崔洪雷，許立波，黃茹，龐超逸

（1.浙大寧波理工學(xué)院商學(xué)院，浙江 寧波 315000；2.浙大寧波理工學(xué)院計(jì)算機(jī)與數(shù)據(jù)工程學(xué)院，浙江 寧波 315000；3.杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018）

多屬性決策是決策者在內(nèi)含多類(lèi)型屬性值的備選方案中選擇最滿(mǎn)意方案的過(guò)程。決策主體認(rèn)知、思維的局限性及模糊性，決策客體屬性的多樣化及復(fù)雜性，令決策者很難做選擇。針對(duì)這一問(wèn)題，ZADEH［1］于1965 年提出模糊集概念，開(kāi)辟了不確定信息描述的新途徑。此后，學(xué)者們不斷拓展，提出了直覺(jué)模糊、區(qū)間模糊、三角模糊、II 型模糊、猶豫模糊、區(qū)間直覺(jué)模糊、直覺(jué)三角模糊等概念［2-8］。其中，猶豫模糊可用多值集合表述決策者的不確定思維，通過(guò)對(duì)決策賦值，增加了靈活性，成為模糊集理論及應(yīng)用發(fā)展的一個(gè)重要研究方向。文獻(xiàn)［9-11］研究了猶豫模糊集成算子、距離、相似度等問(wèn)題，為猶豫模糊集計(jì)算奠定了理論基礎(chǔ)。文獻(xiàn)［12-15］對(duì)語(yǔ)言猶豫模糊集、區(qū)間語(yǔ)言猶豫模糊集、對(duì)偶猶豫模糊集、猶豫三角模糊集等做了拓展性理論研究。

針對(duì)猶豫模糊信息環(huán)境下的多屬性決策問(wèn)題，通常采用 TOPSIS 法［16-17］、VIKOR 法［18-19］、LINMAP 法［20］、投影法及正交投影法［21］等多屬性決策方法，從逼近理想解的角度，確定備選方案的優(yōu)劣順序。其中，投影法［22］和正交投影法［23］因簡(jiǎn)單直觀(guān)、計(jì)算合理備受青睞，被廣泛應(yīng)用于軍事訓(xùn)練［24-25］、利益分配［26-27］、網(wǎng)站及人員評(píng)價(jià)［28-29］、企業(yè)管理結(jié)構(gòu)復(fù)雜度和發(fā)展評(píng)價(jià)［30-31］、醫(yī)療數(shù)據(jù)和廢棄物管理［32-33］等實(shí)踐領(lǐng)域。正交投影法彌補(bǔ)了TOPSIS 法逆序排列的缺點(diǎn)，但由于其原理是比較備選方案與正理想解形成的向量在正負(fù)理想解向量上的投影長(zhǎng)度，因此存在多個(gè)備選方案投影點(diǎn)一致的問(wèn)題?；诖耍墨I(xiàn)［34-35］提出了雙向投影法，即在正交投影法的基礎(chǔ)上補(bǔ)充考慮負(fù)理想解在備選方案與正理想解向量上的投影點(diǎn)，其核心是通過(guò)增加一個(gè)投影長(zhǎng)度達(dá)到便于比較的目的。文獻(xiàn)［36］針對(duì)區(qū)間直覺(jué)模糊信息，構(gòu)建了雙向投影的最大化非線(xiàn)性目標(biāo)規(guī)劃模型。文獻(xiàn)［37］采用雙向投影法，解決了區(qū)間猶豫模糊信息環(huán)境下的供需匹配、資源匹配等雙邊匹配決策問(wèn)題。文獻(xiàn)［38］在屬性值為三角猶豫模糊數(shù)的多目標(biāo)決策中，引入了雙向投影法。文獻(xiàn)［39］拓展了雙向投影法模型，并將其用于處理帶有弱化程度修飾的模糊語(yǔ)言集（LTWHs）信息。文獻(xiàn)［36-39］是雙向投影法的改進(jìn)與應(yīng)用，其貢獻(xiàn)在于緩解決策信息特征丟失、提升決策質(zhì)量等，所用算法的基本原理與文獻(xiàn)［34-35］相同，通過(guò)充分考慮每個(gè)備選方案與正、負(fù)理想解之間的關(guān)系，彌補(bǔ)了正交投影法僅考慮其與正理想解之間關(guān)系所導(dǎo)致的模型缺陷。

