王春紅

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);除法計(jì)算;探索算理

中圖分類號(hào)：G623.5? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ?文章編號(hào)：1009-010X（2022）07-0059-06

教學(xué)內(nèi)容：冀教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.通過讀題、理解題意并列出解決問題的算式，自主地理解分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的意義。

2.在教師的引導(dǎo)下，通過畫圖、分析、推理等理解一個(gè)數(shù)除以整數(shù)（0除外）等于這個(gè)數(shù)乘整數(shù)的倒數(shù)。

3.通過多個(gè)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)和整數(shù)除以整數(shù)的計(jì)算，能掌握一個(gè)數(shù)除以整數(shù)（0除外）等于這個(gè)數(shù)乘整數(shù)的倒數(shù)。

教學(xué)重點(diǎn)：通過多個(gè)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)和整數(shù)除以整數(shù)的計(jì)算，能掌握一個(gè)數(shù)除以整數(shù)（0除外）等于這個(gè)數(shù)乘整數(shù)的倒數(shù)。

教學(xué)難點(diǎn)：在教師的引導(dǎo)下，通過畫圖、分析、推理等理解一個(gè)數(shù)除以整數(shù)（0除外）等于這個(gè)數(shù)乘整數(shù)的倒數(shù)。

課前準(zhǔn)備：

作業(yè)紙、課件、紅筆

教學(xué)過程：

一、談話導(dǎo)入

師：剛才我們都互相認(rèn)識(shí)了，聊天過程中聊到了我們北方人的主食以面食為主，尤其比較喜歡吃大餅，咱們班同學(xué)也有很多同學(xué)喜歡吃，這節(jié)課我們就從分大餅開始。

二、自主探索

（一）初步探索算理

1.明晰學(xué)習(xí)要求

師：請(qǐng)同學(xué)們自己讀一讀題目和要求。

課件出示例題和要求：王老師買了1/2張大餅，平均分給3個(gè)人吃，每人吃多少?gòu)埓箫?？試著算一算，并想辦法解釋算法的合理性。（如寫一寫、畫一畫或折一折等）

師：你覺得兔博士的要求中哪個(gè)對(duì)你很重要？

生1：我覺著“并想辦法解釋算法的合理性很重要”。

師：哦，其他同學(xué)呢？

生2：我覺得“如寫一寫、畫一畫、折一折”這些方法也很重要。

師：同學(xué)們的審題能力都很強(qiáng)！請(qǐng)同學(xué)們自己試著算一算，并想辦法解釋算法的合理性。

2.自主探索

學(xué)生自己探索計(jì)算方法，并和同桌說說自己的想法，師巡視，找出不同方法的作品。

【評(píng)析】此環(huán)節(jié)先讓學(xué)生明晰了學(xué)習(xí)的任務(wù)，以及完成任務(wù)的基本方法，培養(yǎng)了學(xué)生閱讀、理解文本的能力，再給學(xué)生提供充分的自主操作時(shí)間，為交流性學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

3.全班交流

師：我發(fā)現(xiàn)這幾位同學(xué)的的做法各有不同，請(qǐng)他們到前邊給大家說說是怎么想的，怎么做的。（投影展示第一份作品，學(xué)生到前邊講解）

（1）平均分半張餅的

生1：王老師買來■張大餅，按生活實(shí)際來算是一半的大餅，平均分給3個(gè)人就是平均分成3份，我們可以列出算式■÷3，根據(jù)一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)就等于乘它的倒數(shù)，÷3就等于×■，最后等于■張。

師：聲音很洪亮，并且提前預(yù)習(xí)了今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容。知道結(jié)論很重要，但解釋其中的道理更重要。如果其他同學(xué)和他想法不一樣，可以向他提問題。

生2：我覺得你的算式是對(duì)的，但畫的半張餅不是平均分的。

生1：這點(diǎn)我承認(rèn)，我畫的不太標(biāo)準(zhǔn)。

師：沒關(guān)系，我這里有根紅筆，你用它改一改。（生1遲疑）提建議的同學(xué)你到前邊幫他分一分。（生2到展臺(tái)修改圖形）

生1：謝謝你，我剛才有點(diǎn)緊張，筆誤。

師：不用緊張，這位同學(xué)幫我們平均分了這半張餅，雖然筆有點(diǎn)粗，但意思我們都能看明白。其他同學(xué)還有疑問嗎？

生3：你列的除法算式，為什么又變成了乘法算式？

師：英雄所見略同，我也有這個(gè)疑問，但解決咱們共同的問題前先來解決我的另一個(gè)疑問，平均分就分吧，分完不就得了，為什么列除法算式？

生1：因?yàn)榘选鰪堬炂骄殖?份，要求1份是多少，所以用除法計(jì)算。

師：你表達(dá)的很完整，不但把事情敘述清楚了，還把問題也說明白了，只有這樣我們才知道把一個(gè)數(shù)平均分成幾份，求1份是多少要用除法計(jì)算，這和整數(shù)除法的意義是一樣的。請(qǐng)剛才的同學(xué)再來說說你的問題。

