多措并舉，助力學(xué)生理解乘法分配律

應(yīng)亞敏

[摘 要]日本教育學(xué)博士佐藤學(xué)認(rèn)為，學(xué)習(xí)就是通過(guò)與外部世界的對(duì)話，最終達(dá)到與自己內(nèi)心世界對(duì)話的目的，在此過(guò)程中，學(xué)習(xí)者重新建立了與外部世界和內(nèi)心世界的交互關(guān)系，并給萬(wàn)事萬(wàn)物重新下定義。這種對(duì)意義與關(guān)系的構(gòu)建就是學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)乘法分配律時(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷類似的心靈陶冶，通過(guò)現(xiàn)實(shí)情境與外部世界對(duì)話，激活原有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，多角度理解等價(jià)關(guān)系，完整經(jīng)歷分配律的意義構(gòu)建和對(duì)左右轉(zhuǎn)化關(guān)系的檢驗(yàn)，固化數(shù)學(xué)模型，這樣，學(xué)生對(duì)乘法分配律的學(xué)習(xí)就更深入。

[關(guān)鍵詞]乘法分配律;數(shù)學(xué);經(jīng)驗(yàn);情境

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2022）05-0038-03

教師的一切教學(xué)行為都要為學(xué)生服務(wù)，不但要讓學(xué)生學(xué)有所獲，在知識(shí)上滿載而歸，還要讓學(xué)生學(xué)得輕松、學(xué)得愉快、學(xué)有所成，在心靈上得到藝術(shù)熏陶。要想達(dá)到這種境界，教師必須揣摩和鉆研學(xué)生的學(xué)習(xí)情緒和心理狀態(tài)。建構(gòu)主義心理學(xué)認(rèn)為，“事物間的內(nèi)在聯(lián)系”與“對(duì)事物內(nèi)在規(guī)律的思考”是構(gòu)建概念的核心。由此，筆者認(rèn)為，只有引導(dǎo)學(xué)生探索知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，并且通過(guò)邏輯性的思考，對(duì)所提取的知識(shí)進(jìn)行重構(gòu)和剖析，對(duì)原有概念進(jìn)行二次加工和再生，才能將書本上的知識(shí)轉(zhuǎn)化成學(xué)生的知識(shí)養(yǎng)分，并入學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中并與原先的知識(shí)體系融通。

因此，教師必須思考：如何銜接新舊知識(shí)？如何設(shè)計(jì)有效的問(wèn)題，通過(guò)問(wèn)題牽引和帶領(lǐng)學(xué)生突破重難點(diǎn)？此外，還應(yīng)該設(shè)計(jì)好教學(xué)策略，讓學(xué)生心甘情愿地完成自主構(gòu)建?；谝陨险J(rèn)識(shí)，筆者以人教版教材第八冊(cè)的“乘法分配律”一課為例，談?wù)剛€(gè)人心得，以期拋磚引玉。

“乘法分配律”是小學(xué)階段一個(gè)享有特殊地位的運(yùn)算定律，它是唯一“跨級(jí)”的運(yùn)算律，它橫跨一級(jí)運(yùn)算（加法）和二級(jí)運(yùn)算（乘法），比起其他單級(jí)運(yùn)算定律，它的性質(zhì)更活躍，使用范圍更廣泛，當(dāng)然，理解和掌握起來(lái)也更費(fèi)力。對(duì)乘法分配律的嫻熟應(yīng)用，標(biāo)志著學(xué)生對(duì)四則混合運(yùn)算的學(xué)習(xí)已經(jīng)達(dá)標(biāo)。不僅如此，乘法分配律還可以作為兩位數(shù)乘法豎式成立的算理，也可以作為矩形周長(zhǎng)公式的代數(shù)理論依據(jù)，它還是相遇問(wèn)題公式的數(shù)理支撐。同時(shí)，解決日常生活中的問(wèn)題也少不了乘法分配律。

一、賦予生活情境，喚醒休眠經(jīng)驗(yàn)