綜上所述，投影法是一種較完善合理的決策方法，在決策領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，但仍存在以下問(wèn)題：

第一，設(shè)計(jì)思路主要是計(jì)算投影長(zhǎng)度，本質(zhì)是比較距離。投影法便于分離模與夾角［31-32，40］，既可以考慮備選方案方向，又顧及貼近度。現(xiàn)有投影法通常只比較投影長(zhǎng)度，投影夾角余弦值僅用于計(jì)算投影長(zhǎng)度。

第二，正交投影法和雙向投影法模型均缺少對(duì)決策主體風(fēng)險(xiǎn)抉擇的心理描述。2 種方法均通過(guò)對(duì)備選方案屬性值補(bǔ)長(zhǎng)區(qū)分決策者風(fēng)險(xiǎn)偏好。而補(bǔ)長(zhǎng)操作，在所有集合長(zhǎng)度相等時(shí)，無(wú)法對(duì)決策者主觀(guān)心理進(jìn)行差異化描述；另外，無(wú)論添加的元素是原始數(shù)據(jù)中的最大值、最小值還是平均值，均只能在集合已有元素基礎(chǔ)上添加，添加元素的數(shù)值和個(gè)數(shù)不具變通性。因此，上述2 種模型在刻畫(huà)決策者需求時(shí)均較為粗糙，當(dāng)備選方案間差異較小時(shí)，可能出現(xiàn)排序結(jié)果與決策者實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)偏好誤差較大的情況。

基于以上觀(guān)點(diǎn)，本文提出一種可靈活描述決策者風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避心理的余弦優(yōu)化投影法。在考慮投影長(zhǎng)度的基礎(chǔ)上，用投影夾角表示決策者面對(duì)風(fēng)險(xiǎn)時(shí)的心理傾向，以“同等條件下，保守型決策者更傾向于選擇夾角小、貼近正負(fù)理想解向量的備選方案”作為評(píng)價(jià)規(guī)則，對(duì)方案進(jìn)行排序。同時(shí)，設(shè)置態(tài)度參數(shù)，通過(guò)賦值達(dá)到強(qiáng)化或弱化決策主體風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避心理的目的，令排序結(jié)果更準(zhǔn)確、穩(wěn)定，模型決策有用性得到提升。

1 投影法相關(guān)算法

1.1 正交投影法

正交投影法是利用投影原理，通過(guò)計(jì)算并比較各備選方案中正交投影點(diǎn)與正理想點(diǎn)的距離，判斷方案優(yōu)劣的多屬性決策方法。

圖1 備選方案H1與H2在正交投影法下的比較Fig.1 Comparison of alternative H1 and H2 under vertical projection

1.2 雙向投影法

雙向投影法的核心是，計(jì)算2 個(gè)投影長(zhǎng)度，利用TOPSIS 思想比較貼近度，判斷方案優(yōu)劣。對(duì)于在正交投影法下無(wú)法排序的方案H1與H2，可采用雙向投影法，計(jì)算過(guò)程如下：

（1）計(jì)算投影長(zhǎng)度1

圖2 備選方案H1與H2在正交投影法下的投影點(diǎn)一致Fig.2 Alternative H1 agrees with H2 projection point under vertical projection

經(jīng)計(jì)算，可得排序，結(jié)果為H1?H2。

雙向投影法較好地解決了正交投影點(diǎn)一致情況下方案不可排序的問(wèn)題。但其模型與正交投影法相同，對(duì)決策者風(fēng)險(xiǎn)偏好的描述也是通過(guò)對(duì)較短集合進(jìn)行元素添加實(shí)現(xiàn)，因添加元素的內(nèi)容受限，模型在描述決策者心理傾向上有一定局限性。

