用一般觀念引領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)

摘? 要：數(shù)學(xué)學(xué)科一般觀念既是教學(xué)的手段，也是教學(xué)的目的. 用一般觀念引領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本步驟與方法是梳理、提煉相應(yīng)主題的一般觀念;梳理、挖掘知識形成過程中蘊含的一般觀念;以一般觀念引領(lǐng)問題解決，達到深化一般觀念之目的. 以一般觀念引領(lǐng)下的“對勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)”的教學(xué)為例，闡明如何實施一般觀念引領(lǐng)的數(shù)學(xué)教學(xué).

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);一般觀念;對勾函數(shù)

教育是一個從理想到現(xiàn)實，從要求到完成的長期的過程. 如何超越知識教學(xué)、技能教學(xué)仍然是許多數(shù)學(xué)教師面臨的難題與困惑. 一般觀念是數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的中介. 用一般觀念引領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)，再通過這種教學(xué)發(fā)展學(xué)生的一般觀念，是培育學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效途徑與方式.

一、具有目標與手段雙重屬性的一般觀念

查找《現(xiàn)代漢語詞典》知，“觀念”，一是指思想意識;二是指客觀事物在頭腦里留下的概括的印象. 這里把一般觀念理解為對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究具有廣泛、持久、深刻影響的基本數(shù)學(xué)思想方法和基本思維策略. 這種一般觀念在很大程度上就是米山國藏所說的，學(xué)生畢業(yè)后不管從事什么業(yè)務(wù)工作，都能隨時隨地發(fā)生作用的數(shù)學(xué)的精神，數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等. 因此，發(fā)展、豐富、完善學(xué)生的數(shù)學(xué)一般觀念是數(shù)學(xué)教育的重要目標.

與此同時，面對較大的、需要以探究的方式解決的數(shù)學(xué)問題時，學(xué)生的典型表現(xiàn)是缺少方向感、整體感和策略感，只能像迷宮中的小白鼠一樣盲目地、胡亂地探究. 造成這種現(xiàn)象的根本原因是學(xué)生缺少具有觀念性、策略性、框架性、系統(tǒng)性的思維策略和方法，缺少一種能有效指導(dǎo)問題解決的一般觀念. 正如懷特海所說：缺乏與偉大的觀念或與平常的思想明顯的關(guān)聯(lián)，學(xué)生會被煩瑣的細節(jié)弄得不知所措. 因此，一般觀念是解決數(shù)學(xué)問題的有效手段. 數(shù)學(xué)教學(xué)要用數(shù)學(xué)的方式，要加強一般觀念的引領(lǐng)，突出數(shù)學(xué)對象的抽象過程與方法的指導(dǎo)，要使學(xué)生在掌握定義的同時知道它的來龍去脈，實現(xiàn)過程與結(jié)果的有機融合.

二、用一般觀念引領(lǐng)教學(xué)的基本步驟與方法

1. 梳理、提煉相應(yīng)主題的一般觀念

梳理、提煉一般觀念是用一般觀念引領(lǐng)教學(xué)的前提與基礎(chǔ).《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）把高中數(shù)學(xué)內(nèi)容分為函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學(xué)建?；顒雍蛿?shù)學(xué)探究活動四大主題. 各大主題有共同的一般觀念，如會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達世界（簡稱“三會”），但也有本主題特有或明顯具有本主題特色的一般觀念. 我們需要以“三會”為指導(dǎo)，把“三會”具體化、操作化，梳理、提煉、明晰各大主題的一般觀念，使之體現(xiàn)和落實在日常教學(xué)行為中.

以“函數(shù)”主題為例，應(yīng)該形成如下一般觀念：一是從量及其相互聯(lián)系視角考察事物、認識事物，探求量與量之間的相互依賴關(guān)系;二是從量與量之間的對應(yīng)關(guān)系及相互轉(zhuǎn)化視角思考問題，并重在從對應(yīng)關(guān)系及其適用范圍（即函數(shù)定義域）角度分析問題;三是通過基于“形”的直觀想象與基于“數(shù)”的運算推理的有機結(jié)合來思考、探究問題;四是從運算視角認識函數(shù)自身性質(zhì)及不同函數(shù)之間的關(guān)系;五是利用函數(shù)性質(zhì)解決數(shù)學(xué)問題與現(xiàn)實問題. 學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)后，還應(yīng)該加上一條，即導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)問題最常用、最有力的工具. 只有當我們對函數(shù)的一般觀念有了清晰的認識，才能有意識地運用它們引領(lǐng)函數(shù)教學(xué)，并在函數(shù)教學(xué)中更好地孕育它們.

