鄧清 韋宏 廖怡寧

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是一種通過(guò)熟練地掌握與運(yùn)用算理和算法，準(zhǔn)確地得出運(yùn)算結(jié)果的能力?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中明確指出，要重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)。“去括號(hào)”和“合并同類項(xiàng)”是人教版七年級(jí)上冊(cè)“整式”一章的兩個(gè)重要內(nèi)容，它是初中生代數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)的重要著力點(diǎn)。而在“去括號(hào)”和“合并同類項(xiàng)”的數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程中，學(xué)生總?cè)菀壮霈F(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤。戴再平認(rèn)為，學(xué)生解決問(wèn)題的易錯(cuò)源在于相關(guān)知識(shí)存儲(chǔ)不足或理解的偏差。因此，為了提高學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，夯實(shí)學(xué)生初中代數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，教師需從運(yùn)算的相關(guān)知識(shí)或理解出發(fā)，分析“去括號(hào)”和“合并同類項(xiàng)”錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因并找出錯(cuò)誤的根源，及時(shí)糾正運(yùn)算偏差。

“去括號(hào)”與“合并同類項(xiàng)”是七年級(jí)數(shù)學(xué)運(yùn)算的重要內(nèi)容，學(xué)生在進(jìn)行運(yùn)算操作時(shí)容易出現(xiàn)兩類問(wèn)題：“去括號(hào)”的漏乘和符號(hào)錯(cuò)誤、“合并同類項(xiàng)”中添括號(hào)的符號(hào)錯(cuò)誤。本文通過(guò)辯證認(rèn)識(shí)乘法分配律與“去括號(hào)”“合并同類項(xiàng)”之間“源”與“流”的關(guān)系，分析算理根源之下學(xué)生易錯(cuò)背后的認(rèn)知偏差，結(jié)合學(xué)生的情況提出從乘法分配律算理出發(fā)的整體處理問(wèn)題的策略，幫助學(xué)生形成和深化對(duì)“去括號(hào)”與“合并同類項(xiàng)”的正確認(rèn)知，避免易錯(cuò)、再錯(cuò)。

整式的化簡(jiǎn)是通過(guò)“去括號(hào)”和“合并同類項(xiàng)”來(lái)完成的，而“去括號(hào)”和“合并同類項(xiàng)”的實(shí)質(zhì)是乘法分配律在數(shù)式中的應(yīng)用。對(duì)于七年級(jí)學(xué)生而言，他們剛經(jīng)歷了數(shù)系的擴(kuò)充，引入了負(fù)數(shù)，同時(shí)將原有的運(yùn)算律在自然數(shù)集的應(yīng)用類比推廣到有理數(shù)集，這使得運(yùn)算過(guò)程中需要重新審視“-”號(hào)的意義，不再單純以小學(xué)的減號(hào)來(lái)認(rèn)識(shí)，而是強(qiáng)化對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)知。在學(xué)習(xí)整式時(shí)，學(xué)生初步接觸數(shù)系擴(kuò)展之后的用字母表示數(shù)，這使得學(xué)生從小學(xué)單獨(dú)的數(shù)、用字母表示正數(shù)的概念認(rèn)知進(jìn)行了拓展，進(jìn)一步豐富了學(xué)生數(shù)與代數(shù)的認(rèn)知圖示，學(xué)生的抽象思維得到了更高層次的發(fā)展。但無(wú)論是負(fù)數(shù)引入帶來(lái)的“-”號(hào)的兩重含義，還是整式引入字母表示數(shù)等數(shù)學(xué)符號(hào)的增加，都是圍繞本質(zhì)內(nèi)容而呈現(xiàn)的外在表象和形式。運(yùn)算中出現(xiàn)的眾多問(wèn)題往往是由于學(xué)生局限于復(fù)雜外在的表象形式中，混淆了本質(zhì)內(nèi)容，形成了錯(cuò)誤的理解。建構(gòu)主義理論強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者的主動(dòng)性，在接觸新知識(shí)之前，學(xué)生在以前的學(xué)習(xí)生活中就有了一定程度的認(rèn)識(shí)，因此學(xué)生在接納新知識(shí)時(shí)并不是被動(dòng)的，而是基于已有的水平和經(jīng)驗(yàn)，主動(dòng)選擇和加工信息，從而實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)的完全融合。而運(yùn)算錯(cuò)誤并不全是偶然，有些是存在規(guī)律的，這些有規(guī)律的錯(cuò)誤是因?yàn)閷W(xué)生在新舊知識(shí)融合中構(gòu)建了自己獨(dú)有的概念。在此認(rèn)知下，學(xué)生要掌握“去括號(hào)”和“合并同類項(xiàng)”的運(yùn)算，需要結(jié)合已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，即乘法分配律在自然數(shù)集和有理數(shù)集中的應(yīng)用，撥開表象的重重迷霧，從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)新知識(shí)，將易錯(cuò)背后的觀念化為正確認(rèn)知。

