在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史的“四有”策略

【摘要】本文結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐案例，論述數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值，并基于普通教師在教學(xué)實(shí)踐中的共性問(wèn)題，提出滲透數(shù)學(xué)史的“四有”策略，即有兒童視角、有兒童實(shí)踐、有時(shí)機(jī)內(nèi)容和形式的考量、有現(xiàn)實(shí)思考。

【關(guān)鍵詞】課堂教學(xué) 滲透數(shù)學(xué)史 策略

【中圖分類號(hào)】G62 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2022）04-0076-03

數(shù)學(xué)史研究的是數(shù)學(xué)知識(shí)的起源、形成與發(fā)展。數(shù)學(xué)史就其本質(zhì)而言是人類數(shù)學(xué)思想的發(fā)展史，數(shù)學(xué)教育的較高境界則是數(shù)學(xué)思想的感悟和熏陶。近年來(lái)，許多數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中注意了數(shù)學(xué)史的滲透，卻在滲透的形式和內(nèi)容、滲透的時(shí)機(jī)及程度方面產(chǎn)生了諸多偏差，使所滲透的數(shù)學(xué)史要么成了課堂中的“點(diǎn)綴”，要么干擾了課堂中的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)。究其根源，是教師忽視了課堂學(xué)習(xí)的主人——學(xué)生的緣故。

小學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師蔡宏圣說(shuō)過(guò)：“對(duì)于教師，數(shù)學(xué)史是先進(jìn)教學(xué)觀念的建構(gòu)基礎(chǔ)。一個(gè)教師的潛意識(shí)中，對(duì)數(shù)學(xué)的根本看法會(huì)自覺(jué)不自覺(jué)地?fù)饺肫浣虒W(xué)行為中。讀過(guò)數(shù)學(xué)史，就明白一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)最原始的部分，既不神秘也不嚴(yán)謹(jǐn)，沒(méi)有一點(diǎn)形式邏輯自然衍生的痕跡。在哲學(xué)上，這可以概括為數(shù)學(xué)的兩重性，即數(shù)學(xué)內(nèi)容的形式性和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的經(jīng)驗(yàn)性。有了這樣的認(rèn)識(shí)，就會(huì)在數(shù)學(xué)的具體源頭和抽象形式之間來(lái)回穿行，關(guān)注兒童生活經(jīng)驗(yàn)的現(xiàn)實(shí)，尋找數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯源頭，領(lǐng)悟其間的數(shù)學(xué)過(guò)程和思想方法，于是，組織的數(shù)學(xué)教學(xué)順應(yīng)著生活事理的邏輯走向，孩子們的學(xué)習(xí)可以像呼吸一樣自然?！惫P者深以為然。本文將結(jié)合自身實(shí)踐，探討小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史的“四有”策略。

一、有兒童視角

美籍匈牙利數(shù)學(xué)教育家波利亞（Polya）提出：“只有理解人類如何獲得某些事實(shí)或概念的知識(shí)，我們才能對(duì)人類的孩子應(yīng)該如何獲得這樣的知識(shí)做出更好的判斷?！贬槍?duì)小學(xué)生的心理年齡特點(diǎn)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)傾向，教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)史滲透時(shí)，必須有兒童視角，從浩瀚的數(shù)學(xué)史中精心選材，堅(jiān)持“兩個(gè)有利于”原則，一方面要有利于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，另一方面要有利于幫助學(xué)生更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)思考?！皟蓚€(gè)有利于”原則要求所有數(shù)學(xué)教師必須真正走進(jìn)兒童的內(nèi)心、讀懂兒童的學(xué)習(xí)需求，而不是寬泛意義上的理解兒童。為此教師要對(duì)兒童在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中的思維過(guò)程進(jìn)行精確分析，精準(zhǔn)預(yù)判學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中可能會(huì)出現(xiàn)的各種疑問(wèn)和困難，找到他們的“興奮點(diǎn)”和“刺激點(diǎn)”，對(duì)教材中所提供的“你知道嗎”“生活中的數(shù)學(xué)”等閱讀材料進(jìn)行精加工、“再創(chuàng)造”——搜集和整理相關(guān)的數(shù)學(xué)史料，讓數(shù)學(xué)史的滲透更具有彈性且能夠滿足不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，能夠讓學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的重點(diǎn)和難點(diǎn)產(chǎn)生“一探究竟”的亢奮。