2 余弦優(yōu)化投影法

正交投影法和雙向投影法無(wú)法有效刻畫(huà)決策者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，當(dāng)多方案的綜合屬性值非常接近時(shí)，可能出現(xiàn)排序結(jié)果與決策者心理預(yù)期偏差較大的情況。比如，一家企業(yè)的經(jīng)營(yíng)管理層依據(jù)專(zhuān)家評(píng)價(jià)對(duì)投資項(xiàng)目H1、H2進(jìn)行選擇。專(zhuān)家們對(duì)項(xiàng)目H1的評(píng)價(jià)為（50，70），表示項(xiàng)目H1的收益率最低為50%，最高為70%；而對(duì)項(xiàng)目H2的評(píng)價(jià)為（-20，140），即項(xiàng)目H2雖然存在高收益（140%）的概率，但有可能虧損（-20%）。按平均法，兩項(xiàng)目的綜合屬性值均為60%。通常認(rèn)為，保守型決策者傾向選擇H1，放棄可能出現(xiàn)虧損的、具有較高風(fēng)險(xiǎn)的H2。又如，如果對(duì)H1和H2的評(píng)價(jià)分別為（50，70）和（10，120），H1的綜合屬性值為60%，H2的綜合屬性值為65%。雖然H2有微小優(yōu)勢(shì)，但保守型決策者仍有極大可能選擇H1。通常，考慮投資穩(wěn)健性，投資者會(huì)放棄最優(yōu)解與最差解之間波動(dòng)幅度較大的項(xiàng)目H2。

綜上所述，在實(shí)際評(píng)價(jià)與決策工作中，通常需要考慮決策者的主觀(guān)需求，而正交投影法與雙向投影法因其模型只能以元素補(bǔ)長(zhǎng)這一常規(guī)化方法刻畫(huà)決策者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度，無(wú)法根據(jù)決策者心理偏好進(jìn)行靈活描述和主觀(guān)調(diào)整，所以很難從本質(zhì)上反映不同類(lèi)型決策者的風(fēng)險(xiǎn)認(rèn)知。本文對(duì)正交投影模型進(jìn)行了改進(jìn)，將投影長(zhǎng)度和投影夾角相融合，構(gòu)建了可進(jìn)行雙渠道比較的決策模型，設(shè)計(jì)思路如下：

（2）設(shè)置風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度參數(shù)α，提升模型對(duì)決策主體風(fēng)險(xiǎn)偏好描述的細(xì)膩程度。α越大，表示越強(qiáng)調(diào)決策者的保守偏好，反之則越弱化。

對(duì)于正交投影點(diǎn)相同的方案H1與H2，如果強(qiáng)調(diào)決策者風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避心理，可利用余弦優(yōu)化投影模型，選擇投影夾角更小的方案H2。如圖4 所示，β2＜β1，因此排序結(jié)果應(yīng)為H2?H1，這與圖3 所示的雙向投影法下的排序H1?H2不一致。若在計(jì)算過(guò)程中強(qiáng)調(diào)決策者的保守偏好，則可賦予風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度參數(shù)α以較大值，令2 個(gè)方案的綜合屬性值差距增大，方便判斷其優(yōu)劣。

圖3 備選方案H1與H2在雙向投影法下的比較Fig.3 Comparison of alternative H1 and H2 under bidirectional projection

圖4 備選方案H1與H2在余弦優(yōu)化投影法下的比較Fig.4 Comparison of alternative H1 and H2 under cosine optimal projection

圖5 灰靶理論下備選方案H1、H2與球面正負(fù)靶心的距離Fig.5 The distance between the alternative H1 and H2 and the spherical positive or negative target center under gray target theory