生3：你列的是除法算式，為什么又變成了乘法？

生1：半張餅平均分成3份，每個(gè)人是■份，而■是■張餅其中的1份，所以變成了■×■。

生4：我覺得你說的有點(diǎn)問題，■張餅平均分成3份，每個(gè)人吃的是1份，而不是■份，■表示的是3份里的1份，也就是■的■，求■的■是多少用乘法計(jì)算，所以除法轉(zhuǎn)化成乘法，最后結(jié)果是整張餅的■。（生1點(diǎn)頭贊同）

師：解釋的很清楚，這位同學(xué)明白了嗎？

生3：明白了，把除法轉(zhuǎn)化成學(xué)過的乘法，分?jǐn)?shù)除法就變得簡(jiǎn)單多了。

師：剛才同學(xué)之間的對(duì)話讓我們明白了把半張餅平均分成3份，求其中的1份是多少，用除法計(jì)算。求半張餅中3份里的1份就是求■的■是多少，所以除法轉(zhuǎn)化成了乘法，除以3變成了乘3的倒數(shù)。（師邊小結(jié)邊板書計(jì)算過程）分?jǐn)?shù)乘法過去學(xué)過，最后結(jié)果是■張餅。好神奇呀，除法變成乘法。這位同學(xué)能給大家在圖里指出■張餅在哪里嗎？（生1在圖里打上勾）

生5：老師，我還有疑問，剛才同學(xué)提到每人吃了整張餅的■，我覺得這里的單位“1”不是整張餅，而是■張餅。

師：我把你的問題記錄在黑板上。（師在黑板一側(cè)板書■“1”？）

【評(píng)析】通過半張餅的示意圖，解決了為什么用除法算和除法計(jì)算轉(zhuǎn)化為乘法計(jì)算的重點(diǎn)知識(shí)，特別是引發(fā)了學(xué)生對(duì)單位“1”的質(zhì)疑，促使全體學(xué)生的思維向更深刻的一步推進(jìn)。

（2）整張餅平均分成6份

師：這里還有三位同學(xué)的畫法我覺得挺有趣，我們一起來看看。（投影同時(shí)展示3份作業(yè)）有方餅、有圓餅，計(jì)算結(jié)果和剛才的都一樣，但是看著你們這三張圖，我有點(diǎn)不明白，明明我就買了半張餅，但你們畫的都是一張餅，你們的意思是讓我把另半張餅也買回來？

【評(píng)析】在算理的探討中，弄清單位“1”是誰是思維上的一個(gè)坎兒，教師用看似糊涂的一個(gè)問題，直接把學(xué)生思維的焦點(diǎn)引向?qū)挝弧?”的思考，教師“裝糊涂”的方式很巧妙。

生1：另半張餅是想象出來的。

師：另半張餅沒有買，為什么要想象著畫出來？

生2：我覺得半張餅是整張餅的■，所以單位“1”應(yīng)該是整張餅，所以我畫了一張餅。在圖里我標(biāo)出了買來的■張餅的位置，再把半張餅平均分成3份，取了其中的1份，就是求■的■是多少，所以除法又轉(zhuǎn)化成了乘法，最后結(jié)果■張餅。