一、知其源、悟之流

（一）乘法分配律之“源”

小學(xué)第一學(xué)段的主要內(nèi)容是自然數(shù)四則運(yùn)算，而真正學(xué)習(xí)到基本運(yùn)算律內(nèi)容是在第二學(xué)段。其實(shí)，運(yùn)算律一直植根于自然數(shù)算法之中，在數(shù)的運(yùn)算中不知不覺就有所運(yùn)用。自然數(shù)集中的乘法分配律是從解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中建模、抽象，概括得到概念及字母形式表達(dá)。但是，除了從實(shí)際生活中進(jìn)行建模，學(xué)生若能從更高觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)乘法分配律的來(lái)源，認(rèn)知便能達(dá)到更高層次。乘法分配律之“源”與數(shù)的發(fā)展密不可分。數(shù)的發(fā)展歷來(lái)有兩種源源不竭的動(dòng)力：解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的需要（外在需要）和數(shù)系理論發(fā)展的需要（內(nèi)在需要），這兩種動(dòng)力推動(dòng)數(shù)的擴(kuò)充。但是，數(shù)的發(fā)展中有一個(gè)恒定點(diǎn)，即保持運(yùn)算律的有效性。也就是說(shuō)，乘法分配律在數(shù)集的擴(kuò)充中要保證有效性，這是“數(shù)與代數(shù)”的通性法則之一。在小學(xué)自然數(shù)集的乘法分配律中，滿足乘法對(duì)加法的分配律，而并不滿足乘法對(duì)減法的分配律，這是因?yàn)闇p法運(yùn)算在自然數(shù)集中并不封閉。在七年級(jí)有理數(shù)中引入了負(fù)數(shù)，小學(xué)的減法和加法都可統(tǒng)一為有理數(shù)運(yùn)算的加法。在引入新數(shù)、擴(kuò)充數(shù)系的情況下，需要賦予乘法分配律在新數(shù)集以新定義，即有理數(shù)的乘法分配律。顯然，有理數(shù)的乘法分配律本質(zhì)上是與自然數(shù)的乘法分配律一致的，這即為乘法分配律之“源”。

（二）知“源”而看“流”

對(duì)于“去括號(hào)”運(yùn)算，實(shí)質(zhì)上是根據(jù)乘法分配律順向展開。當(dāng)括號(hào)前為正數(shù)時(shí)，“去括號(hào)”的分配規(guī)則與自然數(shù)集中乘法分配律一致；當(dāng)括號(hào)前為負(fù)數(shù)時(shí)，則是將負(fù)數(shù)引入，變自然數(shù)集中的乘法運(yùn)算為有理數(shù)集的乘法運(yùn)算而形成的。比如，-9（a+b），此時(shí)由于有理數(shù)的乘法法則，這個(gè)式子經(jīng)由乘法分配律展開后即為-9a+（-9b）=-9a-9b，根據(jù)符號(hào)的變化，而概括歸納出“去括號(hào)”的規(guī)律，即為“去括號(hào)法則”。這是“去括號(hào)”于乘法分配律中的“流”。

1.錯(cuò)解分析

例1錯(cuò)解屬于“去括號(hào)”的漏乘，學(xué)生在對(duì)7（x+5）進(jìn)行去括號(hào)運(yùn)算時(shí)，只把7分配給了x，而沒有分配給5，由此得到了7x+5；例2錯(cuò)解屬于“去括號(hào)”的符號(hào)問(wèn)題，學(xué)生未能掌握去括號(hào)后各項(xiàng)符號(hào)的變化規(guī)律，表現(xiàn)為只換了第二項(xiàng)，或者只換了第一項(xiàng)；例3為“去括號(hào)”的漏乘和符號(hào)問(wèn)題的復(fù)合錯(cuò)解情況。

在化簡(jiǎn)整式的運(yùn)算操作時(shí)，需要從算理根源——乘法分配律出發(fā)，靈活、準(zhǔn)確地展開操作。對(duì)于學(xué)生的去括號(hào)運(yùn)算，常常出現(xiàn)漏乘及符號(hào)變化的“就近分配”：在“分配”的過(guò)程中，括號(hào)外的數(shù)通常只分配給首項(xiàng)，而其他項(xiàng)沒有；當(dāng)括號(hào)外的數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，常常只對(duì)除首項(xiàng)之外的項(xiàng)分配而變號(hào)，或是對(duì)括號(hào)內(nèi)含“-”號(hào)的項(xiàng)改變符號(hào)。究其原因是學(xué)生在算術(shù)過(guò)渡到代數(shù)時(shí)對(duì)乘法分配律理解不夠透徹，認(rèn)知之中的分配并不是數(shù)與符號(hào)都乘以各項(xiàng)。從源頭來(lái)看，括號(hào)外的數(shù)與符號(hào)對(duì)括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的分配實(shí)質(zhì)上是統(tǒng)一的，都能歸結(jié)于乘法分配律。在引入負(fù)數(shù)之后，減法統(tǒng)一為有理數(shù)的加法，每一個(gè)多項(xiàng)式項(xiàng)與項(xiàng)之間是“+”的關(guān)系，而“-”號(hào)是這一項(xiàng)的負(fù)數(shù)屬性，與它自身相連。而在平時(shí)“去括號(hào)”的教學(xué)中，稍不注意，容易直接輸出給學(xué)生空洞的“去括號(hào)法則”的概念。學(xué)生的認(rèn)知并沒有建立起新舊知識(shí)之間的良好聯(lián)系，使得理解產(chǎn)生偏差，在操作中總是不能正確分配。

