分擔(dān)值與亞純函數(shù)的正規(guī)性

張海俠

(許昌學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,河南 許昌 461000)

亞純函數(shù)的正規(guī)族理論是復(fù)分析的一個(gè)重要組成部分,也是研究復(fù)分析問題的一個(gè)主要工具.上世紀(jì)初廣泛應(yīng)用在復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)中.P.Montel引進(jìn)了正規(guī)族的概念并且給出了一個(gè)判定函數(shù)族正規(guī)的基本定則,即Montel正規(guī)定則，1931年F.Marty在Montel定則的基礎(chǔ)上建立了另一個(gè)著名Marty正規(guī)定則.后來,陳懷惠和顧永興[1]對(duì)Marty定則進(jìn)行了推廣與改進(jìn).W.Schwick[2]把亞純函數(shù)正規(guī)族與分擔(dān)值結(jié)合起來考慮亞純函數(shù)正規(guī)族理論問題,研究發(fā)現(xiàn)分擔(dān)值與正規(guī)定則之間的聯(lián)系，隨后,FANG M L等[3],PANG X C等[4],FANG M L等[5]把雙向分擔(dān)值與導(dǎo)數(shù)結(jié)合起來考慮亞純函數(shù)的正規(guī)性問題并取得了一系列的研究成果，把單項(xiàng)分擔(dān)值與導(dǎo)數(shù)結(jié)合起來考慮亞純函數(shù)的正規(guī)性問題，得到與導(dǎo)數(shù)有單向分擔(dān)值的亞純函數(shù)族的正規(guī)定則.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)f(z)和g(z)是區(qū)域D內(nèi)的兩個(gè)亞純函數(shù),a是一個(gè)復(fù)數(shù),若f(z)-a與g(z)-a在D內(nèi)有相同的零點(diǎn),則稱f(z)與g(z)在區(qū)域D內(nèi)分擔(dān)a,或稱IM分擔(dān)a.記為

f(z)=a?g(z)=a.

如果f(z)-a的零點(diǎn)為zn(n=1,2,…),且zn(n=1,2,…)也是g(z)的零點(diǎn)(不計(jì)重?cái)?shù)),則記為

f(z)=a?g(z)=a.

引理4[7](Hurwitz定理) 設(shè)函數(shù)序列{fn(z)}在區(qū)域D內(nèi)解析,并且在D內(nèi)閉一致收斂到一個(gè)不恒為零的函數(shù),γ是D內(nèi)可求長(zhǎng)的閉曲線,其內(nèi)部屬于D,且不經(jīng)過f(z)的零點(diǎn),則存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n≥N時(shí),在γ內(nèi)部,fn(z)和f(z)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是相同的.

引理5[8]設(shè)F是區(qū)域D上的亞純函數(shù),且h(z)為D上的亞純函數(shù),k∈N若對(duì)于任意的z∈D,有h(z)≠0，假設(shè)對(duì)任意的f∈F，滿足f(z)=0?f′(z)=h(z)?|f″(z)|≤c(c為常數(shù))，則F在D上正規(guī).

引理7[10]若F滿足引理5的條件,則F在D-0上正規(guī).

2 亞純函數(shù)的正規(guī)性

2005年,張國(guó)明、孫偉、龐學(xué)誠(chéng)給出了下面結(jié)論：

命題[8]設(shè)F是平面上區(qū)域D上的亞純函數(shù)族,如果對(duì)于任意的f∈F,都有

f(z)=0 ?f′(z)=z? |f″(z)|≤c,

其中c為常數(shù)且f(0)≠0，則F在D上正規(guī).

該結(jié)論是把雙向分擔(dān)值與導(dǎo)數(shù)結(jié)合起來考慮亞純函數(shù)的正規(guī)性問題，若把單項(xiàng)分擔(dān)值與導(dǎo)數(shù)結(jié)合起來考慮亞純函數(shù)的正規(guī)性問題，將得到一個(gè)新的有價(jià)值的新結(jié)論，即是與導(dǎo)數(shù)有單向分擔(dān)值的亞純函數(shù)族的正規(guī)定則.

定理1 設(shè)F是區(qū)域D上的一族亞純函數(shù),若對(duì)于任意的f∈F,有

(1)f(z)=0?f′(z)=z?f″(z)=0.

(2)若f(0)≠0，則F在D上正規(guī).(不再限制零點(diǎn)的級(jí)).

在復(fù)平面C的意緊子集上依球面距離內(nèi)閉一致成立，其中，g為非常數(shù)的整函數(shù)g#(ζ)≤g#(0)=2.

因此，g(ζ)=0?g′(ζ)=1.

g(ζ)=0 ?g′(ζ)=1 ?g″(ζ)=0，

由引理2,引理3知g(ζ)=ζ-b,所以g#(ζ)≤1與g#(0)=2矛盾，從而結(jié)論成立.

類似方法(ⅰ)，可得出G=0 ?G′=z?G″=0.

(2)若G為多項(xiàng)式，結(jié)合G′(ζ)=ζ為非常數(shù),則G的次數(shù)k至少為2.

若G(0)≠0,由G(ζ)=0 ?G′(ζ)=ζ,所以G的零點(diǎn)均為單零點(diǎn).

又因G的次數(shù)為k,知方程G(ζ)=0有k個(gè)不同的解,而方程G′(ζ)=ζ有k-1個(gè)不同的解,與G(ζ)=0 ?G′(ζ)=ζ矛盾，所以，G(0)=0且G′(0)=0,ζ=0為G(ζ)的至少二重零點(diǎn).

由此可見，g#(0)≤1與g#(0)=2矛盾.則F1在z=0處正規(guī)，從而定理結(jié)論(2)成立.

通過上面的討論可以看到，在利用亞純函數(shù)正規(guī)族的有關(guān)理論、亞純函數(shù)正規(guī)族及其導(dǎo)數(shù)與分擔(dān)值結(jié)合考慮的前提下,得出了涉及導(dǎo)數(shù)與單向分擔(dān)值的亞純函數(shù)的正規(guī)性定理,把亞純函數(shù)正規(guī)性的范圍做了一些推廣,得到了關(guān)于亞純函數(shù)正規(guī)性的重要理論結(jié)果.