解三角形的基本策略

廖永福

摘 要：解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考必考的知識(shí)點(diǎn).考題靈活多樣，多以選擇題、填空題或解答題的形式出現(xiàn).難度雖然不大，但由于部分同學(xué)思路不清、方向不明，導(dǎo)致得分率不高.本文對(duì)近幾年的高考真題進(jìn)行了梳理，歸納出一些基本的解題策略，供大家教學(xué)時(shí)參考.

關(guān)鍵詞：高考;解三角形;解題策略;正弦定理;余弦定理

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2022）04-0040-06

解三角形問題的主要題型有：求三角形的邊和角;判斷三角形的形狀;與周長、面積有關(guān)的問題等.重點(diǎn)考查正弦定理、余弦定理和面積公式，有時(shí)也涉及三角函數(shù)、三角恒等變換和不等式等知識(shí).基本的解題策略有：邊角互化、余弦優(yōu)先、射影定理、消角轉(zhuǎn)化、整體代換和數(shù)形結(jié)合等.

1 邊角互化

解三角形時(shí)，若已知邊的齊次式或角的正弦的齊次式，應(yīng)優(yōu)先考慮利用正弦定理進(jìn)行邊角互化.

例1 （2019年全國Ⅱ卷文15）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知bsinA+acosB=0，則B=.

分析 先根據(jù)正弦定理邊化角，再結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求解.

解析 由正弦定理，得sinBsinA+sinAcosB=0.

因?yàn)閟inA≠0，所以sinB+cosB=0.

即tanB=-1.

又因?yàn)锽∈（0，π），所以B=3π4.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、特殊角的三角函數(shù)值，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，解題關(guān)鍵是利用正弦定理邊化角，屬于基礎(chǔ)題.

例2 （2021年全國Ⅰ卷19）記△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

（1）證明：BD=b;

（2）若AD=2DC，求cos∠ABC.

分析 （1）由已知條件，結(jié)合正弦定理易證;（2）由∠ADB+∠CDB=π，結(jié)合余弦定理求解.圖1

解析 （1）如圖1，由BDsin∠ABC=asinC和b2=ac，

結(jié)合正弦定理，得BD·b=ac=b2.

所以BD=b.

（2）由（1）知BD=b.

因?yàn)锳D=2DC，所以AD=23b，CD=13b.

因?yàn)椤螦DB+∠CDB=π，

所以cos∠ADB+cos∠CDB=0.

由余弦定理，得

BD2+AD2-AB22BD·AD+BD2+CD2-BC22BD·CD=0.

即b2+（23b）2-c22·b·23b+b2+（13b）2-a22·b·13b=0.

化簡，得6a2-11b2+3c2=0.

即6a2-11ac+3c2=0.

解得c=3a或c=23a.

由余弦定理，得

cos∠ABC=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac.

當(dāng)c=3a時(shí)，cos∠ABC=76>1（舍去）;

當(dāng)c=23a時(shí)，cos∠ABC=712.

故cos∠ABC=712.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理和余弦定理，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，第（1）小題的關(guān)鍵是應(yīng)用正弦定理角化邊;第（2）小題的關(guān)鍵是挖掘隱含條件∠ADB+∠CDB=π，應(yīng)用余弦定理角化邊，屬于中檔題.

變式練習(xí)1 （2019年全國Ⅰ卷理17）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)sin2A-sinBsinC=（sinB-sinC）2.

（1）求A;

（2）若2a+b=2c，求sinC.

2 余弦優(yōu)先

解三角形時(shí)，若已知三邊的二次齊次式或某個(gè)角的余弦值，應(yīng)優(yōu)先考慮利用余弦定理進(jìn)行邊角互化.

例3 （2021年全國乙卷理15）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為3，B=60°，a2+c2=3ac，則b=.

分析 先根據(jù)三角形的面積公式求出ac，再利用余弦定理即可求得結(jié)果.

