趙江甫，劉海

（1.福建江夏學(xué)院數(shù)理教研部，福建 福州 350108；2.華中師范大學(xué)國(guó)家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心，湖北 武漢 430079）

設(shè)K為平面上的有界閉凸域，N為長(zhǎng)度為l的線段，N在K內(nèi)的運(yùn)動(dòng)測(cè)度為凸域K的包含測(cè)度。包含測(cè)度是積分幾何中的重要課題之一，應(yīng)用極其廣泛。在統(tǒng)計(jì)分析中，包含測(cè)度可以對(duì)π 進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算；在幾何概率中，包含測(cè)度不僅可以解決探針?biāo)阉鲉?wèn)題，而且可以為蒲豐（Buffon）投針問(wèn)題及其Laplace 推廣與動(dòng)態(tài)推廣［1］等研究提供實(shí)用快捷的工具；在積分幾何中，包含測(cè)度可用于adwiger 包含問(wèn)題、等周不等式的證明，還可通過(guò)運(yùn)用一系列運(yùn)動(dòng)測(cè)度公式，解決更多幾何問(wèn)題。

包含測(cè)度的求解方法主要有3 種。一是由USPENSKY［2］提出的截面面積求解法。此方法計(jì)算煩瑣，且線段長(zhǎng)度受限制，較適合對(duì)稱性強(qiáng)的簡(jiǎn)單凸域，如矩形域。二是分割法，將已知包含測(cè)度的凸域分割為新的凸域，從而求得新凸域的包含測(cè)度。如將正六邊形分割為6 個(gè)全等的軸對(duì)稱四邊形，用正六邊形域的包含測(cè)度求得四邊形域的包含測(cè)度［3］。此方法計(jì)算量相對(duì)較小，適用范圍亦較小。三是由任德麟［4］提出的限弦函數(shù)法，采用廣義支持函數(shù)、限弦函數(shù)等給出平面凸域的包含測(cè)度一般公式。此方法更簡(jiǎn)潔，適用性更強(qiáng)，但未給出公式中所涉及的廣義支持函數(shù)和限弦函數(shù)，求解這2 個(gè)函數(shù)是關(guān)鍵和難點(diǎn)。

已有研究采用限弦函數(shù)法解決了正六邊形域、三角形域、正方形的外平行集、平行四邊形域、圓域、半圓域、四分之一圓域、橢圓域、半橢圓域的包含測(cè)度問(wèn)題［5-15］，但仍有很多凸域，如正五邊形域、任意四邊形域、任意正多邊形域等的包含測(cè)度問(wèn)題未得到解決，且已有研究成果大多是針對(duì)中心對(duì)稱圖形域的，對(duì)軸對(duì)稱圖形域的研究較少。基于此，本文以等腰梯形域?yàn)槔芯枯S對(duì)稱凸域的包含測(cè)度。雖然文獻(xiàn)［3］采用分割法給出了等腰梯形域包含測(cè)度的計(jì)算公式，但有限制條件“等腰梯形的高不超過(guò)梯形的最短底邊長(zhǎng)”，且沒(méi)有具體結(jié)果。本文嘗試取消該限制條件，給出等腰梯形域包含測(cè)度的具體結(jié)果。

1 預(yù)備知識(shí)

對(duì)于軸對(duì)稱凸域，可充分利用其對(duì)稱性，將對(duì)稱軸作為坐標(biāo)軸，以減少計(jì)算量。

2 等腰梯形域的廣義支持函數(shù)與最大弦長(zhǎng)函數(shù)

3 等腰梯形域的限弦函數(shù)

圖1 當(dāng)θ+φ0 ＜時(shí)σM（φ）的圖像Fig.1 Image of σM（φ）when θ+φ0 ＜

圖2 當(dāng)h ≤2b sin θ ≤≤2b 時(shí)σM（φ）的圖像Fig.2 Image of σM（φ）when h ≤2b sin θ ≤≤2b

圖3 當(dāng)2b sin θ ≤h ≤2b ≤時(shí)σM（φ）的圖像Fig.3 Image of σM（φ）when 2b sin θ ≤h ≤2b ≤

圖4 當(dāng)h ≤2b sin θ ≤2b ≤時(shí)σM（φ）的圖像Fig.4 Image of σM（φ）when h ≤2b sin θ ≤2b ≤

圖5 當(dāng)2b sin θ ≤2b ≤h ≤時(shí)σM（φ）的圖像Fig.5 Image of σM（φ）when 2b sin θ ≤2b ≤h ≤

4 等腰梯形域的包含測(cè)度m（l）

圖6 當(dāng)≥2a時(shí)p（σ，φ）的定義域示意Fig.6 Diagram of domain of p（σ，φ）when ≥2a

① 當(dāng)0 ≤l＜h時(shí)，

圖7 當(dāng)＜2a 時(shí)p（σ，φ）的定義域示意Fig.7 Diagram of domain of p（σ，φ）when ＜2a

圖8 當(dāng)a2+h2 ≤b2，h ≥2a 時(shí)p（σ，φ）的定義域示意Fig.8 Diagram of domain of p（σ，φ）when a2+h2 ≤b2，h ≥2a

4 結(jié) 論

以等腰梯形域?yàn)槔?，討論了軸對(duì)稱凸域的包含測(cè)度問(wèn)題，其他軸對(duì)稱凸域，如正五邊形域可類似討論。給出了等腰梯形域的廣義支持函數(shù)與限弦函數(shù)的求解過(guò)程，同時(shí)給出了當(dāng)a2+h2≤b2時(shí)等腰梯形域的包含測(cè)度的具體結(jié)果（a2+h2＞b2時(shí)方法類似），且取消了“等腰梯形的高不超過(guò)梯形的最短底邊長(zhǎng)”這一限制條件?？衫眠@一結(jié)果，進(jìn)一步推廣Buffon 投針問(wèn)題，求出小針與等腰梯形網(wǎng)格相遇的概率。另外，等腰梯形域的廣義支持函數(shù)與限弦函數(shù)不僅可以解決包含測(cè)度問(wèn)題，還可以解決等腰梯形域上的弦長(zhǎng)分布問(wèn)題，從而將應(yīng)用領(lǐng)域推廣至化學(xué)、材料學(xué)、物理等［16-18］。