“思”與“行”的橋梁

——利用畫(huà)圖策略解決實(shí)際問(wèn)題

江蘇省南京市江東門(mén)小學(xué) 譚秋萍

【摘 要】“畫(huà)圖策略”在小學(xué)階段應(yīng)用較為廣泛，其作為解決問(wèn)題的一個(gè)重要策略貫穿于整個(gè)小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)是邏輯性和抽象性較強(qiáng)的一門(mén)學(xué)科，在小學(xué)階段，學(xué)生的形象思維占主要地位，畫(huà)圖策略作為解決問(wèn)題的策略之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中起著關(guān)鍵性作用。

【關(guān)鍵詞】畫(huà)圖策略 解決問(wèn)題 小學(xué)數(shù)學(xué)

幾何直觀作為新課程標(biāo)準(zhǔn)中的關(guān)鍵詞之一，主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，注重學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)至關(guān)重要。新課程標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)課程基本理念中提到“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程”。這恰恰與幾何直觀提到的理念不謀而合。小學(xué)階段為學(xué)習(xí)提供的素材豐富多樣，旨在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)習(xí)變被動(dòng)為主動(dòng)。學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個(gè)遞進(jìn)的過(guò)程，在這一過(guò)程中學(xué)生的抽象能力需要逐步地提升并著重地進(jìn)行培養(yǎng)，使學(xué)習(xí)不僅僅平面化。學(xué)習(xí)是一個(gè)生成的過(guò)程，學(xué)生通過(guò)數(shù)形結(jié)合，可以將抽象、難以理解的問(wèn)題直觀化。

通過(guò)畫(huà)圖策略能夠有效地將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化、煩瑣的文字圖像化、抽象的語(yǔ)言直觀化，幫助學(xué)生理解問(wèn)題的實(shí)質(zhì)并成功地解決問(wèn)題，從而獲得學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)滲透畫(huà)圖意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的畫(huà)圖習(xí)慣，讓畫(huà)圖策略成為學(xué)生學(xué)習(xí)的好幫手。筆者希望通過(guò)畫(huà)圖策略，讓學(xué)生的思維插上“翅膀”。

一、當(dāng)前畫(huà)圖策略的教學(xué)與學(xué)習(xí)現(xiàn)狀

傳統(tǒng)的教學(xué)方法過(guò)度追求教學(xué)的“效率”，讓學(xué)生進(jìn)行題海訓(xùn)練，忽視教學(xué)的過(guò)程，更多地關(guān)注到學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，這大大地背離了新課程改革的標(biāo)準(zhǔn)，教師的教學(xué)理念產(chǎn)生了偏差。在傳統(tǒng)教學(xué)的影響下，產(chǎn)生了以下幾個(gè)方面的影響：

1.學(xué)生主動(dòng)畫(huà)圖的意識(shí)薄弱

學(xué)生在解決問(wèn)題的時(shí)候往往喜歡看著題目空想，即使遇到條件復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，也只是通過(guò)多讀幾遍題目來(lái)幫助自己理解題意。只有在遇到要求作圖的題目時(shí)，學(xué)生才會(huì)根據(jù)題目要求進(jìn)行畫(huà)圖，這樣的學(xué)習(xí)存在著驅(qū)使性，這其實(shí)與教師的教學(xué)方式有很大的關(guān)系。教師在教學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)經(jīng)常就題論題和就圖論題，很少將問(wèn)題與圖形進(jìn)行實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，整個(gè)教學(xué)過(guò)程并沒(méi)有真正地讓學(xué)生體會(huì)到用圖形解決問(wèn)題的便捷，從而導(dǎo)致學(xué)生畫(huà)圖的主動(dòng)性得不到提升。

2.教師滲透畫(huà)圖意識(shí)觀念不夠，忽視畫(huà)圖能力的培養(yǎng)

