邢瑞陽，吳啟星，翟 華

（北京跟蹤與通信技術(shù)研究所，北京 100094）

0 引言

近年來，隨著全球航天技術(shù)、空間互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展，一方面空間定位技術(shù)因具有覆蓋范圍廣、受氣候影響小、目標(biāo)監(jiān)測直視條件良好等獨(dú)特優(yōu)勢，受到各國的廣泛關(guān)注與研究投入；另一方面，目標(biāo)被動定位技術(shù)在雷達(dá)、聲納、目標(biāo)跟蹤、物聯(lián)網(wǎng)等方面都起著至關(guān)重要的作用。隨著空間衛(wèi)星資源的逐漸豐富，如何充分發(fā)揮高低軌衛(wèi)星聯(lián)合定位構(gòu)型的龐大定位基線優(yōu)勢，構(gòu)建高低軌衛(wèi)星一體化聯(lián)合定位機(jī)制，以被動獲取目標(biāo)高精度位置信息，成為國內(nèi)外學(xué)術(shù)研究關(guān)注熱點(diǎn)。

分析目標(biāo)被動定位的諸多方法，信號到達(dá)時間（Time-of-Arrival，TOA）方法因其精度高而被認(rèn)為最常用定位方法之一。一方面，傳統(tǒng)TOA 定位技術(shù)需要定位傳感器和目標(biāo)之間滿足精確時間同步條件，但該條件在實(shí)際應(yīng)用中很難保障；另一方面，在非合作定位場景下，因目標(biāo)的不可控特性，定位傳感器和目標(biāo)之間時間同步不可能實(shí)現(xiàn)。高低軌衛(wèi)星聯(lián)合空間被動定位場景下，目標(biāo)無法受定位系統(tǒng)控制而與定位傳感器之間保持精確時間同步。因此，針對目標(biāo)與定位傳感器時鐘異步的實(shí)際問題，本文研究基于高低軌衛(wèi)星聯(lián)合TOA 測量的被動定位算法。

在高低軌衛(wèi)星聯(lián)合定位系統(tǒng)內(nèi)，若定位衛(wèi)星和目標(biāo)之間不滿足時鐘同步條件，將引入一個額外參數(shù)，稱為目標(biāo)信號起始傳輸時間。一種處理方法便是選擇某衛(wèi)星的TOA 測量值為參考量，在參考量和其他衛(wèi)星的TOA 測量值之間做減法得到到達(dá)時間差（Time Difference of Arrival，TDOA）測量值，但該方法使得定位解析方程非線性關(guān)系更加復(fù)雜，且會受高低軌定位衛(wèi)星構(gòu)型嚴(yán)重影響，使得問題更加難以解決。另一種處理方法是對目標(biāo)位置與未知起始傳輸時間進(jìn)行聯(lián)合估計。例如，XU 等提出了利用半正定松弛（Semi-Definite Relaxation，SDR）技術(shù)將定位問題松弛為一個凸半定規(guī)劃（Semi-Definite Program，SDP）問題，通過對不同目標(biāo)函數(shù)求最小值的方法，提出了2 步最小二乘算法和最小-最大算法，由于求解過程中的近似和松弛，這2 種算法都有一定性能損失。WANG 等通過最小化噪聲項的?范數(shù)和?范數(shù)，提出了2 種二階錐松弛（Second-Order Cone Relaxation，SOCR）方法，由于求解過程中進(jìn)行了松弛操作，這些方法也無法達(dá)到克拉美羅下界（Cramer-Rao Lower Bound，CRLB）精度。GAO 等將SOCR 方法擴(kuò)展到具有非視距誤差的定位場景。VAGHEFI提出了一種不同的SDR 方法，將SDR 應(yīng)用于最大似然（Maximum Likelihood，ML）問題，但該方法無法達(dá)到ML問題最優(yōu)解和CRLB精度。ZOU等通過增 加二階約束和懲罰項，對文獻(xiàn)［10］中的松弛SDP 問題進(jìn)行了約束，在提高算法的性能的同時也增加了計算復(fù)雜度。YAN等提出了一種使用量化TOA測量來減少通信開銷的SDR 方法，該方法也使用了未知起始傳輸時間的類似模型。

