢？

學(xué)生3：黃金比會等于多少？

學(xué)生4：怎樣找線段的黃金分割點呢？

學(xué)生5：黃金分割有什么應(yīng)用？

教師：很好，同學(xué)們提出一個又一個有價值的問題，說明我們已經(jīng)有問題意識、探究的能力，這往往比純粹解決問題重要的多.

評注

讓學(xué)生獨立地、多角度提出問題的深度學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生敏捷地、深刻地把握新知識的本質(zhì).事實上，讓學(xué)生獨立的、多角度的思考和提出深層次的問題比只習(xí)得新知識、新技能重要得多，因為那是在“授人以漁”，是在培養(yǎng)創(chuàng)新意識.

本案例中，鄭老師給出“黃金分割”的有關(guān)概念后，給學(xué)生留出思考的時間，讓學(xué)生針對“黃金分割”提出自己感興趣的問題，這樣設(shè)計，有利于提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析和解決問題的能力.然后讓學(xué)生圍繞著三個問題：“黃金比等于多少？”“如何找線段的黃金分割點”和“黃金分割有哪些應(yīng)用”，這與引入環(huán)節(jié)中的回顧線段中點的兩個問題“中點有哪些性質(zhì)”和“中點如何找”前后呼應(yīng).她如此精細(xì)的設(shè)計的根據(jù)是：“一個好的教學(xué)應(yīng)該遵循學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，教師要努力尋找學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，尋找新知識的生長點.”只有做到了這一些，才能驅(qū)動學(xué)生思維的齒輪，撥動學(xué)生心中的激昂琴弦.

1.3 合作交流，分析問題

問題1 如圖2，若BPAP=APAB，求APAB（或BPAP）的值.

學(xué)生各自思考、計算，然后把自己的做法與同桌進行討論、交流.過一段時間，相繼有4位學(xué)生板演.

學(xué)生6（方法1）：設(shè)AB=1，AP=x，則BP=1-x.于是，1-xx=x1，得到x2+x-1=0.解得，x1，2=-1±52.因為x﹥0，所以x=5-12，即APAB=5-12.

學(xué)生7（方法2）：設(shè)APAB=x，則AP=x·AB，BP=（1-x）AB.于是，（1-x）·ABx·AB=x·ABAB，即1-xx=x1…

學(xué)生8（方法3）：設(shè)AP=1，BP=y.于是，y1=1y+1，得到y(tǒng)2+y-1=0.解得y=5-12（負(fù)值舍去），所以APAB=BPAP=5-12.

學(xué)生9（方法4）：設(shè)AP=a，BP=b，則AB=a+b.于是，ba=aa+b，得到ba2+ba-1=0.解得ba=5-12（負(fù)值舍去），所以APAB=BPAP=5-12.

教師：很好，我們比較一下這四種方法的思路異同.

學(xué)生10：它們的基本思路都是用方程思想處理幾何問題;不同之處：（1）方法1把整條線段AB設(shè)為單位“1”，而方法3把線段AP設(shè)為單位“1”.（2）方法2是直接設(shè)未知數(shù)，另外三種方法則是間接設(shè)未知數(shù)，通過求線段比得出黃金比.

問題2 如何找線段的黃金分割點.

教師：對折一條線段能實現(xiàn)嗎？為什么？

學(xué)生11：不能，因為黃金比是5-12，而對折n次只能得到含有它的12n整數(shù)倍線段.

教師：能用測量法近似找到線段的黃金分割點嗎？如果能找到的話，這樣的點有幾個？

學(xué)生12：能，因為黃金比是5-12≈0.618，因此，如圖3，我只要用刻度尺在線段AB上量出AP=0.618·AB或BP′=0.618·AB即可，這樣的點有2個.

教師：能用尺規(guī)作出線段的黃金分割點嗎？

學(xué)生陷入沉思之中，很多學(xué)生處于惘然，略待片刻，教師緩緩提示：關(guān)鍵是作出5.學(xué)生陸續(xù)完成作圖，教師選擇2位同學(xué)呈現(xiàn)他們的作圖過程.

學(xué)生13：如圖4，作CB⊥AB于點B，使CB=2AB，

連結(jié)AC，截AD=AB，則CD=（5-1）AB，作CD的中垂線，

垂足為E，截AP=CE，則點P即為線段AB的黃金分割點.