3 猶豫模糊信息環(huán)境下的余弦優(yōu)化投影算法

3.1 猶豫模糊集

定義1［9-10］設(shè)X為非空集合，則稱(chēng)從X到［0，1］的子集函數(shù)為猶豫模糊集，記為

3.2 問(wèn)題描述

3.3 余弦優(yōu)化投影法的計(jì)算步驟及排序方法

步驟1 對(duì)猶豫模糊決策矩陣進(jìn)行規(guī)范化處理。

先對(duì)猶豫模糊集合中的所有元素進(jìn)行增序排列，再對(duì)集合長(zhǎng)度及指標(biāo)評(píng)價(jià)規(guī)則進(jìn)行規(guī)范化處理。

（1）統(tǒng)一猶豫模糊集長(zhǎng)度

其中，lij和li'j分別為2 個(gè)猶豫模糊集的元素?cái)?shù)，即猶豫模糊集的長(zhǎng)度。一般情況下，Rij與Ri'j中所含元素?cái)?shù)并不相等，需對(duì)較短的猶豫模糊集進(jìn)行補(bǔ)長(zhǎng)操作，使Rij與Ri'j等長(zhǎng)，即lij=li'j=l。通過(guò)添加最大值、最小值或均值，分別形成激進(jìn)型、保守型或適中型決策矩陣，用于后續(xù)計(jì)算和排序。

（2）統(tǒng)一指標(biāo)評(píng)價(jià)規(guī)則

步驟6 計(jì)算備選方案的綜合屬性值并排序。

設(shè)方案Hi的綜合屬性值為Ci，則其在余弦優(yōu)化投影法下的Ci為

圖6 顯示了當(dāng)態(tài)度參數(shù)α分別取0，0.3，0.6 和1時(shí)，投影夾角對(duì)方案綜合屬性值Ci的影響。投影夾角越小，Ci越大；當(dāng)投影夾角相同時(shí)，α越大，Ci越小，α可描述不同投影夾角下決策者的保守心理差異。

圖6 態(tài)度參數(shù)α 函數(shù)Fig.6 Attitude parametric α function

基于以下考慮，設(shè)0 ≤α≤1。

（1）在模型中，可將決策者的保守心理視作從0～100%的調(diào)節(jié)過(guò)程。當(dāng)α=0 時(shí)，無(wú)需強(qiáng)調(diào)決策者的保守心理，或決策者是完全不保守型決策主體，因此，余弦優(yōu)化投影法的方案排序結(jié)果與正交投影法相同。當(dāng)α=1 時(shí)，最大化強(qiáng)調(diào)決策者保守心理，或決策者是完全保守型決策主體。在實(shí)際應(yīng)用中，決策者可按照自身對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的需求，通過(guò)對(duì)α賦值，從0～100%選擇保守程度，調(diào)節(jié)投影夾角在模型中的貢獻(xiàn)度，得到符合自身保守程度要求的排序。

幾何光學(xué)原理認(rèn)為高頻電磁波的能量沿射線(xiàn)傳播，因此用射線(xiàn)追蹤的方法就可以求解電場(chǎng)?；诳趶綀?chǎng)法計(jì)算拋物反射面天線(xiàn)遠(yuǎn)場(chǎng)時(shí)，先通過(guò)射線(xiàn)跟蹤獲得天線(xiàn)口徑面上的切向電場(chǎng)，然后對(duì)口徑面電場(chǎng)進(jìn)行積分而得到天線(xiàn)的輻射場(chǎng)[13-16]。偏置拋物面的結(jié)構(gòu)如圖7所示。

（2）若擴(kuò)大α的范圍，則可能出現(xiàn)因極端值導(dǎo)致決策排序完全失真的情況。若在［0，1］的基礎(chǔ)上擴(kuò)大α所屬區(qū)間的上下限，如調(diào)整為-1 ≤α≤2。當(dāng)投影夾角為89°時(shí)，若α=-1，則(cos 89°)-1≈0.017 45-1≈57.31；若α=2，則(cos 89°)2≈0.017 452≈0.003 045。極端值對(duì)方案綜合屬性值影響極大，由于強(qiáng)調(diào)投影夾角，使備選方案綜合屬性值發(fā)生過(guò)度扭曲，最終導(dǎo)致排序完全失效。