緊貼現(xiàn)實(shí)生活，創(chuàng)設(shè)學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)的教學(xué)情境，能較好地喚醒學(xué)生沉睡的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和潛在的記憶片段。教材以植樹(shù)活動(dòng)為話題，出示了植樹(shù)活動(dòng)中學(xué)生挖坑、栽樹(shù)、提水、澆灌等活動(dòng)環(huán)節(jié)。教師教學(xué)時(shí)不妨先出示主題圖（如下圖），讓學(xué)生根據(jù)畫面說(shuō)一說(shuō)看到了什么，也可以把圖中配文轉(zhuǎn)述一遍，再組織學(xué)生根據(jù)這些信息提出一些在學(xué)生知識(shí)范圍內(nèi)能解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題。學(xué)生提出的問(wèn)題可能會(huì)五花八門，而“參加植樹(shù)活動(dòng)的學(xué)生共有多少？”這個(gè)問(wèn)題正當(dāng)其時(shí)，為學(xué)習(xí)乘法分配律提供了入口。

信息：山坡上一共聚集了25個(gè)小組，每組里4人負(fù)責(zé)挖坑、種樹(shù)，2人負(fù)責(zé)抬水、澆樹(shù);每組要種5棵樹(shù)，每棵樹(shù)要澆2桶水。

第一問(wèn)：一共有多少人參與了這次植樹(shù)活動(dòng)？

這個(gè)問(wèn)題可以說(shuō)是老問(wèn)題，也是做基本統(tǒng)計(jì)時(shí)必須直面的問(wèn)題。求“一共有多少人參與了這次植樹(shù)活動(dòng)”，這是從一年級(jí)開(kāi)始就一直不斷出現(xiàn)的問(wèn)題。顯然，這涉及兩個(gè)部分?jǐn)?shù)與總數(shù)之間的合并對(duì)應(yīng)關(guān)系，只是在方法上做了一些調(diào)整，當(dāng)幾個(gè)部分?jǐn)?shù)相等同時(shí)，直接換用乘法簡(jiǎn)算。

第二問(wèn)：你打算提取哪些信息？

提取有用信息是解決問(wèn)題的前提，也是解決問(wèn)題的先決條件。創(chuàng)設(shè)植樹(shù)活動(dòng)情境，可以喚起學(xué)生的記憶，讓學(xué)生在熟悉的情境中對(duì)數(shù)量和數(shù)量關(guān)系重新做出有敘事性的解讀，使學(xué)生能借助事情發(fā)展邏輯和生活常識(shí)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，而學(xué)生按照生活處事邏輯，一般會(huì)出現(xiàn)兩種做法，先算出每組的人數(shù)，再求出25組的總?cè)藬?shù)，列式為（4+2）×25，或者先分別求出25組的種樹(shù)人數(shù)和抬水人數(shù)，再算全員總?cè)藬?shù)，列式為4×25+2×25。

這種導(dǎo)入法正好符合構(gòu)建主義的核心思想。學(xué)生為了找到分配律的內(nèi)在規(guī)律，必會(huì)先找到與外部世界（生活情境）的聯(lián)系，而欲在情境中找規(guī)律，就需要事先篩選信息。問(wèn)題是求植樹(shù)的總?cè)藬?shù)，那么解決這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題需要哪些有用條件？這種思考本身就是一個(gè)搭建數(shù)學(xué)思維與外部世界關(guān)系的契機(jī)。學(xué)生需要一一甄別各條信息，看哪些是對(duì)求出結(jié)果有幫助的，哪些是對(duì)求出結(jié)果沒(méi)有幫助的。經(jīng)過(guò)一番分析，學(xué)生對(duì)這種數(shù)學(xué)與情境之間的關(guān)系更加明朗：要求出總?cè)藬?shù)，需要提取每組人數(shù)以及組數(shù)，這是一層關(guān)系，而每組參與植樹(shù)的人又是分工合作的，每組都是4人負(fù)責(zé)挖坑、種樹(shù)，2人負(fù)責(zé)抬水、澆樹(shù)，因此，每組參與植樹(shù)的人數(shù)是2+4的組合，總組數(shù)是25。于是，這種關(guān)系越來(lái)越清晰。這為后面構(gòu)建分配律的內(nèi)在世界的關(guān)系奠定了基礎(chǔ)。