例如，教師在教學(xué)“認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱圖形”有關(guān)“生活中的數(shù)學(xué)”這一內(nèi)容時(shí)，教材給學(xué)生展示了古今中外很多呈對(duì)稱形狀的著名建筑物，列舉了中國(guó)趙州橋、法國(guó)埃菲爾鐵塔、英國(guó)倫敦塔橋等。除此之外，教師還可以在網(wǎng)絡(luò)上搜集更多資源，如中國(guó)的天安門、法國(guó)的巴黎圣母院、印度的泰姬陵等，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)對(duì)稱圖形特點(diǎn)的認(rèn)知。盡管對(duì)稱圖形具有一定的形式美，但現(xiàn)實(shí)中的很多非對(duì)稱建筑也有自己的美。為了補(bǔ)足學(xué)生的認(rèn)知，消除學(xué)生對(duì)美的片面理解或內(nèi)心疑惑，教師可繼續(xù)出示各種游樂(lè)園、大型超市、咖啡店等建筑圖片，告訴學(xué)生：傳統(tǒng)審美觀以對(duì)稱為美，嚴(yán)格的對(duì)稱性會(huì)增強(qiáng)建筑的儀式感，比如政府辦公樓、寫字樓、國(guó)家博物館等辦公建筑、商業(yè)建筑;而像展覽建筑和小型活動(dòng)中心之類的建筑，會(huì)更加注重空間的趣味性，注重人與空間的交流，以非對(duì)稱性突顯建筑的個(gè)性。全面搜集對(duì)稱和非對(duì)稱性建筑圖案，一來(lái)形成對(duì)比，可以加深學(xué)生對(duì)“對(duì)稱”的理解，二來(lái)可以培養(yǎng)學(xué)生的建筑審美。

再如，教師教學(xué)“公頃與平方千米”一課時(shí)，學(xué)生對(duì)面積單位的進(jìn)率產(chǎn)生了疑惑，教師可根據(jù)學(xué)生的探究?jī)A向，告知學(xué)生平方百米即為公頃，而在平方米和平方百米之間其實(shí)還有一個(gè)“平方十米”叫“公畝”，從而將面積單位的進(jìn)率“逢百進(jìn)一”統(tǒng)一起來(lái)，加深學(xué)生的記憶，同時(shí)強(qiáng)調(diào)“公畝”這個(gè)單位已不常用的現(xiàn)實(shí);接著給學(xué)生延展我國(guó)勞動(dòng)人民計(jì)算土地面積的常用單位“畝”，讓學(xué)生基本了解即可。通過(guò)以上有針對(duì)性的拓展，可以激發(fā)學(xué)生探索我國(guó)古代面積計(jì)量單位的興趣。

二、有兒童實(shí)踐

法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利·龐加萊（Henri Poincaré）說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有直觀性，年輕人在數(shù)學(xué)科學(xué)的理解上就不會(huì)有一個(gè)開(kāi)端。他們就不能學(xué)會(huì)熱愛(ài)它，他們將在其中看到一個(gè)空洞的字謎游戲。沒(méi)有直觀性，他們將永不會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)?！比粘＝虒W(xué)中，很多教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)史滲透時(shí)采用的方式都是類似的，那便是在教學(xué)過(guò)程中“插入”幾個(gè)與當(dāng)下學(xué)習(xí)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)家的肖像，講述一些與其相關(guān)的數(shù)學(xué)故事或數(shù)學(xué)史料。這樣的方式之所以被普遍采用，主要原因在于它簡(jiǎn)單易行，不會(huì)影響既有的教學(xué)設(shè)計(jì)，僅僅是在原有的流程中加入了一個(gè)“超鏈接”。這種滲透方式，可直呼為“告訴”方式，學(xué)生只需看看、聽(tīng)聽(tīng)即可。結(jié)果是，教師所滲透的數(shù)學(xué)史很難印入學(xué)生的腦海，更難融入學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)界早有共識(shí)，數(shù)學(xué)思想和方法才是數(shù)學(xué)教育的精髓。要想讓數(shù)學(xué)史的滲透發(fā)揮同樣的作用，必須跟進(jìn)相應(yīng)的數(shù)學(xué)實(shí)踐。展開(kāi)來(lái)說(shuō)，小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)史的滲透需要教師帶領(lǐng)學(xué)生剖析數(shù)學(xué)家的思想方法，引領(lǐng)學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)踐中通過(guò)模仿加深體會(huì)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)思維的發(fā)展和對(duì)方法的深刻理解與靈活運(yùn)用。

