以形輔數(shù) 用形助算 借形促思

袁慧娟

【摘? ?要】數(shù)軸是小學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要教學(xué)工具，它具有簡潔、直觀、易操作等特點(diǎn)，通過厘清數(shù)軸在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的表現(xiàn)形式，提出以形輔數(shù)、用形助算、借形促思的教學(xué)策略，以促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)概念、提升運(yùn)算能力、發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

【關(guān)鍵詞】數(shù)軸;表現(xiàn)形式;應(yīng)用策略

數(shù)軸“顯示了數(shù)的存在性及其內(nèi)部結(jié)構(gòu)”（弗賴登塔爾語）。用好數(shù)軸這一直觀教學(xué)工具，對于促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)概念、提升運(yùn)算能力、發(fā)展數(shù)學(xué)思維等具有重要的作用。

一、數(shù)軸在教材中的表現(xiàn)形式

在數(shù)學(xué)中，數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線。在小學(xué)階段，數(shù)軸主要以兩種形式出現(xiàn)。

（一）顯性形式——數(shù)軸圖

雖然在各版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中都沒有安排單獨(dú)的有關(guān)數(shù)軸的教學(xué)內(nèi)容，但是出現(xiàn)了很多數(shù)軸的運(yùn)用。大多數(shù)時(shí)候數(shù)軸是以顯性的形式，即標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)軸形式出現(xiàn)的（如圖1），它有原點(diǎn)、正方向和單位長度，學(xué)生能夠看懂，并能利用它來解決很多數(shù)學(xué)問題。

（二）隱性形式——數(shù)尺圖

在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的初始階段，數(shù)軸也會以類似于直尺的形式出現(xiàn)，就是通常所說的數(shù)尺（如圖2）。依托生活中的直尺，使數(shù)軸的原點(diǎn)、正方向和單位長度隱藏其中，這是數(shù)軸的隱性形式。隨著學(xué)生抽象能力的不斷提升，數(shù)尺逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)線，最后變成完整的數(shù)軸。

二、數(shù)軸在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

正確認(rèn)識了數(shù)軸的表現(xiàn)形式，教師可以結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)知識的特點(diǎn)以及小學(xué)生的思維特點(diǎn)，在教學(xué)中恰當(dāng)使用數(shù)軸，充分發(fā)揮數(shù)軸的應(yīng)用價(jià)值。

（一）以形輔數(shù)：理解數(shù)的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感

借助數(shù)軸滲透數(shù)形結(jié)合思想，可以使抽象的數(shù)學(xué)知識以學(xué)生容易接受的直觀形式呈現(xiàn)，加深學(xué)生對數(shù)概念的理解，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

1.凸顯數(shù)的單位，理解內(nèi)部關(guān)系

整數(shù)、小數(shù)等都是十進(jìn)制數(shù)，在十進(jìn)制系統(tǒng)中的數(shù)有其自身的內(nèi)部關(guān)系。整數(shù)的計(jì)數(shù)單位依次是一、十、百、千、萬等，借助數(shù)軸可以幫助學(xué)生認(rèn)識數(shù)的單位，理解數(shù)的意義。

【案例1】浙教版教材二年級下冊《1000與10000》練習(xí)

圖3呈現(xiàn)的是教材“練一練八”中的第2題。這兩題不但要讓學(xué)生數(shù)數(shù)，填數(shù)，而且要充分發(fā)揮數(shù)軸的優(yōu)勢，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)的意義。教師可以在學(xué)生數(shù)數(shù)、填數(shù)之后進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生對這兩題進(jìn)行比較：為什么數(shù)軸上長度相同的線段表示的數(shù)的大小卻不一樣呢？學(xué)生通過觀察、比較，發(fā)現(xiàn)第（1）題是以百為單位一百一百地?cái)?shù)的，第（2）題是以千為單位一千一千地?cái)?shù)的，單位不一樣，同樣長度的數(shù)軸表示的數(shù)的大小也就不一樣，由此體會計(jì)數(shù)單位的重要性，并引申出小數(shù)的計(jì)數(shù)單位也是同樣的道理。

隨著學(xué)習(xí)的不斷深入，學(xué)生從計(jì)數(shù)轉(zhuǎn)向十進(jìn)制結(jié)構(gòu)來認(rèn)識數(shù)的意義，這時(shí)數(shù)軸的直觀功能更能促進(jìn)學(xué)生對數(shù)概念的理解。

【案例2】人教版教材四年級下冊《小數(shù)的意義和性質(zhì)》

學(xué)生初學(xué)小數(shù)時(shí)，要求他們寫出0～1之間的一位小數(shù)，學(xué)生都沒有問題。如果進(jìn)一步要求他們寫出0～0.1之間的小數(shù)，有的學(xué)生就會出現(xiàn)一定的困難。因此，教學(xué)時(shí)教師可以用動態(tài)演示的方式，把教材中的數(shù)軸（如圖4）放大，將1平均分成100份，也就是將0.1再平均分成10份，這樣就可以找到0.01，0.02，0.03……同理，學(xué)生還能找到三位小數(shù)、四位小數(shù)等，從而體會數(shù)軸的直觀功能。