學(xué)生14：如圖5，作CB⊥AB于點B，使CB=12AB，

連結(jié)AC，得AC=52AB.截CD=CB，則AD=5-12AB，

再截AP=AD，于是，點P即為線段AB的黃金分割點.

教師：很好！這兩位同學(xué)構(gòu)造直角三角形解決“黃金比”中的5.在圖5中，如果把用圓規(guī)截取CD=CB和AP=AD看作圖形的折疊，可得到2012年施恩州的一道中考題.

（2012年施恩）如圖6，用紙折出黃金分割點：裁一張正方形的紙片ABCD，先折出BC的中點E，再折出線段AE，然后通過折疊使EB落到線段EA上，折出點B的新位置B′，因而EB′=EB.類似地，在AB上折出點B″，使AB″=AB′.這是B″就是AB的黃金分割點.請你證明這個結(jié)論.

學(xué)生15：設(shè)正方形ABCD的邊長為2，因為E為BC的中點，

所以BE=1，所以AE=AB2+BE2=5.

又因為B′E=BE=1，所以AB″=AB′=AE-B′E=5-1，

所以AB″AB=5-12，即點B″是線段AB的黃金分割點.

……

評注 鄭老師圍繞著“黃金分割”的主題，引導(dǎo)學(xué)生自主探索“黃金比是多少”和“怎么找線段的黃金分割點”兩個子問題，然后通過師生互動交流，展現(xiàn)各自的思維成果.在探究“黃金比是多少”的問題中，鄭老師先讓學(xué)生獨立思考，在合作交流中，讓學(xué)生展現(xiàn)自己的思維方式和解決問題的獨特方法，在多樣的解法中，引導(dǎo)學(xué)生概括解法的異同.在探究“如何找線段的黃金分割點”時，鄭老師通過類比“中點”的找法，讓學(xué)生自然地從“對折”“測量”和“尺規(guī)作圖”三個角度進行思考，然后把“尺規(guī)作圖”與施恩州的一道“四次折疊找黃金分割點”的中考題聯(lián)系起來.

顯然，這種圍繞問題的深度學(xué)習(xí)的教學(xué)方法能夠使學(xué)生真正觸及到底層知識，掌握新知識的本質(zhì)，而且也有利于學(xué)生分析、綜合等高階思維的培養(yǎng).

1.4 生活應(yīng)用，解決問題

問題3 黃金分割的應(yīng)用.

教師：黃金分割具有藝術(shù)性與和諧性，蘊含著豐富的美學(xué)元素.請同學(xué)們欣賞神奇的黃金比值0.618，展現(xiàn)PPT：

名畫《蒙娜麗莎》、維納斯女神、帕特農(nóng)神廟、埃及的金字塔、大自然中蝴蝶、攝影作品中，“主體”在橫向和縱向兩個維度上基本處于黃金分割點;小提琴在弦的黃金分割點上彈奏，會發(fā)出動聽、悅耳、和諧的聲音.

在公元前6世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯線段分割狀態(tài)下存在一種和諧美，后來古希臘美學(xué)家柏拉圖正式稱之為黃金分割，并一直被稱為最佳比例……

此刻，學(xué)生迷戀于對黃金分割的欣賞之中，充滿對數(shù)學(xué)美的無限遐想……

評注 我們知道，從問題探究中獲得的新知識，最終都需要把新知識回歸到在學(xué)科或在生活上的應(yīng)用，只有這樣才能體現(xiàn)新知識的價值，才能增強學(xué)生的應(yīng)用意識.

在本案例中，探究“黃金分割”的應(yīng)用，鄭老師站在數(shù)學(xué)文化的維度上，讓學(xué)生充分感受到“黃金分割”與“藝術(shù)之美”“自然之美”的內(nèi)在聯(lián)系，讓數(shù)學(xué)洗滌學(xué)生的靈魂，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力[3].在整個探究過程，始終關(guān)注學(xué)生的思維和情感，樸實無華，自然天成.鄭老師將“黃金分割”“黃金比”和“黃金分割點”等新知識與自然、藝術(shù)結(jié)合起來，讓學(xué)生潛移默化地養(yǎng)成用“數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識生活的環(huán)境與生活”的習(xí)慣，這才是問題解決的終極目標(biāo)，同時也提高了深度學(xué)習(xí)中的應(yīng)用與評價的高階思維.