3.4 余弦優(yōu)化投影法的優(yōu)缺點(diǎn)分析

余弦優(yōu)化投影法的核心在于，基于決策者風(fēng)險(xiǎn)偏好，用投影長(zhǎng)度和投影夾角衡量各備選方案綜合屬性值，解決猶豫模糊集合信息環(huán)境下的多屬性決策問(wèn)題。具有以下優(yōu)點(diǎn)：

（1）與其他投影法相比，余弦優(yōu)化投影法對(duì)決策者風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避心理刻畫(huà)得更細(xì)膩，變通性更強(qiáng)。在正交投影法基礎(chǔ)上，疊加投影夾角余弦值和態(tài)度參數(shù)，分別描述保守型決策者心理及其變化，克服了現(xiàn)有投影法模型缺乏對(duì)決策者心理區(qū)分的局限性，提升了投影法在實(shí)際決策應(yīng)用中的普適性與靈活性。

（2）有利于尋找決策者保守心理下的穩(wěn)健排序?？杀容^保守型、激進(jìn)型和適中型3 種決策矩陣在不同態(tài)度參數(shù)下的計(jì)算結(jié)果，并從中選取穩(wěn)健性最好的排序結(jié)果。能獲取較其他投影方法風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避能力更強(qiáng)的決策結(jié)果，更好地回應(yīng)保守型決策者的實(shí)際需求。

（3）通過(guò)投影長(zhǎng)度和投影夾角雙因素確定方案排序，對(duì)方案間的微小差異更敏感，區(qū)分度更高。不但可以解決正交投影法投影點(diǎn)一致導(dǎo)致的不可排序問(wèn)題，而且較雙向投影法運(yùn)算更簡(jiǎn)單，更便于解釋。

余弦優(yōu)化投影法雖然在保守型決策者中具有一定優(yōu)勢(shì)，但仍有待改進(jìn)。在猶豫模糊集信息環(huán)境下，投影夾角小，備選方案的綜合屬性值波動(dòng)幅度小，穩(wěn)健性好。但在其他信息環(huán)境下，如何正確使用投影夾角，如何在具有肯定、猶豫、否定三元素的數(shù)據(jù)集中表現(xiàn)出穩(wěn)健性，如何在具有評(píng)價(jià)與概率雙元素的概率模糊數(shù)據(jù)集中表現(xiàn)出穩(wěn)健性并進(jìn)行合理整合等，均需進(jìn)一步探討。

4 算例分析

4.1 不同投影法比較

設(shè)某多屬性決策問(wèn)題形成的猶豫模糊集方案為H1、H2、H3、H4，每個(gè)方案包含K1、K2兩個(gè)指標(biāo)。為清楚地分析屬性值特征與排序結(jié)果之間的關(guān)系，本算例不設(shè)權(quán)重。表1 為采用正交投影法、雙向投影法及余弦優(yōu)化投影法計(jì)算得到的綜合屬性值及排序結(jié)果，其中K1、K2為規(guī)范化后的決策矩陣。

表1 正交投影法、雙向投影法與余弦優(yōu)化投影法的綜合屬性值CiTable1 The Ci under vertical projection，bi-directional projection and cosine optimal projection

