王志堅

【摘要】本文旨在闡述以希沃一體機與網(wǎng)絡(luò)畫板（離線播放器）為主要教學設(shè)備，開展《任意角的三角函數(shù)》的教學活動。筆者通過動態(tài)演示，輔助學生進行數(shù)學思維，理解任意角與單位圓交點，建立三角函數(shù)與交點坐標的一一對應關(guān)系，從而讓學生形成三角函數(shù)的數(shù)學概念，并更好地發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的規(guī)律性。

【關(guān)鍵詞】網(wǎng)絡(luò)畫板;高中數(shù)學;三角函數(shù)

在信息化2.0的背景下，高中數(shù)學教學應當有效應用計算機信息技術(shù)，逐步實現(xiàn)高中數(shù)學信息化教學，幫助學生理解透徹所學到的數(shù)學知識，落實高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)，從而提高學生的數(shù)學學習成績，保障高中數(shù)學教學質(zhì)量。三角函數(shù)是高中數(shù)學最重要的函數(shù)之一，是最典型的周期函數(shù)，是描述客觀世界中表現(xiàn)周期現(xiàn)象變化規(guī)律的基本數(shù)學模型，在提升學生數(shù)學抽象邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)上也具有不可替代的重要作用。在思想方法上，本設(shè)計著重概念的形成，通過分析、探究、概括思維的邏輯加工，依據(jù)已有三角函數(shù)的知識基礎(chǔ)，重新認識任意角三角函數(shù)的定義，并在后續(xù)的解題上，強化定義的形成和運用。作為《任意角的三角函數(shù)》的教學重點，任意角三角函數(shù)的定義將貫穿課程始終。從單位元的出現(xiàn)，到終邊交點坐標與函數(shù)之間的聯(lián)系。與已有經(jīng)驗不同，三角函數(shù)的對應關(guān)系不以“代數(shù)運算”為媒介，而是以“幾何元素之間的對應”，強調(diào)三角函數(shù)得到的過程，最終形成定義。網(wǎng)絡(luò)畫板是專業(yè)的數(shù)學教學平臺，為教師和學生提供一個操作的環(huán)境，讓數(shù)學真正動起來。通過互聯(lián)網(wǎng)，廣大教師在平臺上共享課件資源，并根據(jù)自己的教學需要重新編輯制作。學生也能夠利用網(wǎng)絡(luò)畫板進行自主探究，培養(yǎng)學習數(shù)學的興趣。基于上述背景，筆者決定使用網(wǎng)絡(luò)畫板進行三角函數(shù)的輔助教學。

一、具體實施

1.教學問題診斷

已有的基礎(chǔ)知識可能成為本節(jié)知識學習的羈絆。一方面，初中階段我們已經(jīng)在直角三角形的前提下，初步掌握了三角函數(shù)中正弦、余弦、正切的定義，即直角三角形中的各邊比值。而在本節(jié)內(nèi)容學習中，由于角的范圍拓展，三角函數(shù)無法通過直角三角形給予更多的支持，同時定義也由原來的“邊的比值”變?yōu)椤白鴺说膶P(guān)系”，這在理解上讓學生很難轉(zhuǎn)變，乃至部分學生始終希望能讓三角函數(shù)的定義回歸到“邊的比值”上，無法完成本節(jié)課程的內(nèi)容學習。另一方面，在本冊書中，我們先后學習了函數(shù)的性質(zhì)及包括指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等初等函數(shù)，確定了“以代數(shù)運算”為媒介的學習載體。而本節(jié)內(nèi)容，三角函數(shù)的建立以“幾何元素之間的對應”為模型，這在認識上必須采取措施破除定勢，幫助學生搞清楚三角函數(shù)的“三要素”，特別是要先明確“給定一個角，如何得到對應的三角函數(shù)值”的操作過程，從而得出定義。

2.溫故知新

以初中已有三角函數(shù)定義為基礎(chǔ)，說明已有知識基礎(chǔ)對于任意角的限制，引出本節(jié)課程內(nèi)容學習的必要性。如圖1。

3.以自然現(xiàn)象為背景，引入任意角三角函數(shù)概念

筆者以PPT觀察為教學活動（四季更替、潮汐現(xiàn)象），提出問題，引出學生了解“周期現(xiàn)象在現(xiàn)實生活中大量存在”，從而引入任意角三角函數(shù)概念。如圖2。