此外，目標(biāo)被動定位問題需要確切可知傳感器確切位置坐標(biāo)，且要求不同傳感器之間保持高精度時鐘同步，但在很多實(shí)際應(yīng)用中，這兩點(diǎn)要求往往很難滿足。在高低軌聯(lián)合定位系統(tǒng)中，低軌衛(wèi)星高速運(yùn)動特性使其在特定采樣時刻的位置與速度信息存在一定誤差，且高低軌不同衛(wèi)星由于初始設(shè)計目的與方案存在差異性，使其之間不可避免地存在一定時統(tǒng)誤差。在此，我們將衛(wèi)星星歷誤差與時鐘同步誤差統(tǒng)一稱為系統(tǒng)誤差。國內(nèi)外諸多文獻(xiàn)已證明，較小的系統(tǒng)誤差都會嚴(yán)重惡化目標(biāo)定位精度，這種情況下，定位算法需將定位傳感器系統(tǒng)誤差統(tǒng)計知識考慮進(jìn)來以提升定位精度。

針對上述問題，本文提出一種面向高低軌衛(wèi)星聯(lián)合目標(biāo)被動定位的SDR 方法，以達(dá)到存在誤差情況下提升系統(tǒng)性能的目的。本文在模型構(gòu)建中針對時鐘同步誤差和衛(wèi)星位置誤差分別設(shè)置參數(shù)，在算法解算中首先優(yōu)化求解誤差參數(shù)，然后完成目標(biāo)定位，并通過仿真證明了本文方法在誤差條件下提高系統(tǒng)性能的有效性。與文獻(xiàn)［7］和文獻(xiàn)［10-11］中采用的SDR 方法不同的是，本文所提出松弛SDP 問題在理論上始終是緊的，從而保證了算法具有良好定位解析收斂性能。首先，所提新方法對被動定位測量模型進(jìn)行變換，在變換后測量模型基礎(chǔ)上提出加權(quán)最小二乘（Weighted Least Squares，WLS）問題；繼而，將SDR 技術(shù)應(yīng)用到WLS 問題中，得到一個松弛SDP 問題，從理論上講，松弛SDP 問題總是緊的，因此它的最優(yōu)解總是滿足原始WLS 問題解；然后，在此基礎(chǔ)上，將所提方法擴(kuò)展到運(yùn)動目標(biāo)定位場景。具體而言，假設(shè)目標(biāo)速度在足夠小觀測周期內(nèi)為常數(shù)，以聯(lián)合估計目標(biāo)初始位置、運(yùn)動速度和未知起始傳輸時間。從理論上講，雖然該場景下松弛SDP 問題可能并不緊，但仿真結(jié)果表明，本文所采用的非凸問題簡化方法可在很大程度上保證松弛中的秩1 條件，除非測量誤差非常大或衛(wèi)星數(shù)目非常少，否則松弛SDP 問題仍然是緊的，即本文方法針對運(yùn)動目標(biāo)在該場景下仍具有良好解析性能。

本文中，黑體小寫字母為向量，黑體大寫字母為矩陣。為矩陣的第行第列的元素，為矩陣中從 第行至第行、從第列至第列元素組成的子矩陣，tr()和rank()分別為矩陣的跡和矩陣的秩，?0 為矩陣半正定。

1 高低軌衛(wèi)星聯(lián)合被動定位模型

1.1 靜止目標(biāo)情況

圖1 基于高低軌衛(wèi)星聯(lián)合的TOA 被動定位模型Fig.1 Schematic diagram of the passive localization model by low and high orbit satellites based on TOA

式中：Δs為第個衛(wèi)星位置誤差。

式中：blkdiag 為塊對角矩陣。

不考慮衛(wèi)星系統(tǒng)誤差時，含有未知起始傳輸時間的TOA 測量模型可以表示為

兩邊同乘以得到第個衛(wèi)星與目標(biāo)之間距離測量值為

對式（5）作關(guān)于Δs的?范數(shù)泰勒展開有

若令=[，，…，ε]，則誤差 向量的協(xié)方差矩陣為

根據(jù)式（6），和的最大似然ML 估計可表示為

顯然，該問題是非凸的，如果沒有良好的初始解為保障，很難保證解析過程得到其全局最優(yōu)解。

1.2 運(yùn)動目標(biāo)情況

將靜止目標(biāo)的高低軌衛(wèi)星聯(lián)合定位模型推廣至運(yùn)動目標(biāo)情況，假設(shè)某目標(biāo)在足夠小觀測時間內(nèi)以恒定速度運(yùn)動，其在時刻的位置用x表示，即