2. 梳理、挖掘知識形成過程蘊含的一般觀念

以函數(shù)[y=ax+bx]（以下稱此函數(shù)為“對勾函數(shù)”）為例. 從量及其聯(lián)系角度來看，數(shù)學(xué)和生產(chǎn)、生活中存在許多對勾函數(shù);從運算角度來看，對勾函數(shù)是正比例函數(shù)、反比例函數(shù)通過加法運算得到的新函數(shù)，它與正比例函數(shù)、反比例函數(shù)具有天然的聯(lián)系;從研究內(nèi)容角度來看，關(guān)于對勾函數(shù)也要研究其單調(diào)性、奇偶性、最值及圖象等函數(shù)一般性質(zhì);從研究方法角度來看，最主要的是基于“形”的直觀想象與基于“數(shù)”的運算推理的有機結(jié)合;從課程與教學(xué)角度來看，對勾函數(shù)屬于“探究與發(fā)現(xiàn)”內(nèi)容，是《標準》要求的“數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動”的一部分. 它重在讓學(xué)生經(jīng)歷探究、發(fā)現(xiàn)的過程與方法，形成探究的意識與習(xí)慣，積累數(shù)學(xué)探究經(jīng)驗，孕育和發(fā)展函數(shù)一般觀念.

應(yīng)該通過梳理、挖掘知識形成過程蘊含的一般觀念，使宏觀的數(shù)學(xué)學(xué)科一般觀念、中觀的函數(shù)一般觀念落實到微觀的對勾函數(shù)教學(xué)中.

3. 以一般觀念引領(lǐng)問題解決，達到深化一般觀念的目的

教師應(yīng)該強化對學(xué)生已有相關(guān)一般觀念的分析. 以對勾函數(shù)為例. 學(xué)生熟悉正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對函數(shù)概念、函數(shù)性質(zhì)有初步的理解，但對這些內(nèi)容的掌握主要停留在知識與技能的水平上，停留在記憶、理解、運用這些低階思維的水平上. 他們不會自覺、主動地把正比例函數(shù)、反比例函數(shù)與對勾函數(shù)聯(lián)系起來，對研究函數(shù)的一般思路與方法缺乏清晰的感受和體會，沒有形成相應(yīng)的函數(shù)一般觀念，自主探究對勾函數(shù)性質(zhì)會遇到較大的困難.

教師應(yīng)該增強為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)一般觀念而教的意識，自覺地把發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)一般觀念作為教學(xué)的重要目標. 例如，對勾函數(shù)的教學(xué)目標如下：學(xué)生理解函數(shù)[y=ax+bx]與函數(shù)[y=ax，y=bx]的聯(lián)系;能在回顧、梳理前面研究函數(shù)問題的思路與方法的基礎(chǔ)上自主地探究、發(fā)現(xiàn)函數(shù)[y=x+1x]的圖象與性質(zhì)，進而拓展、推廣到函數(shù)[y=ax+bx;] 能深化對研究函數(shù)的一般思路與方法的認識.

教師應(yīng)該把一般觀念教學(xué)滲透和落實在教學(xué)的各個環(huán)節(jié)、各個方面. 在一般觀念的引領(lǐng)下，提出有待解決的新問題、核心問題;討論、明晰前期相關(guān)知識背后蘊含的一般觀念，使之成為問題解決的先行組織者;討論、示范如何借助一般觀念解決問題，增進學(xué)生對一般觀念的認識;引導(dǎo)學(xué)生利用已形成的一般觀念解決新的問題，感悟一般觀念的作用與價值，深化對一般觀念的理解;通過回顧與反思，進一步強化學(xué)生對一般觀念的感悟，并反思運用中存在的問題與不足;評價要關(guān)注學(xué)生一般觀念的形成與發(fā)展水平;課后作業(yè)要重視學(xué)生對一般觀念的運用. 我們追求的目標應(yīng)該是，學(xué)生應(yīng)該獲取對抽象思維的通曉理解，應(yīng)該認識它如何應(yīng)用于特殊的具體環(huán)境，應(yīng)該知道如何把一般方法應(yīng)用于其邏輯研究.

三、一般觀念引領(lǐng)下的對勾函數(shù)圖象與性質(zhì)教學(xué)設(shè)計

1. 呈現(xiàn)背景，提出問題

背景1：萬物皆數(shù). 這里的數(shù)不僅包括整數(shù)和分數(shù)，也包括無理數(shù)和今后將學(xué)到的其他數(shù).