生3：你畫的陰影部分不是整張餅的■呀？

師：（師向這個(gè)學(xué)生豎大拇指）咱倆心有靈犀，你和我想到一塊兒了。你的圖畫錯(cuò)了嗎？

生2：我的圖沒有畫錯(cuò)，我補(bǔ)充一下就行。（生拿筆繼續(xù)分餅）

師：你為什么不把想象的半張餅平均分成4份、5份呢？為什么平均分成了3份？（生2抓頭，又搖頭。）還沒想好，其他同學(xué)幫他解釋一下。

生4：因?yàn)橘I來的半張餅平均分成了3份，如果想象的半張餅不平均分成3份，那么整張餅就不是平均分了。

師：你說的很有道理，看來所有的事情都是和平均分有關(guān)系的，那他這樣補(bǔ)充完整后，陰影面積就是整張餅的■了。

生5：老師，他想象的半張餅是用虛線畫的，所以平均分的線也應(yīng)該是虛線，應(yīng)該和下邊這幅圖里的圓餅一樣。

生2：剛才是筆誤，我改過來。（生重新畫分割線）

師：關(guān)于他畫的圖還有疑問嗎？右邊這幅圖畫的也是方餅，說說你的想法。

生6：我也畫了一張方餅，■張餅是整張餅的■，所以單位“1”是整張餅，我用的都是實(shí)線。半張餅平均分成3份，每人吃其中的1份，就是求的是多少，所以變成了乘法。沒買的半張餅也平均3份，那么整張餅就平均分成了6份，每個(gè)人就吃整張餅的■，就是我畫陰影的地方。

師：你說的很詳細(xì)，但剛才你提到了整張餅平均分成了6份，這個(gè)6是怎么來的，你能再說說嗎？

生6：買來的半張餅平均分成了3份，想象的半張餅也得平均3份，那么整張餅就平均分成了2個(gè)3份，也就是6份。

師：說的更清楚了，謝謝你。再來請(qǐng)這位畫圓餅的同學(xué)說說自己的想法。

生7：老師，我的算式只寫了乘法，應(yīng)該用除法計(jì)算，我把它改過來。（生改正錯(cuò)誤）

師：好細(xì)致的小男孩，好樣的！

生7：我用圓形表示一張餅，把它平均分成2份，用陰影表示買來的半張餅，再把買來的半張餅平均分成3份，想象出的半張餅也平均分成3份，整張餅就平均分成了6份。每人吃其中的1份，再涂上一層陰影，這個(gè)雙陰影就占整張餅的■。

師：剛才提到■張餅是單位“1”的女生，你現(xiàn)在覺著單位“1”應(yīng)該是誰？

生8：應(yīng)該是整張餅。

師：大家的推理能力真是太棒了，我們聊明白了單位“1”。既然要求大家解釋算法的合理性，那這幾張作品中，你覺著誰的更合理一些。

生9：我覺得這個(gè)圓餅的比較合理，他用虛線表示出了想象的半張餅，還用虛線進(jìn)行平均分，因?yàn)槎际窍胂蟮?，所以用虛線更合理。

生10：我也覺得這個(gè)圓餅更合理，不但用到了實(shí)線和虛線，還用單陰影和雙陰影區(qū)分了買來的半張餅和每人吃的餅，這樣更清楚。

（3）線段圖法

師：兩位同學(xué)說的真好，其他同學(xué)課下可以借鑒他的方法，把自己的圖形進(jìn)行修改。還有一位同學(xué)也用到了實(shí)線和虛線，但他畫的卻不是大餅，我們一起來看看。（展臺(tái)展示線段圖畫法）這位同學(xué)在圖上清楚地寫出了自己的想法，還有補(bǔ)充的嗎？

生：我用一條實(shí)線表示■張餅，右邊畫一條虛線表示想象的半張餅，結(jié)合剛才這位同學(xué)的畫法，我應(yīng)該把想象的半張餅也平均分成3份。（生在圖上進(jìn)行修改）這樣就能看出■的■就是整張餅的■了，也就是■張餅。

師：借助實(shí)線和虛線不但進(jìn)行了平均分，還驗(yàn)證了結(jié)果是否正確，你很有思想。

（4）借助分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)和分?jǐn)?shù)意義來解釋

師：還有一位同學(xué)的算法很獨(dú)特。大家能看懂嗎？（投影展示作品）

生1：我不太明白為什么要把■通分成■，你能給我講講嗎？

生2：■除以3我們不會(huì)計(jì)算，所以我把■通分成■，表示3個(gè)■，3個(gè)■平均分成3份，一份就是1個(gè)■，也就是■張餅。

師：這種推理也能解釋明白■的由來，你的做法很巧妙！

4.小結(jié)

師：通過大家的互相交流，我們終于弄明白了，■張餅平均分成3份，求一份是多少?gòu)埓箫灒褪乔蟆龅摹鍪嵌嗌?，所以除法轉(zhuǎn)化成了乘法，也就是■乘3的倒數(shù)。我們巧妙地借助虛線看出半張餅就是整張餅的■，把半張餅平均分成3份，那么整張餅就平均分成了2個(gè)3份，■張餅的■就是整張餅的■，也就是■張餅?？丛蹅兺瑢W(xué)們多棒呀！我們自己找到了分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的方法。