式中：為目標(biāo)初始位置；為運(yùn)動速度；為采樣周期；為觀測總次數(shù)。當(dāng)目標(biāo)移動緩慢或采樣周期足夠小時，假設(shè)速度恒定是成立的。

根據(jù)式（8），不考慮衛(wèi)星系統(tǒng)誤差時，定位衛(wèi)星與目標(biāo)之間距離測量模型可表示為

將式（10）等價轉(zhuǎn)化為

與靜止目標(biāo)定位場景類似，運(yùn)動目標(biāo)定位的最大似然ML 估計可表示為

2 基于SDR 的被動目標(biāo)定位算法

在本章中，首先提出用于靜止目標(biāo)被動定位的SDR 方法，然后將其擴(kuò)展到運(yùn)動目標(biāo)被動定位場景。

2.1 靜止目標(biāo)定位場景

在到達(dá)距離測量模型（6）中，將+ε移到左邊，然后兩邊平方，有

根據(jù)式（14），得到以下WLS 問題：

式中：=BQ B。

將式（15）寫成以為變量的優(yōu)化問題，即

在問題（16）中，目標(biāo)函數(shù)關(guān)于是線性的，唯一的非凸約束是秩1 約束。去掉式（16）中的秩1 約束，得到凸SDP 問題：

權(quán)重包含未知參數(shù)=/。在實(shí)際應(yīng)用中，我們首先將設(shè)為Q來求解問題（17），得到的初始解，然后將的初始解代入，再次求解問題（17），得到目標(biāo)位置最終估計。需注意，算法性能通常對加權(quán)矩陣的近似不敏感。

將SDP 問題（17）的解表示為，的秩表示為?。根據(jù)文獻(xiàn)［26］，? 取決于等式約束的個數(shù)，具體來說，它們的關(guān)系滿足?(?+1)≤2?？梢妴栴}（17）有兩個等式約束（即=2），這就意味著問題（17）的最優(yōu)解總是秩為1 的。因此，松弛后的SDP 問題總是緊的，而WLS 問題（15）的最優(yōu)解總是可以通過=(從SDP 解中得到。相應(yīng)地，可以通過=得到目標(biāo)位置估計。

2.2 運(yùn)動目標(biāo)定位場景

與靜止目標(biāo)定位場景類似，由式（11）得

將式（18）寫成如下矩陣形式：

類似地，去掉秩1 約束得到以下凸SDP：

由式（21）可得目標(biāo)初始位置和速度分別為

與靜止目標(biāo)定位場景不同，運(yùn)動目標(biāo)定位的松馳SDP 問題可能無法保證秩1 解。然而，第4 章的仿真結(jié)果表明，在非極度惡劣噪聲水平下，該SDP問題仍然可以得到秩1 解，這意味著所提的SDP 方法可推廣應(yīng)用于運(yùn)動目標(biāo)的場景。

3 計算機(jī)仿真結(jié)果與性能分析

本章將通過仿真來驗證本文所提算法性能（用“SDP”表示），靜止目標(biāo)和運(yùn)動目標(biāo)均進(jìn)行了測試分析。針對靜止目標(biāo)定位場景，還驗證了二階錐規(guī)劃（Second-Order Cone Programming，SOCP）方法性能。在2 種情況下，分別跟MLE 性能和CRLB 性能進(jìn)行了對比。SDP 和SOCP 由CVX 工具箱的SeDuMi進(jìn)行求解；以起始傳播時間真值與SDP算法解得目標(biāo)位置結(jié)果為初始值，MLE 問題利用Matlab 中的snowline 函數(shù)求解，并選擇代價函數(shù)值較小的解作為MLE 問題的最終解。

各種算法的性能采用均方根誤差（Root Mean Squared Error，RMSE）為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評價，其定義為

3.1 靜止目標(biāo)定位場景

為充分驗證本文所提算法針對靜止目標(biāo)定位性能，所定義地心地固坐標(biāo)系下定位場景見表1。

表1 地心地固坐標(biāo)系下定位節(jié)點(diǎn)位置坐標(biāo)Tab.1 Location coordinates of the localization nodes in the earth-centered solid coordinate system