例如，教師在教學(xué)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”時(shí)，給學(xué)生滲透了下面這段數(shù)學(xué)史的史料：在15世紀(jì)中葉，意大利數(shù)學(xué)家帕喬利在《算術(shù)、幾何及比例性質(zhì)摘要》一書中記載了一種兩個(gè)數(shù)相乘的計(jì)算方法——“格子乘法”;這種方法傳入中國(guó)后，被我國(guó)明朝的數(shù)學(xué)家程大位稱為“鋪地錦”，并記載在了《算法統(tǒng)宗》一書中。那么，古人是怎樣用格子進(jìn)行計(jì)算、“鋪地錦”的呢？教師在介紹了相關(guān)方法以后，接下來(lái)讓學(xué)生仿照例子進(jìn)行嘗試，在“格子”上填一填，在紙面上“鋪一鋪”，并將以上計(jì)算過(guò)程與現(xiàn)在的豎式計(jì)算進(jìn)行對(duì)比，想一想古人與今人的計(jì)算方式看似不同，實(shí)則有哪些相同或相通之處？在這樣的對(duì)比思考中，學(xué)生既了解了古人的算法，領(lǐng)略了古人的智慧，又對(duì)比了古今的差異，體會(huì)到了今人算法的方便之處。

再如，當(dāng)學(xué)生學(xué)完“三角形的面積計(jì)算”之后，教師可以組織學(xué)生閱讀《九章算術(shù)》中記載的“半廣以乘正從”，讓學(xué)生在弄懂計(jì)算原理以后，體會(huì)“廣”與“從”的含義，知道“半”和“正”在其中的具體內(nèi)涵，并據(jù)此進(jìn)行實(shí)際計(jì)算，在實(shí)際計(jì)算中理解劉徽在注文中的說(shuō)明“半廣者，以盈補(bǔ)虛，為直田也”，從中感受“以盈補(bǔ)虛（以多余部分填補(bǔ)不足的部分）”的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想，告訴學(xué)生這就是我國(guó)古代數(shù)學(xué)推導(dǎo)平面圖形面積公式所用的“出入相補(bǔ)”的方法，由此加深學(xué)生對(duì)三角形面積計(jì)算公式推導(dǎo)過(guò)程的理解。

三、有時(shí)機(jī)、內(nèi)容和形式的考量

引導(dǎo)學(xué)生接觸數(shù)學(xué)史，目的不是學(xué)史，而是學(xué)數(shù)學(xué)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中融入數(shù)學(xué)史，要根據(jù)課堂教學(xué)目標(biāo)，審慎地確定數(shù)學(xué)史滲透的內(nèi)容和形式，把握好滲透的時(shí)機(jī)，既要考慮學(xué)生的興趣和教學(xué)中制造認(rèn)知沖動(dòng)的需要，又要考慮學(xué)生接受數(shù)學(xué)史的難易度。通常情況下，教材會(huì)在每個(gè)章節(jié)的后面安排一些閱讀資料。教學(xué)實(shí)踐中，教師可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)、教學(xué)設(shè)計(jì)的需要等，靈活地將數(shù)學(xué)史的滲透安排在課前、課中或課后：既可以經(jīng)由學(xué)習(xí)內(nèi)容引出數(shù)學(xué)史，也可以由數(shù)學(xué)史引出學(xué)習(xí)內(nèi)容，或者在教學(xué)過(guò)程中穿插融入?？傊谧钋‘?dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)，將學(xué)生“請(qǐng)進(jìn)”數(shù)學(xué)史的神圣殿堂，讓數(shù)學(xué)史成為學(xué)習(xí)內(nèi)容的注解或闡釋，讓數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家的思維與孩子們的思考交融在一起，相互啟發(fā)，彼此促進(jìn)，撞出思維的火花，結(jié)出智慧的果實(shí)。如果滲透的時(shí)機(jī)把握不好，有時(shí)會(huì)沖淡課堂學(xué)習(xí)主題，使學(xué)生如墜“云里霧里”。