解析 由題意，得S△ABC=12acsinB=34ac=3.

所以ac=4.

因?yàn)閍2+c2=3ac，所以a2+c2=12.

所以b2=a2+c2-2accosB=12-2×4×12=8.

解得b=22（取正值）.故答案為22.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查余弦定理和三角形的面積公式，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，選用三角形的面積公式和余弦定理求解，屬于中檔題.

例4 （2019年全國Ⅰ卷文11）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知asinA-bsinB=4csinC，cosA=-14，則bc=（? ）.

A.6? B.5? C.4? D.3

分析 利用正弦定理和余弦定理角化邊，得到關(guān)于a，b，c的方程組，消去a即可.

解析 由已知及正、余弦定理，得a2-b2=4c2，b2+c2-a22bc=-14.

消去a，得c2-4c22bc=-14.

所以bc=6.故選A.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理和余弦定理，考查推理能力和運(yùn)算能力，解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，選用正弦定理和余弦定理求解，屬于中檔題.

變式練習(xí)2 （2017年天津卷文15）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知asinA=4bsinB，ac=5（a2-b2-c2）.

（1）求cosA的值;

（2）求sin（2B-A）的值.

3 射影定理

射影定理 三角形的任意一邊等于其他兩邊在這邊上的射影之和.

即在△ABC中，若角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則a=bcosC+ccosB，b=acosC+ccosA，c=acosB+bcosA.

射影定理的證法很多，難度也不大，同學(xué)們不妨一試.

例5 （2017年全國Ⅱ卷文16）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，則B=.

分析 由已知條件，結(jié)合射影定理求解.

解析 因?yàn)?bcosB=acosC+ccosA=b，

所以cosB=12.

又0<B<π，所以B=π3.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理和三角恒等變換，這里運(yùn)用射影定理求解，簡便快捷，屬于基礎(chǔ)題.

例6 （2011年山東卷理17）在△ABC 中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知cosA-2cosCcosB=2c-ab.

（1）求sinCsinA的值;

（2）若cosB=14，b=2 ，求△ABC的面積.

分析 （1）由正弦定理邊化角整理可得

sinA+B=2sinB+C，化簡即得答案.（2）由（1）知ca=sinCsinA=2，結(jié)合題意由余弦定理可解得a=1 ，sinB=154，從而計(jì)算出面積.

解析 （1）因?yàn)閏osA-2cosCcosB=2c-ab，

所以b（cosA-2cosC）=（2c-a）cosB.

所以bcosA+acosB=2ccosB+2bcosC.

由射影定理，得c=2a.

所以sinCsinA=ca=2.

（2）由（1）知c=2a，由余弦定理，得

b2=a2+c2-2accosB.

即22=a2+4a2-2a×2a×14.

解得a=1.所以c=2.

因?yàn)閏osB=14，所以sinB=154.

故△ABC的面積S=12acsinB=12×1×2×154=154.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式，在解答第（1）小題時(shí)，巧妙應(yīng)用射影定理，簡化了解題過程，屬于中檔題.

變式練習(xí)3 （2013年全國Ⅱ卷理17）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB.

（1）求B;

（2）若b=2，求△ABC面積的最大值.

4 消角轉(zhuǎn)化

三角形中的三角恒等變換，一般都要用到三角形內(nèi)角和定理，利用它可以減少角的個(gè)數(shù)，以達(dá)到化簡、求值及證明的目的.常用的結(jié)論有：A+B=π-C，A+B2=π2-C2，sin（A+B）=sinC，cos（A+B）=-cosC，sinA+B2=cosC2，cosA+B2=sinC2等.

例7 （2017年全國Ⅰ卷文11）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知sinB+sinA（sinC-cosC）=0，a=2，c=2，則C=（? ）.

A.π12? B.π6? C.π4? D.π3

分析 由正弦定理找出sinA與sinC的關(guān)系，將已知等式轉(zhuǎn)換為只含角A與C的等式，先求出A，再求C.