首先仿真驗證5顆高低軌衛(wèi)星數(shù)目聯(lián)合，=9 m，距離測量誤差方差在10～10m變化時本文所提算法性能結(jié)果如圖2 所示?？梢钥闯?，所提算法始終能夠達(dá)到CRLB 精度和極大似然估計（Maximum Likelihood Estimate，MLE）算法精度，而SOCP 方法即使在噪聲非常小的誤差情況下也不能達(dá)到CRLB 精度，這主要?dú)w因于本文所提出SDP算法總是能夠得到一個秩1 解。因此，本文所提算法通過首先優(yōu)化求解時鐘同步誤差，并采用凸松弛方法解算定位方程，可實(shí)現(xiàn)誤差條件下高低軌衛(wèi)星聯(lián)合TOA 高精度定位，有效提升了存在誤差情況下系統(tǒng)的定位性能。

圖2 各算法隨測量噪聲變化的RMSE 比較（靜止目標(biāo)定位場景）Fig.2 RMSE comparison of different algorithms with the measurement noise （stationary target localization scenario）

3.2 運(yùn)動目標(biāo)定位場景

與靜止目標(biāo)定位場景相似，本節(jié)對距離測量噪聲變化情況進(jìn)行仿真驗證。同樣選擇上述5 顆高低軌衛(wèi)星，=9 m，總觀測次數(shù)=6，目標(biāo)位置估計和速度估計結(jié)果均方根誤差如圖3 所示。從圖中可以看出，本文所提出的SDP 方法在噪聲較大的情況下仍能達(dá)到CRLB 性能和MLE 算法精度。

圖3 各算法隨測量噪聲變化時的RMSE 比較（運(yùn)動目標(biāo)定位場景）Fig.3 RMSE comparison of different algorithms with the measurement noise （moving target localization scenario）

為了進(jìn)一步研究估計性能，本文還仿真驗證了當(dāng)距離測量噪聲方差為=10m時，SDP 和MLE 方法目標(biāo)位置和速度估計誤差的累積分布函數(shù)（Cumulative Distribution Function，CDF）的仿真驗證，結(jié)果如圖4 所示。

圖4 當(dāng)σ2=102.5 m2 時算法隨信源位置和速度估計誤差變化CDFs 對比（運(yùn)動目標(biāo)定位場景）Fig.4 CDF comparison of different algorithms with the source location and velocity estimation error when σ2=102.5 m2（moving target localization scenario）

可以看出，與MLE 方法相比，SDP 方法80%以上的目標(biāo)位置估計誤差在量級上與MLE 算法具有可比性，這也從側(cè)面說明即使在噪聲較大的情況下SDP 方法性能依然良好。此外，SDP 方法比MLE方法在目標(biāo)速度估計方面的性能較優(yōu)。

此外，驗證了本文所采用的非凸問題簡化方法能否滿足秩1 條件的情況，當(dāng)以5 為步長，從0 到40 變化，每次進(jìn)行1 000 次運(yùn)算，仿真結(jié)果顯示每次仿真均能達(dá)到1 000 次秩1 條件?？梢?，在噪聲較小情況下，由于本文所采用的非凸問題簡化方法可在很大程度上保證松弛中的秩1 條件，盡管理論上不能保證得到秩1 解，所提方法可以得到秩1 解，這進(jìn)一步驗證了所提方法的可靠性。

4 結(jié)束語

本文以高低軌衛(wèi)星聯(lián)合定位為背景，針對未知初始傳輸時間的TOA 定位問題，考慮衛(wèi)星位置誤差與時統(tǒng)誤差等系統(tǒng)誤差的情況下，提出了一種基于SDR 的定位方法。通過建立非凸WLS 最小化問題，將未知初始傳輸時間引起的距離偏差與目標(biāo)位置、速度未知量進(jìn)行聯(lián)合估計，然后應(yīng)用SDR 算法求解。仿真結(jié)果表明，盡管在求解過程中進(jìn)行了近似和松弛，在高低軌衛(wèi)星聯(lián)合定位場景下，該方法仍能達(dá)到CRLB 精度和MLE 算法精度。