例如，在教學(xué)“解決問(wèn)題的策略（假設(shè)法）”一課時(shí)，教師可以將我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中的經(jīng)典問(wèn)題“物不知數(shù)”作為導(dǎo)入材料念給學(xué)生聽(tīng)：“有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二。問(wèn)物幾何？”用古文的形式展示學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，為數(shù)學(xué)問(wèn)題披上文言的“外衣”，使其更具挑戰(zhàn)性和趣味性，很容易激發(fā)學(xué)生“一探究竟”的興趣。在讓學(xué)生理解了文言題目的原意之后，教師啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用假設(shè)的方法得出結(jié)論，并進(jìn)行演練、推廣，幫助學(xué)生較為熟練地掌握用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的假設(shè)方法。最后，教師給出明代數(shù)學(xué)家程大位的解法，并編出四句歌訣：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝;七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知?！备嬖V學(xué)生：用假設(shè)法解這類問(wèn)題有局限性，只能解答用3、5、7作除數(shù)的題目，遇到用其他數(shù)作除數(shù)的題目，它就行不通了。從導(dǎo)入到拓展，教師巧妙地把握了數(shù)學(xué)史滲透的時(shí)機(jī)，讓學(xué)生體會(huì)到了我國(guó)古代豐富多彩的數(shù)學(xué)文化，感受到祖國(guó)博大精深的文化底蘊(yùn)，體驗(yàn)到古代數(shù)學(xué)的獨(dú)特趣味，同時(shí)提高了學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

四、有現(xiàn)實(shí)思考

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的在于解決問(wèn)題，數(shù)學(xué)也是在不斷解決問(wèn)題的過(guò)程中得以發(fā)展。是什么樣的魅力讓人們前赴后繼不斷研究和改進(jìn)數(shù)學(xué)？當(dāng)然是更高效、更巧妙地解決問(wèn)題。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史，不僅可以讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)家們的鉆研精神和對(duì)真理的不懈追求，還可以讓他們?cè)跉v史與現(xiàn)實(shí)的對(duì)照中透過(guò)表象把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。任何數(shù)學(xué)問(wèn)題本身都不能持續(xù)吸引學(xué)生的關(guān)注，何況有些問(wèn)題距離學(xué)生的生活實(shí)際時(shí)而接近、時(shí)而遠(yuǎn)離，教師只有帶領(lǐng)學(xué)生沿著人們研究數(shù)學(xué)的歷史脈絡(luò)，將抽象的數(shù)學(xué)概念與具體的歷史發(fā)展過(guò)程結(jié)合起來(lái)，讓學(xué)生憑此回到現(xiàn)實(shí)、回到課堂，繼而把握現(xiàn)在、展望未來(lái)，才更容易讓學(xué)生從關(guān)注數(shù)學(xué)史中的“人”，轉(zhuǎn)向關(guān)注其中的“人”“事”“時(shí)”，進(jìn)而感受數(shù)學(xué)思想、方法和技術(shù)的歷史變遷，提煉數(shù)學(xué)思想發(fā)展的規(guī)律，推動(dòng)學(xué)生形成持久的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