解析 因?yàn)閍=2，c=2，

所以由正弦定理，得sinA=2sinC.

又因?yàn)锽=π-（A+C），

所以sinB+sinA（sinC-cosC）

=sin（A+C）+sinAsinC-sinAcosC

=sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC

=（sinA+cosA）sinC=0.

又C為三角形的內(nèi)角，故sinC≠0.

則sinA+cosA=0，即tanA=-1.

又A∈（0，π），所以A=3π4.

從而sinC=12sinA=12×22=12.

由A=3π4知，C為銳角，故C=π6.故選B.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理和三角恒等變換，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).解題關(guān)鍵是利用三角形內(nèi)角和定理，將已知等式轉(zhuǎn)換為只含角A與C的等式，屬于中檔題.

例8 （2020年浙江卷18）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2bsinA-3a=0.

（1）求角B的大小;

（2）求cosA+cosB+cosC的取值范圍.

分析 （1）利用正弦定理，將2bsinA-3a=0中的邊化為角，可求sinB的值，從而求出角B的大小;（2）利用三角形內(nèi)角和定理及已求出的角B的大小，將cosA+cosB+cosC轉(zhuǎn)化成其中一個(gè)角的形式，再利用三角變換求出取值范圍.

解析 （1）由2bsinA=3a，結(jié)合正弦定理，得

2sinBsinA=3sinA.

所以sinB=32.

由題意，得B=π3.

（2）由（1）及A+B+C=π，得C=2π3-A.

由△ABC是銳角三角形，得A∈（π6，π2）.

故cosA+cosB+cosC=cosA+12+cos2π3-A

=cosA-12cosA+32sinA+12

=32sinA+12cosA+12

=sinA+π6+12∈3+12，32.

故cosA+cosB+cosC的取值范圍是3+12，32.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理、三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)等，考查運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力，解題關(guān)鍵是利用內(nèi)角和定理，將cosA+cosB+cosC轉(zhuǎn)化為角A的三角函數(shù)的形式，屬于中檔題.

變式練習(xí)4 （2018年北京卷文14）若△ABC的面積為34（a2+c2-b2），且∠C為鈍角，則∠B=;ca的取值范圍是.

5 整體代換

整體代換就是根據(jù)所求式子的結(jié)構(gòu)特征，將含某些未知量的式子看作一個(gè)整體，建立已知與所求之間的關(guān)系，進(jìn)而解決問題.采用這種策略解題，往往能收到化繁為簡、化難為易的效果.

例9 （2018年全國Ⅰ卷文16）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2-a2=8，則△ABC的面積為.

分析 由正弦定理結(jié)合條件bsinC+csinB=4asinBsinC，求得sinA，由余弦定理結(jié)合條件b2+c2-a2=8，可求得△ABC的面積.

解析 因?yàn)閎sinC+csinB=4asinBsinC，

所以由正弦定理，得

sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC.

又因?yàn)閟inBsinC>0，所以sinA=12.

因?yàn)閎2+c2-a2=8，

所以由余弦定理，得

cosA=b2+c2-a22bc=82bc=4bc>0.

所以4bc=32，bc=833.

所以△ABC的面積

S=12bcsinA=12×833×12=233.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，解題關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件，列出關(guān)于bc的方程，再整體求出bc，屬于中檔題.

例10 （2020年全國Ⅱ卷理17）△ABC中，

sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

（1）求A;

（2）若BC=3，求△ABC周長的最大值.

分析 （1）由正弦定理結(jié)合條件sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC化角為邊，再根據(jù)余弦定理求出cosA的值，進(jìn)而求得A;（2）由（1）可得AC+AB2-AC·AB=9，利用基本不等式可求得AC+AB的最大值，進(jìn)而得到結(jié)果.

解析 （1）由已知和正弦定理，得

BC2-AC2-AB2=AC·AB.