學(xué)生是發(fā)展中的人，在發(fā)展的過(guò)程中需要教師進(jìn)行正確的引導(dǎo)。實(shí)驗(yàn)調(diào)查數(shù)據(jù)表明，部分教師在教學(xué)時(shí)并未真正地了解學(xué)生現(xiàn)階段的現(xiàn)實(shí)學(xué)習(xí)水平和理解能力，常常按照自己的經(jīng)驗(yàn)教授新知。尤其是在解決問(wèn)題時(shí)為了“節(jié)省”時(shí)間，直接給出學(xué)生解決問(wèn)題的最佳方法，表面上避免了學(xué)生解題時(shí)“繞彎道”，實(shí)則忽略了學(xué)習(xí)過(guò)程的重要性和學(xué)生的長(zhǎng)期發(fā)展。

在低年級(jí)階段，教材在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)會(huì)給出題目中各個(gè)條件之間的示意圖或線段圖，此時(shí)教師就可以引導(dǎo)學(xué)生將問(wèn)題和圖形結(jié)合起來(lái)理解題意并滲透數(shù)形結(jié)合的思想。教師教學(xué)時(shí)要有滲透畫(huà)圖解決問(wèn)題的意識(shí)，在學(xué)生解決問(wèn)題前給課堂留空，給學(xué)生留有自主的時(shí)間和空間，讓他們多次嘗試尋求解決問(wèn)題的途徑，學(xué)生在嘗試過(guò)程中體會(huì)到畫(huà)圖策略的益處，從而培養(yǎng)了畫(huà)圖能力，這也是學(xué)生的直觀能力向抽象能力過(guò)渡的重要過(guò)程。

3.忽視畫(huà)圖策略的階段性教學(xué)

畫(huà)圖策略的應(yīng)用體現(xiàn)在小學(xué)各個(gè)階段，根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)，新課程標(biāo)準(zhǔn)在這一領(lǐng)域給出的教學(xué)目標(biāo)有著明顯的差別，下面分三個(gè)階段進(jìn)行闡述。

低年級(jí)階段要求學(xué)生掌握初步的識(shí)圖和畫(huà)圖技能。教材內(nèi)容的設(shè)計(jì)多以實(shí)際物體、圖形和簡(jiǎn)潔的文字為主，學(xué)生能夠根據(jù)給出的圖形或條件直接解決問(wèn)題，這個(gè)階段的內(nèi)容對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力和抽象能力要求不高，教師可以滲透畫(huà)圖策略，但不做過(guò)多的硬性要求。中年級(jí)階段要求學(xué)生在物體中抽象出幾何圖形，在稍復(fù)雜情境中學(xué)會(huì)用畫(huà)圖策略將問(wèn)題中的條件用線段圖或示意圖表示出來(lái)。譬如，間隔排列問(wèn)題、雞兔同籠問(wèn)題、簡(jiǎn)單的行程問(wèn)題等，通過(guò)畫(huà)圖，學(xué)生很容易理清各個(gè)條件之間的聯(lián)系并掌握這類(lèi)問(wèn)題的解題技巧。高年級(jí)階段，對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯能力和抽象能力的要求有所提高。譬如，在分?jǐn)?shù)問(wèn)題、比例問(wèn)題和量不變問(wèn)題等問(wèn)題中要注意畫(huà)線段圖的練習(xí)，為成功解決復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題做好鋪墊。

二、結(jié)合畫(huà)圖策略，創(chuàng)新教學(xué)方式

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確提到：“借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用?！睂W(xué)生是獨(dú)立的人，發(fā)展具有個(gè)性化。傳統(tǒng)的教學(xué)方式無(wú)法滿(mǎn)足學(xué)生個(gè)性化發(fā)展的需求，因此教師要根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)、學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，與時(shí)俱進(jìn)地創(chuàng)新適合學(xué)生發(fā)展的教學(xué)方式。畫(huà)圖策略作為解決問(wèn)題的重要策略，將抽象的文字直觀化、復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還讓課堂生成更加多元化。