【評(píng)析】學(xué)生在一個(gè)情緒上輕松自然，思維上積極投入的氛圍中，先從半張餅的圖形中建構(gòu)一個(gè)數(shù)除以整數(shù)的數(shù)學(xué)模型，再通過對(duì)比幾種不同的圓形和方形餅的分法，自己找到比較合理的解釋，最后從平面圖形抽象到線段再到分?jǐn)?shù)意義的推理，發(fā)現(xiàn)了知識(shí)間的內(nèi)在邏輯，學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力得到了很好地發(fā)展。本環(huán)節(jié)落實(shí)了第2條學(xué)習(xí)目標(biāo)：在教師的引導(dǎo)下，通過畫圖、交流等理解一個(gè)數(shù)除以整數(shù)（0除外）等于這個(gè)數(shù)乘整數(shù)的倒數(shù)。

（二）再次驗(yàn)證算理

師：剛才我們把半張餅平均分給3個(gè)人吃，如果分餅的人數(shù)多一些，你還會(huì)算嗎？（課件出示試一試的題）同學(xué)們默讀題目，自己算一算，把計(jì)算過程寫在作業(yè)紙上。（投影展示一個(gè)學(xué)生的計(jì)算）

師：請(qǐng)這位同學(xué)給大家講講最后的■張餅是怎么算出來的？

生：我就是按剛才大家說的方法算出來的，半張餅平均分給5個(gè)人吃，每個(gè)人吃的就是■的■是多少，所以除法轉(zhuǎn)化成了乘法，結(jié)果就是■張餅。

師：你不但寫的整齊，解釋的也很清晰，真好！他的想法和大家的一樣嗎？（生表示一樣）計(jì)算結(jié)果呢？（生都點(diǎn)頭）

（三）逐步完善算法

師：剛才我們把人數(shù)增多了，如果買餅的張數(shù)再多些呢？（課件出示例2：王老師買來2張餅，平均分給5個(gè)人，每人吃多少?gòu)堬?？）?qǐng)同學(xué)們們繼續(xù)幫著分一分。

師：給大家講講你是怎么分的這2張餅？

生1：把2張餅平均分給5個(gè)人，求每個(gè)人吃多少?gòu)堬炗贸ㄓ?jì)算。2÷5就是取2張大餅中的■，所以÷5變成了×■，最后得出■張大餅。大家明白了嗎？

師：剛才大家慌忙計(jì)算時(shí)，我發(fā)現(xiàn)一位同學(xué)早早就算完了，他是直接寫出結(jié)果的，我們請(qǐng)他說說是怎么想的？

生3：被除數(shù)作分子，除數(shù)作分母，除號(hào)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)線，所以直接得出■這個(gè)結(jié)果。

師：我明白了，這是我們過去學(xué)過的一個(gè)知識(shí)，他利用了分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系，學(xué)以致用，真好！原來這部分知識(shí)我們是通過觀察幾組除法算式和分?jǐn)?shù)得到了它們之間的關(guān)系，但并不知道為什么，今天學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算方法后，證明了我們過去的算法也是對(duì)的。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是這樣，前后之間的知識(shí)都是有聯(lián)系的。

【評(píng)析】通過學(xué)習(xí)，學(xué)生體會(huì)到新方法很好地解釋了舊知識(shí)的正確性，建立起新舊知識(shí)間的聯(lián)系。

（四）歸納算法

師：這節(jié)課我們一直在自己嘗試著算呀、算呀（師手指板書），算著算著有點(diǎn)兒發(fā)現(xiàn)嗎？

生1：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，就等于分?jǐn)?shù)乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)。

師：說的挺有道理，還有補(bǔ)充嗎？

生4：我覺得整數(shù)除以整數(shù)也可以這樣，黑板上第二個(gè)算式就是整數(shù)除以整數(shù)，也可以轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘另一個(gè)整數(shù)的倒數(shù)。

師：分?jǐn)?shù)和整數(shù)既然都可以，那我們就把它們叫做一個(gè)數(shù)，這就是我們這節(jié)課一起研究的一個(gè)數(shù)除以整數(shù)的計(jì)算方法。（板貼計(jì)算法則并板書課題）請(qǐng)同學(xué)們自己讀一讀計(jì)算方法，用自己的方法記憶一下。（生自己默讀或做筆記）

