基于正弦曲線和圓弧的無碳小車的S 形軌跡和凸輪設(shè)計(jì)*

吳東昊，顏景潤，康 凱，鄭永杰，任志國，劉麗娟

（河北建筑工程學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，河北 張家口 075000）

全國大學(xué)生工程訓(xùn)練綜合能力競賽要求選擇環(huán)形運(yùn)行方式的無碳小車在比賽場地中運(yùn)行S 形軌跡，成功繞過障礙樁，而且運(yùn)行的圈數(shù)越多，繞過的障礙樁的個(gè)數(shù)越多，比賽的成績?cè)胶?。因此，無碳小車軌跡和凸輪的合理設(shè)計(jì)決定著無碳小車能夠繞過障礙樁，成功運(yùn)行設(shè)定的S 形軌跡，并能夠使每一圈的軌跡有效重合，從而在比賽場地中完成多圈運(yùn)行[1-3]。

1 軌跡設(shè)計(jì)

驅(qū)動(dòng)車場地為5 200 mm×2 200 mm 長方形平面區(qū)域，比賽賽道分為半徑為550 mm 的半圓形賽道和長度為3 000 mm 的直線賽道，在半圓形賽道上的起點(diǎn)、中點(diǎn)和終點(diǎn)處放置了3 個(gè)直徑20 mm、高度200 mm 的障礙樁，在直線賽道上每間隔1 000 mm 放置了4 個(gè)同樣的障礙樁。由于無碳小車兩后輪連接線的中心點(diǎn)在該場地中運(yùn)行的S 形軌跡是上下對(duì)稱的，所以只設(shè)計(jì)了無碳小車兩后輪連接線中心點(diǎn)的一半軌跡，另一半的軌跡只要按照設(shè)計(jì)好的軌跡進(jìn)行對(duì)稱即可得到[4]。無碳小車兩后輪連接線中心點(diǎn)的一半軌跡，如圖1 所示，其中黑色粗實(shí)線表示驅(qū)動(dòng)車場地的邊界，空心小圓圈表示障礙樁的位置。

圖1 無碳小車兩后輪連接線中心點(diǎn)的一半軌跡

無碳小車兩后輪連接線中心點(diǎn)的軌跡設(shè)計(jì)采用正弦曲線和圓弧相結(jié)合的方式，從起始位置出發(fā)，第一段軌跡是直線，第二段軌跡是正弦曲線，第三段軌跡是圓弧，第四段軌跡、第五段軌跡、第六段軌跡、第七段軌跡和第八段軌跡是正弦曲線，第九段軌跡是圓弧。無碳小車兩后輪連接線中心點(diǎn)的軌跡采用圓弧設(shè)計(jì)，是因?yàn)閳A弧的曲率是不變的，可以在兩段正弦曲線之間起到一個(gè)過渡作用，使得凸輪的形狀更加平滑[5-6]。

正弦曲線的表達(dá)式為y＝A*sin(pi*x/B)，式中A為振幅，B為半周期。首先確定正弦曲線的半周期B，然后通過前后兩段曲線在連接點(diǎn)處的斜率或曲率相等求得振幅A，最后通過上下左右平移曲線使得其和上一段曲線相接。當(dāng)前后兩段曲線的曲率都等于0 時(shí)，通過旋轉(zhuǎn)使得前后兩段曲線在連接點(diǎn)處的斜率相等。

以第五段正弦曲線為例，根據(jù)該曲線經(jīng)過的點(diǎn)確定半周期為1 100，然后根據(jù)前后兩段曲線的斜率相等，即A*pi/B＝tan(sita4)，求得A＝315.13，最后將曲線向左平移x3(end)、向下平移y3(end)，使其和第四段曲線相接，得到第五段曲線的函數(shù)為y＝315.13*sin(pi*(x-x3(end))/1 100)＋y3(end)。

對(duì)于圓弧曲線，需要求得圓弧的半徑和圓心。圓弧的半徑通過上一段曲線終點(diǎn)處的曲率可以得到，圓弧的圓心通過解方程組可以得到，圓弧的圓心和上一段曲線的終點(diǎn)過一條直線，該直線的斜率為上一段曲線終點(diǎn)處斜率的負(fù)倒數(shù)，可以得到兩個(gè)方程，上一段曲線的終點(diǎn)也是圓弧上的點(diǎn)，可以得到一個(gè)方程，從而通過解方程組可以求得圓弧的圓心[7-8]。