2 三點思考

2.1 初中數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)是什么

什么是初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)？很多老師可能認(rèn)為只要能使學(xué)生理解數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，并且會在實際問題情景下應(yīng)用這些知識，再有點數(shù)學(xué)思想方法，這種學(xué)習(xí)就是初中數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí).筆者則認(rèn)為，初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本的數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)固然重要，但更重要的是學(xué)生批判性、創(chuàng)造性學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng).因為只有學(xué)生當(dāng)具備一定的批判性、創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)能力時，他們就會對數(shù)學(xué)本身產(chǎn)生濃厚的興趣，充滿欲罷不能的好奇心，才會對后續(xù)的非義務(wù)教育的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供源源不竭的動力.而這種學(xué)習(xí)能力的認(rèn)知基礎(chǔ)，應(yīng)該是分析、應(yīng)用、評價和創(chuàng)造等高階思維活動，而在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的應(yīng)用、評價和創(chuàng)造等高階思維的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的基本內(nèi)涵.

2.2 初中數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)如何開展

初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的開展有很多途徑，問題驅(qū)動是其中的一個較為有效的方法.因為問題是數(shù)學(xué)的心臟，是思維的源頭和動力.以“問題為中心”的教學(xué)，是通過引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題等一系列的學(xué)習(xí)過程，幫助學(xué)生理解知識的來龍去脈，幫助學(xué)生構(gòu)建較為完整的知識體系，形成批判性、創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)能力，逐漸培養(yǎng)成良好的思維方式.在這個過程中，教師的主導(dǎo)作用就體現(xiàn)在如何設(shè)置一個有挑戰(zhàn)性、層次性的問題系列，通過問題系列充分調(diào)動學(xué)生的好奇心和求知欲，讓學(xué)生在問題解決的過程中，知識理解不斷地深入，思維不斷地得到優(yōu)化，創(chuàng)造力不斷得到提升，情感得到培育.

2.3 初中數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)系

中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)在于，會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界.數(shù)學(xué)眼光更多地指向數(shù)學(xué)抽象、直觀想象，數(shù)學(xué)思維更多表現(xiàn)在邏輯推理和數(shù)學(xué)運算，數(shù)學(xué)語言更多地體現(xiàn)為數(shù)學(xué)模型、數(shù)據(jù)分析.因此，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)應(yīng)該包括數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)模型和數(shù)據(jù)分析等成分，這是當(dāng)今信息社會的“學(xué)會學(xué)習(xí)”在數(shù)學(xué)方面的必備素質(zhì).而這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)并不是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必然產(chǎn)物，因為大多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)采用的是死記硬背、題海戰(zhàn)役的方式，他們習(xí)得的知識大多是片面的、不正確的，伴隨認(rèn)知過程所產(chǎn)生的情感大多是負(fù)面的、消極的，以至于一些優(yōu)秀生也常有“數(shù)學(xué)枯燥無味”的感覺.但是，如果我們的教學(xué)是促進學(xué)生進行主動、有意義的“深度學(xué)習(xí)”，是基于理解的基礎(chǔ)上把促進學(xué)生的高階思維和實際問題的解決作為我們追求目標(biāo)，那么，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo)就會逐步達成.

3 結(jié)束語

綜上所述，深度學(xué)習(xí)是與淺層學(xué)習(xí)相對的學(xué)習(xí)方式，它更關(guān)注學(xué)生知識的整合和批判性、創(chuàng)造性思維的培育.深度學(xué)習(xí)是一種過程性的學(xué)習(xí)，它著眼于學(xué)生的高階思維的發(fā)展和終身學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng).初中數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的同時，也有助于他們的創(chuàng)新意識的養(yǎng)成和實踐能力的提高.

參考文獻

[1]孫學(xué)東，周建勛.數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是什么？常態(tài)課堂如何可為？[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（7）：57-60.

[2]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[3]鄭瑄.數(shù)學(xué)課[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2009.

作者簡介 許科挺（1982—），男，浙江寧波人，中學(xué)高級教師;主要研究中學(xué)數(shù)學(xué)教育.

毛孟杰（1968—），男，浙江寧波人，中學(xué)高級教師;主要研究中學(xué)數(shù)學(xué)教育.