背景2：數(shù)與數(shù)之間是充滿聯(lián)系的，函數(shù)就是刻畫客觀世界數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具. 例如，壓強公式[p=FS、] 自由落體公式[h=12gt2]等不僅是物理公式，也是函數(shù)關(guān)系式.

背景3：假設(shè)某公司需要購買某種貨物18噸，每次購買[x]噸，運費為1萬元 / 次，這種貨物全年的總存儲費用為[2x]萬元. 設(shè)全年總運費與總存儲費用之和為[y]萬元，則有[y=18x+2x.]

本節(jié)課的核心問題：函數(shù)[y=ax+bx]的圖象與性質(zhì).

【設(shè)計意圖】設(shè)置背景1 ～ 背景3的目的：一是讓學(xué)生在比較廣闊的背景下探究與發(fā)現(xiàn)，感受對勾函數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系;二是為提出本節(jié)課的研究主題服務(wù). 引導(dǎo)學(xué)生從量與量之間的關(guān)系角度，借助一般化，提出本節(jié)課的核心問題.

2. 聯(lián)想激活，尋求方法

聯(lián)想1：研究函數(shù)，通常會研究什么？

【設(shè)計意圖】聯(lián)想前面所學(xué)的函數(shù)基本性質(zhì)，通過討論明確研究函數(shù)通常會研究它們的圖象與性質(zhì). 圖象包括圖象的形狀、特殊點與變化趨勢;性質(zhì)包括定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、最值等. 闡明這些是研究函數(shù)的基本框架.

聯(lián)想2：面對直接研究一般化的對勾函數(shù)遇到的困難，你會想到哪些相關(guān)經(jīng)驗？

【設(shè)計意圖】聯(lián)想研究函數(shù)[y=ax，y=bx]等時，都是從特殊情況入手，故可先研究最簡單、最特殊的函數(shù)[y=x+1x.] 研究清楚后，再推廣、拓展到函數(shù)[y=ax+bx.]

聯(lián)想3：由函數(shù)[y=x+1x]的表達式，你會聯(lián)想到什么？又能直接得到此函數(shù)的哪些性質(zhì)？

【設(shè)計意圖】聯(lián)想基本不等式和函數(shù)奇偶性定義，直接明確函數(shù)[y=x+1x]的定義域、值域和奇偶性.

聯(lián)想4：如何研究奇函數(shù)[fx=x+1x]的單調(diào)性？初中和這學(xué)期前面研究函數(shù)的經(jīng)驗?zāi)芙o我們怎樣的啟示？

【設(shè)計意圖】通過回顧、聯(lián)想、討論，明確只需研究[fx=x+1x]在[0，+∞]上的情形. 從數(shù)與形兩方面入手研究，可以先畫出函數(shù)的圖象，通過觀察圖象得到函數(shù)的性質(zhì)，再借助函數(shù)表達式證明函數(shù)的性質(zhì). 通過聯(lián)想如何刻畫函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，以及函數(shù)圖象與表達式之間的內(nèi)在聯(lián)系，強化學(xué)生從基于“形”的直觀與基于“數(shù)”的運算與推理兩方面研究函數(shù)的意識.

【聯(lián)想1 ～ 聯(lián)想4總設(shè)計意圖】以函數(shù)一般觀念為引導(dǎo)，尋找研究對勾函數(shù)的思路與方法. 需要指出的是，一方面，解決問題之前，應(yīng)該盡可能明晰解決問題的思路與方法，以避免盲目探究、無效探究，有效發(fā)展學(xué)生的一般觀念;另一方面，由于問題解決是一個漸進的、探索未知的過程，因此難以在問題解決之前把需要用到的思路與方法都弄清楚.

3. 提出猜想，驗證猜想

問題1：你能畫出函數(shù)[y=x+1x]的圖象嗎？

【設(shè)計意圖】由[y=x+1x]是奇函數(shù)可知，只要畫出它在[0，+∞]上的圖象，[-∞，0]上的圖象可借助對稱性畫出. 為了使探究更真實，也為了讓學(xué)生認識到從整體上把握函數(shù)圖象變化趨勢的重要性，讓他們基于原有經(jīng)驗——列表、描點、用光滑曲線連接畫圖，然后借助多媒體展示他們所畫的各種圖象，暴露問題，指出其原因是缺乏對圖象形狀的總體把握.

問題2：你能由函數(shù)[y=x+1x]的表達式，以及它與函數(shù)[y=x，y=1x]的聯(lián)系，想象它的圖象可以用怎樣的方式得到，進而猜想此圖象的變化趨勢嗎？

【設(shè)計意圖】通過討論，明確函數(shù)[y=x+1x]是函數(shù)[y=x與y=1x]的和，因此它的圖象也可以通過函數(shù)[y=x，][y=1x]的圖象“合成”得到（如圖1）. 在這個過程中，讓學(xué)生想象、把握函數(shù)[y=x+1x]的圖象的“合成”方式與變化趨勢.