所以cosA=AC2+AB2-BC22AC·AB=-12.

因?yàn)锳∈0，π，所以A=2π3.

（2）由BC=3及（1），得9=BC2=AC2+AB2+AC·AB=AC+AB2-AC·AB.

因?yàn)锳C·AB≤AC+AB22，

所以9=AC+AB2-AC·AB

≥AC+AB2-AC+AB22=34AC+AB2.

所以AC+AB≤23.

所以△ABC的周長L=AC+AB+BC≤3+23，當(dāng)且僅當(dāng)AC=AB=3時(shí)，等號(hào)成立.

所以△ABC周長的最大值為3+23.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng). 解題關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件，列出關(guān)于邊AB和AC的方程后，結(jié)合基本不等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于AB+AC的不等式，進(jìn)而求出△ABC周長的最大值，屬于中檔題.

變式練習(xí)5 （2016年全國Ⅰ卷理17）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c.

（1）求角C;

（2）若c=7，S△ABC=332，求△ABC的周長.

6 數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合是指從幾何直觀的角度，利用幾何圖形的性質(zhì)，研究三角形邊、角之間的關(guān)系，以尋求三角形問題的解決途徑.充分挖掘幾何圖形隱含的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，必要時(shí)可適當(dāng)添加輔助線.

例11 （2015年全國Ⅰ卷理16）如圖2，在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是.

圖2

分析 先找出線段DA的兩個(gè)極限位置CF和點(diǎn)E，得到AB的兩個(gè)極限值FB和EB，再求解即可.

解析 延長BA與CD相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF∥DA交AB于點(diǎn)F，則FB<AB<EB.

在等腰△BCF中，F(xiàn)C=BC=2，∠BCF=30°.

所以FB=FC2+BC2-2×FC×BCcos∠BCF=22+22-2×2×2cos30°=6-2.

又在等腰△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，

所以EB=BCsin∠Csin∠E=2sin75°sin30°=2×6+2412

=6+2.

所以6-2<AB<6+2.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理、余弦定理和極限思想，滲透直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，解題關(guān)鍵是構(gòu)造△BCE，找出線段DA的兩個(gè)極限位置CF和點(diǎn)E，屬于中檔題.

例12 （2014年全國Ⅰ卷理16）已知a，b，c 分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且a=2，（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，則△ABC面積的最大值為.

分析 先用正弦定理化角為邊，再用余弦定理求出A，最后畫出△ABC及其外接圓，結(jié)合圖形求解.

解析 由a=2和

（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，

得（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC.

根據(jù)正弦定理，得

（a+b）（a-b）=（c-b）c.

即b2+c2-a2=bc.

所以cosA=b2+c2-a22bc=12，故A=60°.

又根據(jù)正弦定理，得△ABC外接圓⊙O的直徑2R=asinA=2sin60°=433，如圖3所示.

圖3

故點(diǎn)A可在優(yōu)弧BmC上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)B，C）.

當(dāng)AO⊥BC時(shí)，△ABC的高最大，面積也最大，這時(shí)△ABC恰為正三角形，其面積為34×22=3.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，滲透邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，解題關(guān)鍵是巧妙利用正弦定理和2=a進(jìn)行代換，將已知條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式，進(jìn)而求出A，再借助△ABC的外接圓，求出△ABC面積的最大值，屬于中檔題.

變式練習(xí)6 （2019年全國Ⅲ卷理18）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知asinA+C2=bsinA.

（1）求B;

（2）若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.

參考文獻(xiàn)：

[1] 李金進(jìn).例談解三角形問題中非齊次結(jié)構(gòu)的難點(diǎn)突破[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2021（01）：8-10.

[2] 劉海珍，劉秀萍.例談數(shù)形結(jié)合法巧求三角形面積的范圍[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2020（05）：43-44.

[責(zé)任編輯：李 璟]