4. 概念生成，引入網(wǎng)絡(luò)畫板輔助教學

引入單位圓，并將角放置于單位圓中，終邊與單位圓產(chǎn)生。此過程中特別需要強調(diào)“一一對應”—即角、終邊、終邊與單位圓交點及其坐標均唯一。根據(jù)角的范圍擴充，我們需要一個一般性的方法來重新定義三角函數(shù)。通過在直角坐標系中角的終邊與單位圓的交點，我們可以建立三角函數(shù)的模型，并通過交點坐標，從而言之有物地刻畫出三角函數(shù)的定義。

以銳角情況為基礎(chǔ)，給出三角函數(shù)定義，繼而推廣到任意角。思考：如圖3，RT△ABC中，∠C=90°，若已知a=3，試求sinA，cosA，tanA的值。

解：由初中已掌握直角三角形中三角函數(shù)的定義，sinA=a/c=3/5，cosA=b/c=4/5，tanA=a/b=3/4

思考：銳角三角函數(shù)（在單位圓中）若|OP|=r=1，則以原點O為圓心，以單位長度為半徑的圓，稱為單位圓。

sinα=MP/OP=b? cosα=OP/OP=a? tanα=MP/OM=b/a

然而，學生對引入單位圓的原因難以理解，傳統(tǒng)地使用畫圖的方法難以讓學生深度學習本節(jié)課的知識。因此，筆者引入網(wǎng)絡(luò)畫板進行輔助。利用網(wǎng)絡(luò)畫板的軌跡、計算、旋轉(zhuǎn)、跟蹤功能，能夠?qū)⑶€較為準確、直觀地展示出來，體會數(shù)形結(jié)合的思想。如圖4。在明確三角函數(shù)定義的基礎(chǔ)上，依據(jù)交點坐標與函數(shù)的關(guān)系，我們可以有效地探討三角函數(shù)的對應關(guān)系，包括符號的判斷。角在不同象限對于三角函數(shù)值變化的影響，配以動態(tài)過程演示，強化三角函數(shù)的定義及相關(guān)簡單性質(zhì)的理解。

5.學生反饋與教師反思

課后，教師對學生進行問卷調(diào)查，并根據(jù)學生的學習成果進行反思，對網(wǎng)絡(luò)畫板的應用進行修改。

二、教學成效

1.實施效果

課堂效果整體情況：本節(jié)課在A班共52名同學參與，使用了網(wǎng)絡(luò)畫板進行輔助教學，通過課堂作業(yè)反饋，有46名同學能正確完成課堂練習題目，正確率達到88.46%。另有一節(jié)在B班的同課異構(gòu)課，沒有使用網(wǎng)絡(luò)畫板進行輔助，參與課堂的同學為49名，能正確完成課堂練習題目的同學有36名，正確率為73.47%。

課后作業(yè)：A班測試卷滿分100，平均分81.2分;B班測試卷滿分100分，平均分71.9分。

2.應用前景

從上述課堂實踐和課后作業(yè)表明，網(wǎng)絡(luò)畫板可以幫助學生強化“一個角，一個三角函數(shù)值”的對應關(guān)系，區(qū)別與一次函數(shù)、二次函數(shù)的“代數(shù)運算”。三角函數(shù)強調(diào)的是幾何要素關(guān)系，在一般函數(shù)概念引導下的“下位學習”，由三角函數(shù)對應關(guān)系的獨特性，讓學生再一次認識函數(shù)的本質(zhì)。

因此，本節(jié)課的實施效果證明了網(wǎng)絡(luò)畫板對于高中數(shù)學函數(shù)教學是可行的。在信息化教學2.0的背景下，以信息技術(shù)手段為載體，通過對網(wǎng)絡(luò)畫板的合理利用，能幫助學生落實數(shù)學建模能力，提高高中學生數(shù)學學科的核心素養(yǎng)。

未來，我們將在校內(nèi)推廣網(wǎng)絡(luò)畫板，著重幫助高二、高三的學生突破學科上的教學難點。

參考文獻：

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