2.不同形式表征，構(gòu)建對應(yīng)關(guān)系

學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識是從自然數(shù)開始的一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，分?jǐn)?shù)、小數(shù)的產(chǎn)生使數(shù)系得到了進(jìn)一步擴(kuò)展。通過數(shù)軸可以幫助學(xué)生更加直觀、深入地建構(gòu)對分?jǐn)?shù)、小數(shù)的認(rèn)識。數(shù)軸上的同一個(gè)點(diǎn)可以用不同的分?jǐn)?shù)和小數(shù)表示，而它們又是等值的，由此溝通分?jǐn)?shù)、小數(shù)之間的聯(lián)系。

【案例3】人教版教材五年級下冊《分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)》

下面哪些分?jǐn)?shù)在直線上能用同一個(gè)點(diǎn)表示？把它們在直線上表示出來。

圖5呈現(xiàn)的是教材“練習(xí)十四”中的第5題。利用數(shù)軸，能讓學(xué)生直觀地認(rèn)識到單位1相同，同一個(gè)點(diǎn)可以用不同單位的分?jǐn)?shù)來表示，這些分?jǐn)?shù)的大小相等。

3.感悟數(shù)系發(fā)展，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

不管是整數(shù)（計(jì)數(shù)單位的累計(jì)），還是分?jǐn)?shù)、小數(shù)（計(jì)數(shù)單位的均分），用的都是數(shù)軸的正半軸，而負(fù)數(shù)用的是數(shù)軸的負(fù)半軸。全體有理數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)。

【案例4】浙教版教材四年級下冊《認(rèn)識負(fù)數(shù)》

迪迪從校門口向東走了3米，強(qiáng)強(qiáng)從校門口向西走了3米，看看他們在什么位置。

圖6呈現(xiàn)的是教材中的例2?！跋驏|路程”與“向西路程”是一對具有相反意義的量，把向東走3米，用“3”表示，這樣的數(shù)是正數(shù);把向西走3米，用“-3”表示，這樣的數(shù)是負(fù)數(shù)。利用數(shù)軸這個(gè)直觀圖可以使學(xué)生進(jìn)一步理解相反意義量的表示方法，理解正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，即“0”的位置。以“0”為基準(zhǔn)點(diǎn)，“-3”和“3”都和基準(zhǔn)點(diǎn)“0”相差三格，“0”的左邊是負(fù)數(shù)，“0”的右邊是正數(shù)。

（二）用形助算：深化運(yùn)算意義，提升運(yùn)算能力

數(shù)的運(yùn)算是數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的重要內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)，教師可以借助數(shù)軸，以形助算，深化運(yùn)算意義，提升學(xué)生的運(yùn)算能力。

1.根據(jù)數(shù)軸方向，理解運(yùn)算意義

數(shù)軸規(guī)定了正方向，這為學(xué)生感受數(shù)的大小、理解運(yùn)算的意義提供了參照。教師在教學(xué)中可以利用數(shù)軸，結(jié)合語言表達(dá)，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)化地思考問題，理解加減乘除的意義。

【案例5】浙教版教材一年級上冊《加法與減法》

教師請學(xué)生在數(shù)軸上找到相應(yīng)的加數(shù)，從起點(diǎn)開始往右數(shù)幾格就是加幾，11+5就是從11開始往右數(shù)5格，從起點(diǎn)開始往左數(shù)幾格就是減幾，18-6就是從18開始往左數(shù)6格（如圖7）。在利用數(shù)軸數(shù)數(shù)的過程中賦予數(shù)軸加法和減法的意義。

2.對接抽象和直觀，理解算理算法

計(jì)算教學(xué)強(qiáng)調(diào)理解算理，掌握算法。數(shù)軸可以使算理與算法之間建立直觀形象的聯(lián)系，從而提升學(xué)生數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用能力。

【案例6】人教版教材六年級上冊《分?jǐn)?shù)乘法》

[25] × [47]可以怎么計(jì)算。

數(shù)軸可以幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘法的意義，依托算式與數(shù)軸的巧妙結(jié)合，學(xué)生很容易就理解了[25] × [47]就是求[25] 的[47]是多少。利用數(shù)軸，學(xué)生知道[15] ×[17] =[135]（如圖8-1），再引申到“[25] × [47]可以怎么計(jì)算”。從圖8-2中可以看出，小長方形含有8個(gè)[135]，大長方形含有35個(gè)[135]，小長方形面積是大長方形面積的[835]，所以[25] × [47]=[835]，這就幫助學(xué)生理解了分?jǐn)?shù)乘法的意義。

