精解二面角

王永軍

（重慶市廣益中學校，重慶 400065）

中學數(shù)學中的二面角是立體幾何的基礎(chǔ)概念。求解二面角的大小在數(shù)學解題中具有基礎(chǔ)的、重要的意義。在傳統(tǒng)的建立空間直角坐標系求解二面角大小的過程中，由于選取的是平面的法向量，而這個法向量方向的選取是隨意的（常常無法“精確”），直接導(dǎo)致精解二面角的大小困難。本文試著從二面角原始的定義出發(fā)，探討精解二面角的大小的過程與方法，并給出具體求解一個二面角大小的實例。

一、二面角與求角

（一）二面角

設(shè)平面α和平面β相交于直線l，稱α-l-β為二面角（如圖所示）。它由2個半平面及這2個半平面的公共直線組成。

在二面角α-l-β中，在直線l上取點O，在平面α內(nèi)作AO⊥l、在平面β內(nèi)作BO⊥l，則AO、BO可以確定平面γ。在平面γ內(nèi)，稱∠AOB為二面角α-l-β的平面角，稱∠AOB的大小為二面角α-l-β的大小。易見∠AOB∈（0，π）。

（二）用向量求角

即平行（同向平移、同向共線）不改變向量的夾角。

用向量求角：

用平面的法向量求角的局限性：

如下圖所示，在二面角α-l-β中，在直線l上取點O，在半平面α內(nèi)作AO⊥l、在半平面β內(nèi)作BO⊥l，則二面角α-l-β的大小即為∠AOB。

這個求解是精準的，求解過程是機械的、可以復(fù)制的。最大的方便在于取點的任意性、作垂直的機械性、運算過程的可復(fù)制性。

在空間向量的坐標運算中，可以完全拋開立體圖形的復(fù)雜線面關(guān)系，將幾何問題代數(shù)化，這也是向量強勁的工具作用的直接應(yīng)用。在立體幾何的二面角大小的求解中，這種通解通法的數(shù)學解題方法應(yīng)大力推廣，它降低了思維層次，化復(fù)雜為簡單。

二、精解二面角舉例

下面的例題選自2020年全國普通高校招生統(tǒng)一考試數(shù)學試題，原題求解二面角A-E-A1的正弦值，回避了二面角是銳角，還是鈍角之分別。本題為精確求解二面角，將給出求解此二面角的2種常見思路。

例 如圖1所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點E、F分別在棱D1、B1上，且2ED=ED1，BF=2FB1。若AD=1、AB=2、AA1=3，求二面角A-EF-A1的大小。

圖1

圖3

解析：

由題，以點C1為坐標原點，C1D1、C1B1、C1C所在的直線分別為x、y、z軸建立如圖2所示的空間直角坐標系C-xyz。經(jīng)過簡單計算，才容易得到C1(0，0，0)，A1(2，1，0)，A(2，1，3)，E(2，0，2)，F(xiàn)(0，0，1)。

圖2

（一）用平面的法向量求解

（二）用同向向量精確求解

這里λ1=0，顯然點A2與點E重合，可以全然不管，機械運算即可。

此即為二面角的大小。

這里無須再深入探討，結(jié)果是唯一的、確定的。它幾乎沒有復(fù)雜的立體幾何的味道，幾何中巧妙的輔助線、“作—證—求”的推理模式在這里已經(jīng)不需要了。

用同向向量精確求解二面角，解題過程是可以完全照搬照套的。下面再給出一個補例，可以對照傳統(tǒng)的“作—證—求”綜合理解二面角的求法。

圖4

（1）求證：平面QAD⊥平面ABCD；

（2）求二面角A-QD-B的平面角的余弦值。

解析：

（1）本小題的證明主要為后續(xù)的推證、求解提供前置性的準備工作，是基本運算、基礎(chǔ)技能，證明過程非常常規(guī)、簡單。

事實上，如圖5所示，取AD的中點E。在等腰ΔQAD中，有QE⊥ED；

圖5

而ED、EC?平面ABCD，且EDEC=E，故QE⊥平面ABCD；又QE?平面QAD，于是平面QAD⊥平面ABCD。

（2）現(xiàn)在有了面面垂直作為鋪墊，下面從兩個角度探討二面角A-QD-B的平面角余弦值的求法。

用向量的方法精解二面角必須先建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，寫好點的坐標，可以機械地進行求解。

（三）用同向向量精確求解

如圖5所示，取BC的中點F。以點E為坐標原點，以EF、ED、EQ所在的直線分別為x、y、z軸建立如圖5所示的空間直角坐標系E-xyz。由（1），立即可得E(0，0，0)，A(0，-1，0)，B(2，-1，0)，D(0，-1，0)，Q(0，-1，0)。

此即為所求。

（四）構(gòu)造二面角的平面角

本小題比較“特殊”，可以用純幾何的方法直接構(gòu)造二面角的平面角來求解。

如圖6所示，在同一平面內(nèi)作AG⊥QD，交直線QD于點G。易證QD⊥平面AGB（由平面QAD⊥平面ABCD、底面ABCD是正方形，得BA⊥平面QAD，BA⊥QD，從而得證）。于是構(gòu)造出二面角A-QD-B的平面角為∠AGB。

圖6

在ΔQAD中，由面積相等可得

三、結(jié)束語

數(shù)學中二面角的求解涉及簡單的空間幾何體的作圖、識圖及用圖的能力，借此可以培養(yǎng)良好的空間想象能力、數(shù)學運算能力。本文對二面角的大小的精確求解，過程與方法具有一般性，屬于通解通法的數(shù)學運用，完全可以復(fù)制、模擬操作，具有較強的工具性與指導(dǎo)性，教學中可以大力加強這方面的引導(dǎo)。突出空間向量的代數(shù)運用、橋梁作用，降低思維難度，為學生減負、為“考試”加分、為生活添彩。

數(shù)學運算中小小的簡化運算切不可忽視，本文“等價～”變換、非零同向向量對夾角運算的代換等，都有深刻的數(shù)學解讀。不但簡化了數(shù)學運算過程，化難為易，也給數(shù)學解題帶來了樂趣。