師：我寫的計(jì)算方法中有0除外，都知道什么意思吧？（生都表示明白）

【評(píng)析】結(jié)合算理推導(dǎo)過程和板書，學(xué)生自主歸納出一個(gè)數(shù)除以整數(shù)的計(jì)算法則，落實(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)3，這種“動(dòng)態(tài)的結(jié)果”防止了學(xué)生機(jī)械的記憶，加深了對(duì)算理的理解。

三、拓展延伸

師：今天我們一直在分大餅，分著分著就學(xué)習(xí)了一個(gè)數(shù)除以整數(shù)的相關(guān)知識(shí)。生活中還有很多這樣的事情，請(qǐng)你找到這樣的例子，寫一篇小日記。這節(jié)課就上到這，下課！

【評(píng)析】在學(xué)生已有知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上布置作業(yè)，使所學(xué)的知識(shí)得到拓展與延伸。

總評(píng)：

《一個(gè)數(shù)除以整數(shù)》是在學(xué)生學(xué)習(xí)了整數(shù)除法、分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算方法以及倒數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。在計(jì)算教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，提高其數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的研究方向之一。王老師執(zhí)教的這節(jié)課以發(fā)展學(xué)生的推理能力作為教學(xué)設(shè)計(jì)的核心，有兩個(gè)突出亮點(diǎn)：

1.巧妙點(diǎn)撥，真正實(shí)現(xiàn)了生生互動(dòng)式學(xué)習(xí)

課堂教學(xué)常常以對(duì)話為主要互動(dòng)方式，王老師擯棄傳統(tǒng)的互動(dòng)方式，讓學(xué)生在動(dòng)手操作的基礎(chǔ)上進(jìn)行展示性交流，并站在學(xué)生的角度考慮問題，用幾個(gè)疑問“你們的意思是讓我把另半張餅也買回來？另半張餅沒有買，為什么要想象著畫出來？”向?qū)W生請(qǐng)教，學(xué)生有了一種安全感和愉悅感，激發(fā)出思維的潛能，打開了“話匣子”;教師的這幾個(gè)問題看似向?qū)W生請(qǐng)教，實(shí)質(zhì)上是抓住課堂中學(xué)生生成的每一個(gè)思維的關(guān)鍵點(diǎn)，給學(xué)生創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的機(jī)會(huì)，在教師的巧妙點(diǎn)撥下，學(xué)生在問題間自由往返，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)各種聯(lián)系，建構(gòu)了數(shù)學(xué)推理的路徑，實(shí)現(xiàn)了同伴互助下的學(xué)習(xí)。

2.充分尊重學(xué)生個(gè)體的體感經(jīng)驗(yàn)，讓每個(gè)學(xué)生都明晰算理

分?jǐn)?shù)除法計(jì)算的教學(xué)中有一個(gè)重要的問題，即“為什么要把分?jǐn)?shù)除法計(jì)算轉(zhuǎn)化為乘法計(jì)算”。多年來因?yàn)榻處煹牟恢匾?，常常?dǎo)致課上除法計(jì)算轉(zhuǎn)化為乘法計(jì)算的演變過程的缺失，學(xué)生因此失去了深入探討算理的機(jī)會(huì)，導(dǎo)致死記硬背算法的現(xiàn)象頻出。本節(jié)課王老師設(shè)計(jì)了寫、畫、折的直觀操作和交流活動(dòng)，以發(fā)展學(xué)生的推理能力作為教學(xué)設(shè)計(jì)的核心，有利于學(xué)生理解算理。交流過程中當(dāng)一個(gè)學(xué)生質(zhì)疑發(fā)言學(xué)生“你列的除法算式，為什么又變成了乘法算式？”時(shí)，王老師回應(yīng)“英雄所見略同，我也有這個(gè)疑問。”當(dāng)一個(gè)學(xué)生評(píng)價(jià)發(fā)言學(xué)生的做法“我覺得你說的有點(diǎn)問題，■張餅平均分成3份，每個(gè)人吃的是1份，而不是■份”時(shí)，王老師稱贊并引領(lǐng)“解釋的很清楚，這位同學(xué)明白了嗎？”像這樣，王老師理解、贊賞、尊重學(xué)生不同感受的例子比比皆是，于是學(xué)生們從畫圖到講理，從畫形狀像大餅的圓形圖到抽象一點(diǎn)的長(zhǎng)方形圖，再到更抽象的線段圖，最后到不畫圖用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)講理，每個(gè)人探究算理的切入點(diǎn)不同，運(yùn)用已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解決問題的水平不同，但都得到王老師的尊重和恰當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)，正真做到了“理解算理，一個(gè)也不能少”。

（評(píng)析：田淑玲 石家莊市新華區(qū)教育局）