1.數(shù)學(xué)問(wèn)題意識(shí)，滲透畫(huà)圖策略

在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題能力的培養(yǎng)提出了相應(yīng)要求，這就要求教師結(jié)合畫(huà)圖策略培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，從而提高學(xué)生在實(shí)際生活中解決問(wèn)題的能力。低年級(jí)階段的學(xué)習(xí)，畫(huà)圖策略主要體現(xiàn)在給出的圖形和線段這種問(wèn)題情境中，實(shí)際教學(xué)中教師其實(shí)可以潛移默化地引導(dǎo)學(xué)生用自己喜歡的圖形表示問(wèn)題中的事物。譬如，低年級(jí)教學(xué)里的一道題目：一支隊(duì)伍的小朋友排成一排，小明的左邊有5人，右邊有3人，這支隊(duì)伍有多少人？在這樣的題目里，抽象能力較強(qiáng)的學(xué)生會(huì)直接想到算式5+3+1，但抽象能力較弱的學(xué)生只能想到5+3。如果教師只是反復(fù)強(qiáng)調(diào)還要加上小明這個(gè)人，大部分抽象能力較弱的學(xué)生只是學(xué)會(huì)了這一題，并不能真正領(lǐng)悟這類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題。教師可以適時(shí)地提出：“你有什么辦法讓大家一眼看出這支隊(duì)伍有幾人？”有了數(shù)學(xué)問(wèn)題意識(shí)，學(xué)生通過(guò)小組合作交流匯報(bào)自己的想法時(shí)，最終呈現(xiàn)用一個(gè)“○”表示一個(gè)人，小明是涂黑了的“○”，左邊5個(gè)“○”，右邊3個(gè)“○”，一共5+3+1個(gè)“○”。這時(shí)，再讓學(xué)生將問(wèn)題和圖形進(jìn)行聯(lián)系，抽象能力較弱的學(xué)生理解起來(lái)會(huì)更加透徹。在接下來(lái)的學(xué)習(xí)里，當(dāng)遇到“一個(gè)隊(duì)伍的小朋友排在同一條直線上，小明從左邊數(shù)排第6個(gè)，從右邊數(shù)是第4個(gè)，這一隊(duì)有多少人？”這道題目時(shí)，大多數(shù)學(xué)生很容易想到用畫(huà)圖策略解決問(wèn)題，極大地避免了是否需要“+1”還是“-1”的情況。

畫(huà)圖策略將文字和圖形通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題巧妙結(jié)合，極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣并提高了其解決問(wèn)題的能力，也增強(qiáng)了學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)。對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決方法，教師要結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況安排和設(shè)計(jì)，通過(guò)培養(yǎng)數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí)讓學(xué)生感知畫(huà)圖的直觀性，同時(shí)初步建立數(shù)學(xué)模型思想。

2.分層遞進(jìn)，養(yǎng)成畫(huà)圖的習(xí)慣

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)無(wú)形時(shí)不直觀，形無(wú)數(shù)時(shí)難入微?！碑?huà)圖策略在學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的過(guò)程中符合教育學(xué)、心理學(xué)的原理，數(shù)學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì)是一個(gè)符合兒童的年齡特點(diǎn)、學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和學(xué)生心理特征的階段性過(guò)程。學(xué)生在不同的年齡階段存在著明顯的差異性，因此，教師要根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)在畫(huà)圖策略的教學(xué)過(guò)程中分層遞進(jìn)。不同的學(xué)生之間也存在差異，這時(shí)有層次性地指導(dǎo)不同學(xué)生運(yùn)用畫(huà)圖策略解決實(shí)際問(wèn)題尤為重要。在小學(xué)階段，畫(huà)圖策略符合小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，通過(guò)具體形象的圖形描述復(fù)雜抽象的文字，更能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