由于無碳小車兩后輪連接線的中心點(diǎn)在該驅(qū)動(dòng)車場地中運(yùn)行的S 形軌跡是上下對(duì)稱的，所以無碳小車兩后輪連接線中心點(diǎn)的軌跡在起點(diǎn)和終點(diǎn)處的斜率要垂直于比賽場地的水平中心線[9-10]。在起點(diǎn)處，軌跡是一條豎直的直線，在終點(diǎn)處，軌跡是一段圓弧，該段圓弧在終點(diǎn)處要垂直于比賽場地的水平中心線，再根據(jù)求圓弧圓心的過程，可以得到式（1）、式（2）和式（3）：

其中，x9 為該段圓弧圓心的橫坐標(biāo)；k為過圓心和上一段曲線終點(diǎn)的直線斜率，k＝tan(arctan(A1*pi/B)-sita7)；x8(end)和y8(end)分別為上一段曲線終點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)；p8(end)為上一段曲線終點(diǎn)處的曲率，p8(end)＝A1*pi2/B2。

根據(jù)式（1）、式（2）和式（3）可以得到式（4）：

然后采用迭代法求第八段正弦曲線的參數(shù)，迭代法的過程如圖2所示。

圖2 迭代法的過程

對(duì)于無碳小車前輪和兩個(gè)后輪的軌跡，根據(jù)式（5）、式（6）和式（7）可以得到前輪和兩個(gè)后輪的一半軌跡。

其中，x、y表示兩后輪連接線中心點(diǎn)軌跡的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，xy、yy表示右后輪軌跡的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，xz、yz表示左后輪軌跡的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，xq、yq表示前輪的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，eL表示兩后輪到其連接線中心點(diǎn)的距離，L表示前輪到兩后輪連接線中心點(diǎn)的距離，θ表示兩后輪連接線中心點(diǎn)軌跡的切線和橫坐標(biāo)軸的夾角。

對(duì)于無碳小車前輪和兩個(gè)后輪的另一半軌跡，由于兩個(gè)后輪的軌跡是關(guān)于比賽場地的水平中心線對(duì)稱的，將得到的兩個(gè)后輪的一半軌跡進(jìn)行對(duì)稱即可得到兩個(gè)后輪的另一半軌跡；但是由于無碳小車前輪的軌跡不是關(guān)于比賽場地的水平中心線對(duì)稱的，所以需要通過無碳小車兩后輪連接線中心點(diǎn)的另一半軌跡得到前輪的另一半軌跡。無碳小車前輪、兩個(gè)后輪和兩后輪連接線中心點(diǎn)的軌跡，如圖3 所示，其中實(shí)線表示前輪軌跡，單點(diǎn)劃線表示右后輪軌跡，雙點(diǎn)劃線表示左后輪軌跡，虛線表示兩后輪連接線中心點(diǎn)軌跡。

圖3 前輪、兩個(gè)后輪和兩后輪連接線中心點(diǎn)的軌跡

2 凸輪設(shè)計(jì)

完成無碳小車兩后輪連接線中心點(diǎn)的軌跡設(shè)計(jì)后，首先通過軌跡函數(shù)可以求得軌跡的曲率，再根據(jù)式（8）求得前輪轉(zhuǎn)角。

然后利用前輪轉(zhuǎn)角結(jié)合凸輪基圓半徑求得凸輪的推程，如果無碳小車左轉(zhuǎn)，根據(jù)式（9）求得凸輪推程；如果無碳小車右轉(zhuǎn)，根據(jù)式（10）求得凸輪推程。

其中，S為凸輪推程；R0為凸輪基圓半徑；考慮到凸輪厚度，L1和L2分別為前輪到凸輪右邊和左邊的距離。

最后根據(jù)無碳小車兩后輪連接線中心點(diǎn)的軌跡求出兩后輪連接線中心點(diǎn)每一步運(yùn)動(dòng)的距離，利用式（11）求出主動(dòng)輪每一步運(yùn)動(dòng)的距離，主動(dòng)輪每一步運(yùn)動(dòng)的距離占主動(dòng)輪運(yùn)動(dòng)總距離的比例與2*pi的乘積即為該推程所對(duì)應(yīng)的凸輪轉(zhuǎn)角。

根據(jù)凸輪轉(zhuǎn)角和凸輪推程得到的凸輪形狀，如圖4所示。

圖4 凸輪形狀

3 結(jié)論

首先采用正弦曲線和圓弧進(jìn)行無碳小車兩后輪連接線中心點(diǎn)軌跡的設(shè)計(jì)，圓弧在兩段正弦曲線之間的過渡作用，使得凸輪的形狀更加平滑；然后利用Matlab 進(jìn)行編程，驗(yàn)證了軌跡和凸輪設(shè)計(jì)的合理性；最后經(jīng)過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，無碳小車能夠有效地繞過障礙樁，完成S形軌跡，滿足競賽的要求。