進行蘭角恒等變換的幾個技巧

陸咸娟

解答三角函數(shù)問題，通常需先對三角函數(shù)式進行恒等變換，因此掌握一些進行三角函數(shù)恒等變換的技巧是很有必要的.筆者對進行三角恒等變換的技巧進行了如下總結(jié)，希望對大家的學(xué)習(xí)有所幫助.

一.拆角與補角

三角函數(shù)式中的角不相同，往往會給解題帶來很多麻煩，此時可以通過拆角、補角的方式，如c =（o+3）-B 、=o+p_a，p，將問題中的角統(tǒng)一.在變換角的過程中，通常要用到輔助角公式、誘導(dǎo)公式、二倍角公式，兩角的和差公式等.

例1.已知 sinβ=m sin （2α+β），且α+β≠ +kπ（k ∈ Z），m ≠1，求證：tan （α+β）= tanα.

解析：題目中的已知角有β、2α+β，未知角有α+β、α，需通過拆角、補角來建立它們之間的聯(lián)系.仔細分析不難發(fā)現(xiàn)，β=（α+β）-α，2α+β=（α+β）+α，便可利用兩角的和差公式證明結(jié)論.

證明：sin[（α+β）-α]=m sin[（α+β）+α]，

則sin（α+β）cos α- cos（α+β）sin α=m sin（α+β）· cos α+m cos（α+β） sin α，

整理得（1+m）sin α cos（α+β）=（1-m）cos α sin（α+β）.由于α+β≠ +kπ（k ∈Z） ， α≠（k ∈Z） ， m ≠1 ，

所以（1-m）cosα= cos（α+β）=tan（α+β），因此 tan（α+β）= tanα.

在進行恒等變換的過程中，將角進行合理拆分、組合，利用角之間的互余關(guān)系、互補關(guān)系、和差關(guān)系、倍半關(guān)系等，將不同的角進行統(tǒng)一，便能使問題迎刃而解.

二、升冪與降冪

升冪與降冪是進行三角恒等變換的重要方法.若三角函數(shù)式中冪的次數(shù)不一，則可通過升冪與降冪的方式，將三角函數(shù)式中的冪統(tǒng)一.在升冪或降冪的過程中，常用的公式有二倍角公式、sin2α+cos2α=1.

例2.求值：.

解：

=? 2 cos2α sin2α???? =2

3 cos2α sin2α（cos2α+ sin2α）? 3，

所以 = .

本題中出現(xiàn)了4次、5次、6次的三角函數(shù)式，需要對其作降冪處理.運用關(guān)系式 sin2α+ cos2α=1和二倍角公式2cos2α-1=1-2 sin2α= cos2α將其化簡，即可使其冪的次數(shù)變?yōu)?，通過約分，使函數(shù)式簡化.

三、換元法

換元法是指通過引進新的變量，使復(fù)雜的三角函數(shù)式能夠轉(zhuǎn)化為簡單的形式.而對于一些較為復(fù)雜的三角函數(shù)式，可通過換元，將代數(shù)式中結(jié)構(gòu)相同的部分用新元代替，從而簡化關(guān)系式，順利解題.

例3.已知函數(shù) f（x）=sinx + cosx + sinxcosx，求 f（x）的最大值.

解：令 t = sinx + cosx = sin（x +），

則 t ∈[- ，]，

所以sinxcosx = ，

故原函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為 f（t）=t+ =（t +1）2-1，

t ∈[- ，].

當(dāng) t = ，即 x = +2kπ，k ∈ Z 時，f（x）max =f（t）max

=+

利用已知條件中的特定關(guān)系，把式子sinx+cosx用 t 表示，即可實現(xiàn)變量替換，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性就能求出最大值.

總之，在進行變換的過程中，要合理運用拆角與補角、升冪與降冪、換元的方法來將三角函數(shù)式中的角、冪、函數(shù)名稱進行變換，以使三角函數(shù)式中的角、冪、函數(shù)名稱統(tǒng)一，并化為最簡的形式.

（作者單位：江蘇省鹽城市大岡中學(xué)）