鄔江

筆者近期讀文[1]時，聯(lián)想到文[1]中研究的問題與2020年上海市閔行區(qū)高三調研試卷中第15題十分相似，筆者在教學時是借助圖形和空間想象使問題得以解決的，受文[1]啟示，筆者重新探究了這個問題，本文擬分享探究所得.

1 問題的呈現(xiàn)

題目在正四面體A - BCD中，點P為ABCD所在平面上的動點，若AP與AB所成角為定值θ，θ∈（0，π/4），則動點P的軌跡是（

）.

A.圓B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線

2 題源的分析

本題的背景是圓錐與不過頂點的平面相交的得到的截線的軌跡問題，古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線：

（1）用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的截線的軌跡是圓;

（2）把平面漸漸傾斜，當平面與軸線的夾角大于半頂角時，得到的截線的軌跡是橢圓;

（3）當平面“和且僅和”圓錐的一條母線平行時，即平面與軸線的夾角等于半頂角時，得到的截線的軌跡是拋物線;

（4）當平面與軸線的夾角小于半頂角時，得到的截線的軌跡是雙曲線的一支（把圓錐面換成相應的二次錐面時，則可得到雙曲線）.

3 問題的解答

由分析知：如圖1，本題中動點P的軌跡就是以AB為軸，母線與軸的夾角為θ的圓錐與平面BCD相交的截交線，過點4作平面的垂線A0，垂足為O，聯(lián)結BO，設軸AB與平面BCD所成角為φ，易得φ=arccos√3/3，由于90°>φ>θ，所以動點P的軌跡是橢圓，從“形”的角度本題可以得到完美的解決，那么從“數(shù)”的角度入手，又該如何解決呢？

不妨設AB=2√3，以ABCD的重心O為坐標原點，如圖2，建立空間直角坐標系，

4 問題再研究

至此，這個問題似乎得到圓滿的解決，如果到此結束，則可能“入寶山而空手返”，錯過了一個研究性學習的大好機會，動點P的軌跡有沒有可能是雙曲線、拋物線和圓？如果可能，那么AP與AB所成角θ的范圍又是什么？帶著這個疑問，筆者開始了新的探究獲得如下的結論：

我們研究平面與圓錐的截線問題，常規(guī)思路是圓錐不動，通過旋轉平面來研究截線的變化，本題換個角度來研究平面與圓錐的截線問題，平面不動，通過變化圓錐的頂角來研究截線，題目來源于課本但又不拘泥于課本，有創(chuàng)新性，是一個值得研究的好問題.

我們一直提倡“用教材教，而不是教教材”的教學理念，這就要求我們教師要認真鉆研教材，理解教材意圖，對于教材中的例題、習題和拓展內容，充分挖掘其教學價值，引導學生進行分析、思考、歸納、類比乃至推廣，發(fā)揮每一個例題、習題的最大功效，實現(xiàn)教學效益的最大化，

參考文獻

[1]舒適.和學生一起進行數(shù)學研究性學習[J].數(shù)學教學，2017 （12）：14-15