二、全方位立體解讀，促進(jìn)意義建構(gòu)

意義建構(gòu)是建構(gòu)主義的理論基礎(chǔ)，是指學(xué)習(xí)者結(jié)合自己的經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備，對(duì)外來(lái)的陌生信息進(jìn)行重新編排，并按照自己的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)特征來(lái)加工和改造原有信息，從而按照自己的邏輯語(yǔ)言來(lái)重新讀取已經(jīng)被編譯的信息，獲得帶有自己意識(shí)形態(tài)的理解。在教學(xué)“乘法分配律”時(shí)，從發(fā)現(xiàn)左右兩邊的式子等值，到追問(wèn)原因，教師可以分層展開(kāi)教學(xué)，促使學(xué)生通過(guò)對(duì)不同意義的理解來(lái)掌握其本質(zhì)。

1.以果導(dǎo)因，發(fā)現(xiàn)相等

算式1：（4+2）×25=150（人）

算式2：4×25+2×25=150（人）

思考：（4+2）×25與4×25+2×25這兩個(gè)算式之間是不是可以畫等號(hào)？一方面，學(xué)生馬上能夠根據(jù)結(jié)果相同，推斷出兩個(gè)算式等值;另一方面，從事理層面看，解決的是同一個(gè)問(wèn)題“一共有多少人參與了這次植樹(shù)活動(dòng)？”，由此可以斷定兩個(gè)算式求的是一個(gè)目標(biāo)量。當(dāng)然，這是一個(gè)淺易的道理，也是一個(gè)微不足道的發(fā)現(xiàn)，此時(shí)的思考是單薄直白的，這顯然不夠分量，只有從不同的角度、用不同的方法去進(jìn)行建構(gòu)才能使思維更活躍。

2.深度加工，證明相等

剛才是借助計(jì)算結(jié)果、事理來(lái)證明兩個(gè)算式是相等的，而運(yùn)算定律的學(xué)習(xí)要學(xué)生從邏輯上推理論證出兩者相等，形象思維必須轉(zhuǎn)化為抽象思維，也就是拋離植樹(shù)背景，拋離計(jì)算結(jié)果，單單通過(guò)對(duì)算式的等價(jià)變換來(lái)證明它們相等。

思考：算式1求積，算式2求和，“積”怎么會(huì)跟“和”相等？這看似是一個(gè)無(wú)趣的問(wèn)題，卻考驗(yàn)著學(xué)生對(duì)運(yùn)算意義和運(yùn)算規(guī)則的理解能力和處理能力。學(xué)生既要理解四則運(yùn)算的運(yùn)算意義，又要掌握四則混合運(yùn)算的計(jì)算法則，只要時(shí)間充裕，學(xué)生還是能夠參透一些門道的：算式1是兩數(shù)之和與25相乘，所以是求積;算式2是將兩個(gè)數(shù)分別與25相乘，再相加，所以是求和;其實(shí)它們并無(wú)區(qū)別。

教師因勢(shì)利導(dǎo)，學(xué)生就能順利理解算式1是求6個(gè)25的和，算式2的4個(gè)25加2個(gè)25合起來(lái)也是6個(gè)25。通過(guò)一個(gè)“積”與“和”怎會(huì)相等的幼稚問(wèn)題，喚醒了學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生運(yùn)用低年級(jí)學(xué)過(guò)的“幾個(gè)□加幾個(gè)□等于‘幾加幾’個(gè)□”來(lái)證明兩個(gè)算式相等。認(rèn)知心理學(xué)研究表明，如果人們將陌生的信息轉(zhuǎn)化改造成熟悉的語(yǔ)言后儲(chǔ)存起來(lái)，那么這些信息保存的時(shí)間會(huì)更長(zhǎng)，提取和回憶時(shí)會(huì)更便捷。學(xué)生在理解乘法分配律的運(yùn)行機(jī)制時(shí)，實(shí)際上就是將它轉(zhuǎn)化成熟悉語(yǔ)言“6個(gè)□=4個(gè)□+2個(gè)□”（甚至可以更直觀：□□□□□□=□□□□+□□）后加以理解記憶，從計(jì)算結(jié)果相等，到具體情境中的目標(biāo)相等（相同），再到脫離情境從運(yùn)算意義上推出兩個(gè)算式意義相等，多個(gè)角度聯(lián)合論證，立體化地建構(gòu)了運(yùn)算律的合理性。