由表1 可知，在正交投影法中，方案H1與H3的綜合屬性值一致，均為0.115 0，無(wú)法排序。在雙向投影法中，方案H1、H3的綜合屬性值分別為0.209 6，0.194 1，排序結(jié)果為H1?H3。在余弦優(yōu)化投影法中，當(dāng)α=1 時(shí)，方案H1、H3的綜合屬性值分別為0.018 2，0.029 6，排序結(jié)果為H3?H1，與雙向投影法的排序結(jié)果不一致。這主要是由于余弦優(yōu)化投影法強(qiáng)調(diào)了決策者的保守心理，觀(guān)察指標(biāo)K1、K2，可知方案H3中，K1，K22 個(gè)數(shù)值之間差異均更小，波動(dòng)更小。因此，當(dāng)決策者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)容忍度較小，傾向于規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的穩(wěn)健決策時(shí)，H3?H1的結(jié)論顯然更合理。

4.2 城市信用評(píng)價(jià)算例

國(guó)務(wù)院印發(fā)的《社會(huì)信用體系建設(shè)規(guī)劃綱要（2014—2020 年）》，確定了我國(guó)社會(huì)信用體系建設(shè)的功能定位，將其與“加強(qiáng)與創(chuàng)新社會(huì)治理”目標(biāo)緊密結(jié)合。以城市為單位，建設(shè)并完善社會(huì)信用體系已成為我國(guó)構(gòu)建有效治理體系，提升治理能力現(xiàn)代化的重要手段之一。因此，對(duì)城市信用進(jìn)行評(píng)估具有重要的理論及實(shí)踐意義。選取A、B、C 3 個(gè)重點(diǎn)城市，由專(zhuān)家從守信激勵(lì)、失信治理、信用服務(wù)、信用創(chuàng)新和信用環(huán)境5 個(gè)維度分別對(duì)K1～K55 個(gè)指標(biāo)進(jìn)行信用評(píng)價(jià)。其中，K1、K2、K3、K4為效益型指標(biāo)，K5為成本型指標(biāo)，見(jiàn)表2。

表2 城市信用評(píng)價(jià)維度及指標(biāo)Table 2 Urban credit evaluation dimensions and indicators

3 個(gè)城市的信用評(píng)價(jià)信息均可形成猶豫模糊集。如對(duì)城市C 誠(chéng)信傳播程度的評(píng)價(jià)集為｛0.2，0.3，0.4，0.6｝，表示對(duì)城市C，K1指標(biāo)的評(píng)價(jià)存在4種看法，評(píng)分依次為0.2，0.3，0.4 和0.6。表3 為3個(gè)城市信用評(píng)價(jià)增序排列后的原始數(shù)據(jù)。

表3 3 個(gè)城市信用評(píng)價(jià)增序排列后的原始數(shù)據(jù)Table 3 List of raw data after increasing order of credit evaluation in three cities

首先，對(duì)猶豫模糊集進(jìn)行補(bǔ)長(zhǎng)處理，使猶豫模糊集等長(zhǎng)，分別獲得保守型決策矩陣（表4）、激進(jìn)型決策矩陣（表5）及適中型決策矩陣（表6），以分析模型的穩(wěn)健性。

表4 保守型決策矩陣Table 4 Conservative decision matrix

表5 激進(jìn)型決策矩陣Table 5 Radical decision matrix

表6 適中型決策矩陣Table 6 Moderate decision matrix

其次，以保守型決策矩陣為例，給出其排序結(jié)果。先對(duì)決策矩陣中的指標(biāo)進(jìn)行規(guī)范化處理，得到規(guī)范化后的保守型決策矩陣，如表7 所示。再通過(guò)計(jì)算獲得客觀(guān)權(quán)重向量W＝（0.198 1，0.199 4，0.205 0，0.205 0，0.192 6）。根據(jù)現(xiàn)階段對(duì)城市社會(huì)信用體系建設(shè)的要求，按照失信治理＞守信激勵(lì)=信用創(chuàng)新＞信用環(huán)境＞信用服務(wù)的順序，給出各維度主觀(guān)修正系數(shù)c=（0.25，0.30，0.05，0.25，0.15）。由式（3），可得W′ ＝（0.247 9，0.299 6，0.051 3，0.256 5，0.144 6）。由式（4）～式（10），計(jì)算當(dāng)α分別取0，0.5，1 時(shí)，A、B、C 3 個(gè)城市的綜合屬性值，得到排序結(jié)果，如表8 所示。