3.創(chuàng)新使用數(shù)軸，優(yōu)化計(jì)算方法

關(guān)于運(yùn)算能力的表述之一就是“根據(jù)法則與運(yùn)算律尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑”。在教學(xué)時(shí)，可以創(chuàng)新使用數(shù)軸，幫助學(xué)生理解簡便計(jì)算的意義，在算法多樣化中進(jìn)行比較，以選擇更好的計(jì)算方法解決問題。

【案例7】浙教版教材二年級下冊《簡便計(jì)算》

聰聰領(lǐng)了198本借書證，強(qiáng)強(qiáng)領(lǐng)了96本借書證。兩人一共領(lǐng)了多少本？

96+198

=96+200-2

=294（本）

簡便計(jì)算的一個(gè)重要策略就是多加要減，多減要加，學(xué)生往往對此感到難以理解。教師可以通過“數(shù)軸”，幫助學(xué)生建立關(guān)聯(lián)，以更好地理解計(jì)算的過程（如圖9）。

（三）借形促思：體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想，提升問題解決能力

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透。數(shù)軸中隱含著很多數(shù)學(xué)思想方法，包括對應(yīng)、極限、函數(shù)等，在教學(xué)中可以結(jié)合數(shù)軸，滲透數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)。

1.利用對應(yīng)關(guān)系，感悟?qū)?yīng)思想

對應(yīng)思想是一種常用的數(shù)學(xué)思想方法。整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)或者是負(fù)數(shù)，都可以在數(shù)軸上找到一一對應(yīng)的點(diǎn)，這種對應(yīng)關(guān)系有助于學(xué)生找到不同數(shù)之間的關(guān)系。

【案例8】浙教版教材三年級下冊《認(rèn)識小數(shù)（二）》

看圖填數(shù)，并比較大小。

為了讓學(xué)生更好地比較兩個(gè)數(shù)的大小，可以把兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上表示出來，這樣學(xué)生的思維就有了載體。如圖10，第一個(gè)數(shù)軸上A、B兩個(gè)數(shù)分別表示1.2和2.1，1.2<2.1，第二個(gè)數(shù)軸上A、B兩個(gè)數(shù)分別表示0.12和0.21，0.12<0.21。通過數(shù)軸比較兩個(gè)數(shù)的大小，就顯得更加清晰了。

2.觀察發(fā)展趨勢，感悟極限思想

極限思想是指從有限中認(rèn)識無限的一種數(shù)學(xué)思想方法。小學(xué)生容易接受圖形中的極限思想，卻很難接受計(jì)算中的極限思想，利用數(shù)軸的直觀性可以很好地幫助學(xué)生認(rèn)識和理解。

【案例9】人教版教材六年級上冊《數(shù)學(xué)廣角——數(shù)與形》

計(jì)算：[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]+…。

這是教材第107頁上的例2。通過觀察發(fā)現(xiàn)這些數(shù)的分子都是1，后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母是前一個(gè)分?jǐn)?shù)分母的2倍，這些分?jǐn)?shù)可以用什么方法求和呢？有的學(xué)生通過不斷地相加，發(fā)現(xiàn)所得到的分?jǐn)?shù)越來越接近1。這只是一個(gè)猜測，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)軸上進(jìn)行驗(yàn)證，并將這些數(shù)在數(shù)軸上一一對應(yīng)寫出（如圖11），學(xué)生發(fā)現(xiàn)確實(shí)它的和越來越接近1。

3.發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律，感悟函數(shù)思想

函數(shù)描述了兩個(gè)量在變化過程中的相互依存關(guān)系，在小學(xué)階段涉及函數(shù)思想的學(xué)習(xí)中，可以依托數(shù)軸找到其中的變與不變。

【案例10】浙教版教材一年級上冊《20以內(nèi)進(jìn)位加法（一）》

分別求出每種顏色的線的長度。

圖12呈現(xiàn)的是教材“練一練十一”中的第5題。教師先請學(xué)生通過數(shù)軸求出每條線段的長度，接著，教師對此題進(jìn)行拓展，請學(xué)生有規(guī)律地寫出“和是14”的算式，5+9=6+8=7+7=8+6=9+5=14，找出在和不變的情況下，一個(gè)加數(shù)依次增加而另一個(gè)加數(shù)依次減少的變化規(guī)律。教師還可以請學(xué)生寫加法算式，橫線表示的5不變，豎線表示的數(shù)從0開始每增加1，那么所得到的和也增加1，由此感受函數(shù)思想。

數(shù)軸具有簡潔、直觀、易操作的特點(diǎn)，對于學(xué)生理解數(shù)概念、發(fā)展運(yùn)算能力、感悟數(shù)學(xué)思想等發(fā)揮著積極的作用。在教學(xué)中要善于利用這一資源，促進(jìn)學(xué)生理解知識、感悟思想、發(fā)展能力，為他們的后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

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（浙江省杭州市大學(xué)路小學(xué)? ?310009）