例析三類抽象函數(shù)問(wèn)題的解法

華錦梅

抽象函數(shù)沒(méi)有具體的解析式，因而抽象函數(shù)問(wèn)題難度較大，很多同學(xué)在解題時(shí)經(jīng)常不知該如何下手.下面結(jié)合實(shí)例來(lái)談一談三類常見(jiàn)的抽象函數(shù)問(wèn)題的解法.

一、求抽象函數(shù)的定義域

對(duì)于抽象函數(shù)定義域問(wèn)題，我們通常采用換元法來(lái)求解.在解題時(shí)，需根據(jù)函數(shù) f（x）中括號(hào)內(nèi)的式子具有等價(jià)性來(lái)進(jìn)行換元，將括號(hào)內(nèi)的式子用一個(gè)新的變量來(lái)代替，根據(jù)函數(shù)的定義域建立關(guān)系式，便可求得新變量的取值范圍，進(jìn)而求得所求函數(shù)的定義域.

例1.已知函數(shù) y =f（3x -1）的定義域?yàn)閇-1，3]，那么函數(shù) y =f（x +1）的定義域?yàn)椋ǎ?

A.[-1，3] ?B.[-2，2]?? C.[-5，7]?? D.[-3，9]

解：因?yàn)?y =f（3x -1）的定義域?yàn)閇-1，3]，所以-1≤ x ≤3，

那么-3≤3x ≤9，即-4≤3x -1≤8，

令 t =3x -1，所以 f（t）的定義域?yàn)閇-4，8]，再令 t =x +1，則-4≤x +1≤8，

解得-5≤ x ≤7，

因此函數(shù) y =f（x +1）的定義域[-5，7]，本題的正確選項(xiàng)為C.

在求 f（g（x））的定義域時(shí)，同學(xué)們需明確 f（g（x））中的 g（x）與 f（x）中的 x 是等價(jià)的，若 f（x）的定義域?yàn)閇a，b]，則 g（x）的值域?yàn)閇a，b].

二、求抽象函數(shù)的值域

求抽象函數(shù)的值域問(wèn)題綜合性較強(qiáng).在解題時(shí)，需首先明確函數(shù)的定義域、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等，然后在一個(gè)周期的單調(diào)區(qū)間內(nèi)討論函數(shù)的最大值、最小值，從而求得函數(shù)的值域.對(duì)于復(fù)合函數(shù)，需遵循“同增異減”的原則來(lái)求解.

例2.若函數(shù) y =f（x）的值域?yàn)閇0，3），且函數(shù)在R 上為增函數(shù)，則函數(shù) y = 的值域?yàn)椋ǎ?

A.[1， ]? B.[1， ）? ?C.[1， ]? ?D.[1， ）

解：令t =f（x），則 t ∈[0，3），

則 y = = ?，t ∈[0，3），

由 y = 可知函數(shù)在[0，1）上單調(diào)遞減，在（1，3）上單調(diào)遞增，

而函數(shù) y =f（x）在 R 上為增函數(shù)，

所以原函數(shù)在[0，1）上單調(diào)遞減，在（1，3）上單調(diào)遞增，

所以當(dāng) t =1時(shí)，y = 取最小值1，又因?yàn)楫?dāng) t =3時(shí)，y = ，

因此函數(shù) y = 的值域?yàn)閇1， ） .

該函數(shù)式較為復(fù)雜，我們需令 t =f（x），通過(guò)換元，將函數(shù)式拆分為兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，再分別在兩個(gè)單調(diào)區(qū)間上討論函數(shù)的單調(diào)性，便可順利求得函數(shù)的最值.

三、判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性

由于抽象函數(shù)沒(méi)有具體的解析式，因此在判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，我們需根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)x1<x2，討論 f（x1）-f（x2）與0之間的大小，或者 f（x2）與1之間的大小，從而判斷出函數(shù) f（x）的單調(diào)性.對(duì)于復(fù)合函數(shù)，需遵循“同增異減”的原則來(lái)求解.

例3.已知函數(shù) f（x）為 R 上恒大于0.當(dāng) x >0時(shí)， f（x）>1，對(duì)于任意x，y∈ R 均有 f（x +y）=f（x）·f（x）成立，且 f（1）=2，證明：函數(shù) f（x）是增函數(shù).

解：令 x1，x2∈ R ，且 x1<x2，

因此 x2-x1>0，所以 f（x2-x1）>1，

所以 f（x1）=? ?f（x1）? =? ?f（x1）? =f（x2-x1）>1，

因?yàn)楹瘮?shù) f（x）為 R 上恒大于0，

所以 f（x2）>f（x1），所以函數(shù) f（x）是增函數(shù).

我們根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè) x1<x2，討論f（x1）與 1之間的大小關(guān)系，從而判定函數(shù)的單調(diào)性.

雖然抽象函數(shù)問(wèn)題的難度較大，但我們只要明確函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性，從這些性質(zhì)中確定函數(shù)的特征、圖象，便能順利求得函數(shù)的定義域、值域，判斷出函數(shù)的單調(diào)性.

（作者單位：江蘇省如皋市搬經(jīng)中學(xué)）