蘇教版數(shù)學(xué)一年級(jí)上冊(cè)第一課時(shí)的“數(shù)一數(shù)”，是學(xué)生進(jìn)入小學(xué)的第一課。本課時(shí)的例題是游樂(lè)園的一角，豐富多彩的生活情境符合剛?cè)雽W(xué)學(xué)生的年齡特點(diǎn)，接著引導(dǎo)學(xué)生用一個(gè)圓表示一個(gè)物體，這是示意圖表示各類(lèi)事物的第一次應(yīng)用。處于第一階段的問(wèn)題解決多采用畫(huà)示意圖的方法，例如排隊(duì)問(wèn)題、鋸木頭問(wèn)題和簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)問(wèn)題。排隊(duì)問(wèn)題前面已經(jīng)提到，這里不再過(guò)多說(shuō)明。鋸木頭問(wèn)題實(shí)際是間隔排列中的一種，即一一間隔排列，學(xué)生如果只是記住結(jié)論“一一間隔排列，首尾相同，兩邊比中間多1;首尾不同，個(gè)數(shù)相等”，在遇見(jiàn)變式題型時(shí)就無(wú)從下手。這一階段通過(guò)畫(huà)圖解決問(wèn)題相較于記住生硬的結(jié)論，更令人感興趣且更容易被學(xué)生接受。在比較分?jǐn)?shù)大小的教學(xué)中，比較和的大小時(shí)，學(xué)生容易認(rèn)為2<3，導(dǎo)致錯(cuò)誤判斷<，這是學(xué)生剛接觸分?jǐn)?shù)這部分知識(shí)時(shí)出錯(cuò)率較高的類(lèi)型，也是教學(xué)的重點(diǎn)。解決這一問(wèn)題最好的方式是讓學(xué)生動(dòng)手操作、直觀感知。教學(xué)時(shí)可以通過(guò)畫(huà)兩個(gè)同樣大小的圓表示一個(gè)整體，將一個(gè)圓平均分成2份，其中的1份是，再將另一個(gè)圓平均分成3份，其中的1份是，這時(shí)根據(jù)直觀的圖形去比較，學(xué)生一眼就能看出這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小，最后將圖形與分?jǐn)?shù)進(jìn)行聯(lián)系并結(jié)合分?jǐn)?shù)的意義理解幾分之一的分?jǐn)?shù)比較大小的方法。

學(xué)習(xí)是一個(gè)持續(xù)發(fā)展的過(guò)程，學(xué)生的各項(xiàng)能力在每個(gè)階段都有相應(yīng)的發(fā)展，學(xué)習(xí)中的很多問(wèn)題可以通過(guò)畫(huà)圖的方法解決，教師在設(shè)計(jì)這些問(wèn)題時(shí)要分層遞進(jìn)，潛移默化地滲透畫(huà)圖策略，讓學(xué)生養(yǎng)成畫(huà)圖的習(xí)慣。

3.注重畫(huà)圖策略的評(píng)價(jià)，培養(yǎng)學(xué)生畫(huà)圖解題能力

教師教學(xué)時(shí)不僅要有滲透畫(huà)圖策略的意識(shí)，還要在學(xué)生應(yīng)用畫(huà)圖策略的同時(shí)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生畫(huà)圖能力的評(píng)價(jià)。評(píng)價(jià)可以是語(yǔ)言、手勢(shì)，也可以是眼神的表達(dá)，恰當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)可以激發(fā)學(xué)生畫(huà)圖的意識(shí)，從而培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖策略解決問(wèn)題的能力。同時(shí)，評(píng)價(jià)不僅僅是教師對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)，還可以是小組互評(píng)、學(xué)生互評(píng)、自我評(píng)價(jià)。評(píng)價(jià)可以幫助學(xué)生樹(shù)立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，也能促進(jìn)學(xué)生積極地發(fā)展。低年級(jí)階段的示意圖教學(xué)，在學(xué)生以每5個(gè)一排或者每10個(gè)一排的順序畫(huà)示意圖時(shí)給予肯定的評(píng)價(jià)，不僅無(wú)形中規(guī)范了示意圖的畫(huà)法，還培養(yǎng)了學(xué)生有序畫(huà)圖的能力。