例如，教師在教學(xué)“圓的周長(zhǎng)”時(shí)，關(guān)于“圓周率”的史料是不可或缺的學(xué)習(xí)內(nèi)容。我國(guó)最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中早已有了“周三徑一”的記載;到了公元263年，劉徽采用“割圓術(shù)”計(jì)算圓周率，得到了π的近似值3.141 6;再后來(lái)，祖沖之將圓周率精確到了七位數(shù)，即3.141 592 6和3.141 592 7之間，比國(guó)外早了大約1 000年。如果對(duì)于這段歷史的介紹止步于此，學(xué)生不過(guò)是知道幾個(gè)名字、幾個(gè)數(shù)據(jù)，難以留下深刻印象，未能觸動(dòng)學(xué)生情感，不能引發(fā)學(xué)生的深度思考，也就不能充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史啟迪思想的作用。教師可以嘗試從以下兩方面入手。其一是將學(xué)生拉回?cái)?shù)學(xué)歷史的時(shí)空，通過(guò)多媒體技術(shù)幫助學(xué)生體會(huì)古人的“割圓術(shù)”，將圓逐次內(nèi)接，從正六邊形趨向無(wú)窮多邊形，讓學(xué)生在圓周率的推導(dǎo)過(guò)程中初步感受其中蘊(yùn)含的微積分思想。其二是引入最新的科技發(fā)展前沿信息，自豪地為學(xué)生介紹我國(guó)最新的九章量子計(jì)算機(jī)，展示其強(qiáng)大的算力，同時(shí)讓學(xué)生展開(kāi)想象，想一想用量子計(jì)算機(jī)能否徹底算出圓周率。學(xué)生通過(guò)討論，給出了否定的回答：因?yàn)閳A周率是無(wú)限的，而量子計(jì)算機(jī)的算力再?gòu)?qiáng)也還是有限的，以有限算無(wú)限，當(dāng)然不能得到最終的結(jié)果：學(xué)生在算力探究的過(guò)程中進(jìn)一步感受到了圓周率作為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)史滲透，讓學(xué)生既體驗(yàn)到了我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的執(zhí)著追求和非凡智慧，培育了民族文化自信，又感受到了時(shí)代的發(fā)展與中國(guó)科技的進(jìn)步，激勵(lì)他們不斷進(jìn)取。

數(shù)學(xué)史究其本質(zhì)，就是人類數(shù)學(xué)思想的發(fā)展史。數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要價(jià)值，早已被絕大多數(shù)教育工作者所認(rèn)同。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)史的滲透，就是數(shù)學(xué)教育從數(shù)學(xué)史中汲取養(yǎng)分，讓學(xué)生受到歷史上相關(guān)數(shù)學(xué)思想的啟迪，讓數(shù)學(xué)課堂變得豐富且厚重的過(guò)程。需要注意的是，數(shù)學(xué)教學(xué)是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)工程，任何一個(gè)教學(xué)要素都可能影響教學(xué)效果。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史，不能局限于在原先的教學(xué)設(shè)計(jì)中加入一點(diǎn)數(shù)學(xué)史知識(shí)，以圖增加一些“文化”色彩;數(shù)學(xué)史的積極影響，是讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈，切身感受數(shù)學(xué)這門學(xué)科在發(fā)展過(guò)程中的曲折動(dòng)人之處，開(kāi)闊數(shù)學(xué)視野，觸及數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)?？傊?，數(shù)學(xué)教育不是數(shù)學(xué)與教育的簡(jiǎn)單疊加，同樣的，在數(shù)學(xué)課堂上進(jìn)行數(shù)學(xué)史的滲透，也不能理解為數(shù)學(xué)與歷史的簡(jiǎn)單疊加，這樣只會(huì)喪失本應(yīng)有的教學(xué)針對(duì)性和數(shù)學(xué)史滲透的積極意義。教師只有充分領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)史滲透的重要教學(xué)意義，以淵博的學(xué)識(shí)、進(jìn)取的精神、開(kāi)放的思維和創(chuàng)新的意識(shí)，深入鉆研教材，真正了解兒童，科學(xué)巧妙地在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史，才能展現(xiàn)出數(shù)學(xué)史滲透的價(jià)值，提高課堂教學(xué)的效益。

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作者簡(jiǎn)介：王秋榮（1979— ），江蘇南通人，中小學(xué)一級(jí)教師，主要研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 白聰敏）