表8 保守型決策矩陣排序結(jié)果Table 8 Ranking of conservative decision matrix

最后，采用相同的方法，計(jì)算激進(jìn)型決策矩陣和適中型決策矩陣的綜合屬性值并進(jìn)行排序，結(jié)果見(jiàn)表9 和表10。

表9 激進(jìn)型決策矩陣排序結(jié)果Table 9 Ranking of radical decision matrix

表10 適中型決策矩陣排序結(jié)果Table 10 Ranking of moderate decision matrix

由表8 可知，對(duì)于保守型決策矩陣，當(dāng)α=0.5 和1 時(shí)，余弦優(yōu)化投影法得到的城市A、B 排序與其他2種方法存在差異。正交投影法得到的城市A、B 的綜合屬性值差距非常?。?.105 4-0.103 8=0.001 7）。觀(guān)察表3 中數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，城市A 多項(xiàng)指標(biāo)的數(shù)值差距較城市B 小，分布更均勻，說(shuō)明對(duì)城市A 的評(píng)價(jià)統(tǒng)一度更高、爭(zhēng)議更小。對(duì)保守型決策者來(lái)說(shuō)，A?B 的排序顯然更合理。同時(shí)，α取值越大，越強(qiáng)調(diào)決策者的保守心理，采用余弦優(yōu)化投影法，城市A、B 的綜合屬性值差距越大。如當(dāng)α=1 時(shí)，城市A、B 的綜合屬性值差距（0.079 1-0.070 5=0.008 6）大于當(dāng)α=0.5 時(shí)兩城市的綜合屬性值差距（0.087 5-0.083 3=0.004 2）。說(shuō)明模型中增加的投影夾角余弦值及態(tài)度參數(shù)有助于提升投影法對(duì)備選方案的區(qū)分度。

由表9 和表10 知，采用正交投影法，城市A、B的激進(jìn)型決策矩陣（0.155 1-0.068 7=0.086 3）綜合屬性值與適中型決策矩陣（0.100 6-0.073 6=0.027 0）綜合屬性值差距較大。此時(shí)，無(wú)論α是否變化，余弦優(yōu)化投影法得到的城市A、B 的排序始終與其他2 種方法的排序一致，說(shuō)明本方法合理可靠。

5 結(jié) 論

相較于正交投影法及雙向投影法，本文提出的余弦優(yōu)化投影法利用投影夾角和態(tài)度參數(shù)靈活描述決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好，計(jì)算簡(jiǎn)單且區(qū)分度高，模型具有合理性及穩(wěn)定性。當(dāng)采用正交投影法所得的各備選方案的結(jié)果一致或非常接近時(shí)，若強(qiáng)調(diào)決策者保守心理（α＞0），余弦優(yōu)化投影法與雙向投影法的排序結(jié)果可能不同，這時(shí)需要決策者根據(jù)自身風(fēng)險(xiǎn)偏好做出決策。因此，在需要考慮決策者風(fēng)險(xiǎn)偏好的實(shí)際決策應(yīng)用中，可采用以下標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行方案排序：若在不同態(tài)度參數(shù)α下所有類(lèi)型決策矩陣的排序結(jié)果均一致，則排序結(jié)果的不確定性最小，結(jié)論可靠；若不同決策矩陣的排序結(jié)果不一致，則保守型決策者可選擇強(qiáng)調(diào)投影夾角的排序結(jié)果，因其在同等條件下，綜合屬性值波動(dòng)幅度較小、相對(duì)穩(wěn)健，具有一定的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避作用。

本文提出的余弦優(yōu)化投影法是在猶豫模糊信息下對(duì)投影法的有益擴(kuò)展，可用于考慮決策者風(fēng)險(xiǎn)偏好的實(shí)際決策問(wèn)題。