不難看出，意義的建構(gòu)屬于“事物內(nèi)部的關(guān)系”，也可以理解為“事物內(nèi)部的運(yùn)行規(guī)律”，但是內(nèi)部意義的建構(gòu)依然可以與外部世界（問(wèn)題情境）發(fā)生聯(lián)系，這是第一層意義上的建構(gòu)。（4+2）×25與4×25+2×25這兩個(gè)算式的相等關(guān)系，可以放到情境中理解：（4+2）×25的意義就是先求出一組的人數(shù)，然后再求出25組的總?cè)藬?shù);4×25+2×25則是先分別求出25組中負(fù)責(zé)挖坑、種樹(shù)的人數(shù)和負(fù)責(zé)抬水、澆樹(shù)的人數(shù)，最后將兩部分的人數(shù)相加求出總?cè)藬?shù)。這是第一層意義建構(gòu)，也就是用外部意義來(lái)建構(gòu)內(nèi)部意義。二重建構(gòu)則是純粹的內(nèi)部建構(gòu)，內(nèi)部建構(gòu)則既可以自我建構(gòu)，對(duì)這個(gè)等式進(jìn)行運(yùn)算上的解釋，也可以降維解構(gòu)，與低年級(jí)的表征勾連起來(lái)，如利用□□□□□□=□□□□+□□來(lái)建構(gòu)。

三、深層檢驗(yàn)對(duì)等關(guān)系，固化數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)應(yīng)既包括知識(shí)結(jié)論經(jīng)驗(yàn)，又包括推理經(jīng)驗(yàn)。只有釋放巨大的空間，讓學(xué)生開(kāi)展個(gè)性化的思考，然后進(jìn)行共性化的展示交流，才能全方位地深刻解剖問(wèn)題，逐步使解題思路清晰有條理，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解。

如上述“乘法分配律”的教學(xué)中，在定律的歸納到應(yīng)用中，細(xì)節(jié)不可缺位，教師應(yīng)該指引學(xué)生嚴(yán)密論證數(shù)量關(guān)系，對(duì)運(yùn)算律的結(jié)構(gòu)特征洞若觀火，再借助練習(xí)掌握定律，從理論上和形式上固化數(shù)學(xué)模型。

1.觀察細(xì)節(jié)，發(fā)現(xiàn)異同

細(xì)節(jié)往往是在細(xì)心觀察、認(rèn)真思考后才發(fā)現(xiàn)的。教學(xué)“乘法分配律”時(shí)，教師通常會(huì)按照先闡釋算理后構(gòu)建形式的順序教學(xué)，一旦部分學(xué)生理解后，教師就急于讓學(xué)生馬上運(yùn)用，這樣倉(cāng)促趕進(jìn)度，勢(shì)必會(huì)讓學(xué)生理解不透，只好死記硬背蒙混過(guò)關(guān)。所以筆者認(rèn)為，有必要再花時(shí)間進(jìn)行二次觀察，找出兩個(gè)算式的細(xì)微差別，延長(zhǎng)探究時(shí)間，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)運(yùn)算律結(jié)構(gòu)特征的透析。

思考一：算式1和算式2的結(jié)果相等，觀察它們的形式有什么不同之處。

學(xué)生能發(fā)現(xiàn)兩處差異：第一是符號(hào)上的差異，算式1含有括號(hào)，算式2沒(méi)有;算式1包含一個(gè)“+”和一個(gè)“×”，算式2則含有一個(gè)“+”和兩個(gè)“×”。第二是數(shù)字上的差異，算式1只有3個(gè)數(shù)，分別是4、2、25，算式2則含有4個(gè)數(shù)，分別是4、25、2、25。