三、畫(huà)圖搭橋，拓展學(xué)生思維

學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，對(duì)于知識(shí)的認(rèn)知和理解，需要經(jīng)歷一個(gè)從“外化”過(guò)渡到“內(nèi)化”的過(guò)程。運(yùn)用畫(huà)圖策略旨在提供解決問(wèn)題的途徑，讓學(xué)生遇到難題時(shí)能有策略，進(jìn)行思維上的突破。在“鋸木頭”的問(wèn)題中，學(xué)生對(duì)段數(shù)、次數(shù)和時(shí)間之間的關(guān)系容易混淆。抽象能力較弱的學(xué)生基本只能靠運(yùn)氣解決這類(lèi)問(wèn)題，這時(shí)畫(huà)圖策略的應(yīng)用就能很直觀形象地將抽象的文字用示意圖的形式呈現(xiàn)，極大地幫助學(xué)生理清鋸木頭問(wèn)題的解題思路。筆者在任教三年級(jí)時(shí)，初步進(jìn)行了本班學(xué)生對(duì)于往返問(wèn)題的畫(huà)圖策略調(diào)查，班級(jí)學(xué)生在二年級(jí)開(kāi)始就已經(jīng)接觸過(guò)這類(lèi)問(wèn)題，通過(guò)平時(shí)教學(xué)時(shí)的滲透，學(xué)生會(huì)簡(jiǎn)單地用帶有箭頭的直線表示“來(lái)回”。例如，一個(gè)游泳池長(zhǎng)50米，小明游了3個(gè)來(lái)回，小明一共游了多少米？初次教學(xué)時(shí)給足學(xué)生思考的空間，再進(jìn)行小組討論和集體匯報(bào)交流，學(xué)生中教師很少出現(xiàn)50×3的錯(cuò)誤情況，并且在這個(gè)問(wèn)題情境中，教師展示了學(xué)生的解題方法并出示如下示意圖（圖1表示“1個(gè)來(lái)回”）。

這類(lèi)型問(wèn)題情境中示意圖的教學(xué)和滲透能最直觀、形象地讓學(xué)生清楚往返問(wèn)題。三年級(jí)上冊(cè)“兩位數(shù)、三位數(shù)乘一位數(shù)”中有一道思考題：小欣家離學(xué)校850米。一天早晨，她從家去學(xué)校上學(xué)，大約走到總路程的一半時(shí)，發(fā)現(xiàn)忘記帶數(shù)學(xué)書(shū)了。于是她回家去拿書(shū)，再去學(xué)校。這天早晨小欣上學(xué)大約一共走了多少米？筆者任教的三年級(jí)班級(jí)一共有35名學(xué)生，根據(jù)學(xué)生解決這道題的情況調(diào)查知道，23名學(xué)生讀完題后直接畫(huà)示意圖（圖2），6名學(xué)生在提示后選擇畫(huà)示意圖，4名學(xué)生直接列式計(jì)算，理解能力較弱的2名學(xué)生在匯報(bào)交流時(shí)通過(guò)示意圖能理解題意并正確列式。通過(guò)畫(huà)圖策略的學(xué)習(xí)，學(xué)生的直觀能力逐步向抽象能力過(guò)渡。

四、畫(huà)圖策略，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

布魯納說(shuō)過(guò)：“最好的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)莫過(guò)于學(xué)生對(duì)所學(xué)材料本身具有興趣?！毙W(xué)教材內(nèi)容的設(shè)計(jì)都是以生活實(shí)際情境為例題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。低年級(jí)的教材內(nèi)容更是以圖片為主、文字為輔的形式呈現(xiàn)教學(xué)情境。筆者任教一年級(jí)時(shí)觀察到學(xué)生愛(ài)涂愛(ài)畫(huà)，對(duì)圖形類(lèi)題型很感興趣并且積極主動(dòng)地依照例題給出的畫(huà)圖方法解決問(wèn)題。學(xué)生遇到文字較多的題目時(shí)，首先產(chǎn)生的是畏懼心理，還沒(méi)有讀完題目就覺(jué)得自己不會(huì)。在復(fù)雜的問(wèn)題情境中，學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖策略將題目中的條件進(jìn)行梳理，將抽象的文字變?yōu)橹庇^的圖形，數(shù)形結(jié)合，大大地降低了問(wèn)題的難度并提高了解決問(wèn)題的能力。學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個(gè)可持續(xù)性發(fā)展的過(guò)程，學(xué)習(xí)的興趣是學(xué)生最大的動(dòng)力。

五、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是一個(gè)長(zhǎng)期而復(fù)雜的過(guò)程，學(xué)生是完整的人，只有在不斷的學(xué)習(xí)過(guò)程中才能成為全面發(fā)展的人。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師可以潛移默化地滲透畫(huà)圖策略的思想，從而培養(yǎng)學(xué)生畫(huà)圖的能力。

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