問題3：你能基于畫出的函數(shù)[y=x+1x]的局部圖象和它的表達式說明此函數(shù)圖象的變化趨勢嗎？說明其增減性變化的“拐點”在哪里，你能證明你的猜想嗎？

【設(shè)計意圖】由觀察函數(shù)[y=x+1x]的圖象和不等式[x+][1x≥2 x>0]當且僅當[x=1x]，即[x=1]時取等號，猜想函數(shù)[y=x+1x]在[0，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞]上單調(diào)遞增，然后利用函數(shù)單調(diào)性定義，證明此猜想. 從“數(shù)”與“形”兩方面入手，從變化趨勢視角，討論直線[x=0，y=x]與函數(shù)[y=x+1x]的圖象的關(guān)系，明確這兩條直線都是該函數(shù)圖象的漸近線. 由于函數(shù)[y=x+1x]的圖象的形狀是“對勾”形，因此該函數(shù)也叫對勾函數(shù). 讓學(xué)生認識和感受到有效的、理性的研究應(yīng)把基于圖象的直觀想象與基于表達式的推理運算結(jié)合起來，充分發(fā)揮“形”的直觀與“數(shù)”的精確兩方面的優(yōu)勢，這是學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)問題的根本思路與方法.

4. 類比遷移，深化一般觀念

問題4：你能利用研究函數(shù)[y=x+1x]的思路與方法研究函數(shù)[y=18x+2x]和[y=ax+bx ab≠0]的圖象與性質(zhì)嗎？

【設(shè)計意圖】安排問題4的主要目的不是獲取相應(yīng)的結(jié)論，而是重在通過運用，鞏固和掌握研究函數(shù)的一般思路與方法，深化函數(shù)的一般觀念. 通過類比研究函數(shù)[y=ax，y=ax a≠0]時的分類討論，明確對函數(shù)[y=ax+bx ab≠0]分[a>0]且[b>0，a>0]且[b<0，][a<0]且[b>0，a<0]且[b<0]四種情況討論. 學(xué)生在小組合作探究的基礎(chǔ)上，開展全班交流與討論，發(fā)現(xiàn)問題，矯正錯誤圖象與結(jié)論. 教師利用多媒體呈現(xiàn)圖2 ～ 圖5.

問題5：畫出下列函數(shù)的大致圖象，并說明其單調(diào)區(qū)間.

（1）[y=x+1x-1];（2）[y=x+1x-1].

【設(shè)計意圖】從函數(shù)表達式的變化和圖象上下、左右平移兩方面深化對函數(shù)[y=x+1x]的認識，引導(dǎo)學(xué)生用心感受、體會函數(shù)表達式變換、圖象變換，以及這兩種變換之間的內(nèi)在聯(lián)系與統(tǒng)一.

5. 回顧反思，提煉升華

問題6：回顧、梳理本節(jié)課研究函數(shù)問題的一般思路與方法.

通過學(xué)生之間的討論和教師點撥，最后形成如下共識.

（1）函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中量與量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，要善于從量與量之間關(guān)系的視角思考現(xiàn)實問題.

（2）通常從定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、最值等方面入手研究函數(shù).

（3）研究函數(shù)的常用方法：一是基于“形”的直觀想象與基于“數(shù)”的推理運算相結(jié)合，以便最大限度地發(fā)揮“形”與“數(shù)”兩方面的優(yōu)勢;二是從函數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系、從運算角度研究函數(shù)，以便把復(fù)雜的、未知的函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡單的、已知的函數(shù);三是基于函數(shù)圖象變換與函數(shù)表達式變化的內(nèi)在一致性，化“數(shù)”為“形”或化“形”為“數(shù)”.

四、結(jié)束語

發(fā)展學(xué)生的一般觀念，應(yīng)該堅持理念與行動相結(jié)合、目標與過程相結(jié)合，應(yīng)該堅持教師的一般觀念指導(dǎo)與學(xué)生的一般觀念實踐相結(jié)合，應(yīng)該組織旨在發(fā)展一般觀念的訓(xùn)練活動，并讓學(xué)生用心感悟、體會、提煉蘊含在數(shù)學(xué)活動中的一般觀念. 應(yīng)該通過加強一般觀念教學(xué)，培養(yǎng)和提升學(xué)生理性地、有條理地思考和解決問題的習(xí)慣和能力.

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