思考二：算式2里為何會(huì)有兩個(gè)25呢？你怎么理解這兩個(gè)25？在算式1里，4、2這兩個(gè)數(shù)明明是加數(shù)，到了算式2中怎么變成乘數(shù)了呢？

思考三：用自己的話解釋一下兩個(gè)算式的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系。

學(xué)生發(fā)現(xiàn)，從左往右看，兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先將這兩個(gè)加數(shù)分別與乘數(shù)相乘求積，再將兩部分乘積加起來(lái);從右往左看，求同一個(gè)數(shù)分別與另兩個(gè)數(shù)相乘所得積的和，可以先求出另兩個(gè)數(shù)的和，再來(lái)與這個(gè)共用乘數(shù)相乘。學(xué)生的這種個(gè)性化表達(dá)展示了他們自己對(duì)乘法分配律的獨(dú)特理解。

內(nèi)部意義的建構(gòu)，可以從理論上建構(gòu)，也可以從形式上建構(gòu)，而對(duì)于乘法分配律的建構(gòu)，完全可以從形式上得到新的建構(gòu)，因?yàn)榉峙渎傻姆?hào)印記非常明顯，兩個(gè)算式的符號(hào)邏輯也非常緊密，無(wú)論是數(shù)字上還是運(yùn)算符號(hào)上，都可以形成獨(dú)立的建構(gòu)。數(shù)字上加數(shù)變乘數(shù)，括號(hào)外的乘數(shù)從出現(xiàn)一次到出現(xiàn)兩次，加號(hào)維持不變，一個(gè)乘號(hào)變成兩個(gè)乘號(hào)，還有括號(hào)的有無(wú)，都可以完成對(duì)形式的建構(gòu)，它們同時(shí)又能形成合力，完成立體的形式建構(gòu)。這種格式上的變化其實(shí)與算理意義上的建構(gòu)是統(tǒng)一的，也是相互依存的，雖然講解時(shí)可以分開(kāi)來(lái)講，但是最后完成內(nèi)部規(guī)律的全面檢驗(yàn)、模式定型時(shí)，必須要求學(xué)生綜合運(yùn)用、融會(huì)貫通。

2.過(guò)渡練習(xí)，得到內(nèi)化

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，針對(duì)一些基礎(chǔ)概念、基本原理的學(xué)習(xí)，僅能回憶起來(lái)并套用公式是低要求，更高要求是達(dá)到理解性的記憶。乘法分配律在小學(xué)階段是一個(gè)難理解的運(yùn)算律，它是四年級(jí)的知識(shí)，但到了六年級(jí)依然能夠難倒不少人，這不僅僅是遺忘那么簡(jiǎn)單。

由此可見(jiàn)，在理解新知后及時(shí)鞏固訓(xùn)練極為重要。只有通過(guò)練習(xí)進(jìn)行強(qiáng)化記憶，運(yùn)算定律才能在不斷的實(shí)踐中得以反復(fù)檢驗(yàn)，并在反復(fù)檢驗(yàn)中得到確認(rèn)、鞏固和深化，最終成為學(xué)生的一種潛在意識(shí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)模型成為學(xué)生的一種本性化的思維模式。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 李芳芳.舉分配律一隅而反應(yīng)用三隅：鑒于乘法分配律中舉一反三教學(xué)思想的應(yīng)用[J].新課程，2021（38）.

[2] 蘆建章.調(diào)正教學(xué)偏差 促進(jìn)意義構(gòu)建：由“乘法分配律”教學(xué)現(xiàn)象引發(fā)的思考[J].小學(xué)教學(xué)參考，2021（26）.

[3] 朱樂(lè)平.如何研究一節(jié)課的數(shù)學(xué)教材？[J].教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2021（Z2）.

[4] 柯媛.“乘法分配律”中日教材比較研究：以冀教版和東京版為例[J].教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2021（Z2）.

[5] 黃秀惠.探尋內(nèi)在關(guān)聯(lián) 深化認(rèn)知理解：“乘法分配律”的教學(xué)思考[J].新課程導(dǎo)學(xué)，2021（22）.

（責(zé)編 吳美玲）