2.解決策略

（1）疏通根源，強(qiáng)化負(fù)數(shù)的整體認(rèn)知

根據(jù)建構(gòu)主義，學(xué)生是從已有經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)知出發(fā)，對(duì)新知識(shí)同化而構(gòu)建新的認(rèn)知。為了給予學(xué)生更好地過(guò)渡，糾正學(xué)生的錯(cuò)誤理解，不妨從算理本質(zhì)引導(dǎo)和幫助學(xué)生深化對(duì)“去括號(hào)法則”的理解，整體看待符號(hào)與數(shù)，將其整體分配至每一項(xiàng)，在有理數(shù)的乘法運(yùn)算下，得到正確的答案，矯正學(xué)生易錯(cuò)。由此，可得：

此時(shí)，符號(hào)的規(guī)律化為乘法分配律與有理數(shù)的負(fù)數(shù)乘法規(guī)則的結(jié)果，學(xué)生將晦澀生硬的“去括號(hào)法則”與已有的認(rèn)知構(gòu)建起了關(guān)聯(lián)，形成正確的理解。從理論源頭上充分認(rèn)識(shí)“去括號(hào)”的操作依據(jù)，在深層次的理論認(rèn)知基礎(chǔ)上，使得運(yùn)算操作落地有根，運(yùn)行有依，施展有方，有助于學(xué)生糾正易錯(cuò)之下的理解偏差，達(dá)到對(duì)知識(shí)的通化理解。

（2）依據(jù)原理，分步落實(shí)

由此，依據(jù)乘法分配律形成“去括號(hào)”具體可行的操作步驟，引導(dǎo)學(xué)生依步驟操作，規(guī)范“去括號(hào)”的運(yùn)算，此時(shí)，有助于基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生進(jìn)行具體運(yùn)算的操作和展開，形成嚴(yán)謹(jǐn)周密的思維。在操作練習(xí)之中，逐漸體會(huì)和領(lǐng)悟運(yùn)算的原理，當(dāng)易錯(cuò)背后的認(rèn)知突破和矯正之后，達(dá)到對(duì)運(yùn)算本質(zhì)的理解，便可靈活進(jìn)行“去括號(hào)”運(yùn)算。

1.錯(cuò)解分析

例4錯(cuò)解屬于“合并同類項(xiàng)”中逆用乘法分配律進(jìn)行添括號(hào)時(shí)的符號(hào)問(wèn)題。當(dāng)添括號(hào)之前為（-1）時(shí)，按照添括號(hào)法則（去括號(hào)法則的逆用）可知，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要變號(hào)。但是學(xué)生往往也會(huì)因?yàn)橹痪徒淖兪醉?xiàng)，沒有改變其他項(xiàng)而產(chǎn)生去括號(hào)的錯(cuò)解。在平常教學(xué)中，教師易于單一地將此易錯(cuò)歸因于學(xué)生記憶不深刻、粗心等，而并未究其更深層次的原因：學(xué)生對(duì)新知的理解并未在頭腦中與舊知形成較好連結(jié)，對(duì)添括號(hào)運(yùn)算本質(zhì)的理解是模糊的。要幫助學(xué)生有效矯正對(duì)“合并同類項(xiàng)”易錯(cuò)背后的理解偏差，首先要從乘法分配律出發(fā)，知道“合并同類項(xiàng)”的法理來(lái)源，從而判斷產(chǎn)生數(shù)學(xué)錯(cuò)誤的現(xiàn)實(shí)背景；其次要根據(jù)法理來(lái)源尋找更能貼切學(xué)生認(rèn)知的解題思路，幫助學(xué)生一步步理解法理依據(jù)，從而進(jìn)一步強(qiáng)化正確概念。

2.解決策略：分析算理，厘清根源，合并運(yùn)算

對(duì)于這道例題，學(xué)生在添括號(hào)時(shí)沒有對(duì)符號(hào)作相應(yīng)的變化，這說(shuō)明在學(xué)生的理解中每一項(xiàng)并不包括“-”“+”，即沒有把符號(hào)、數(shù)字、字母整體看待。對(duì)此，不妨通過(guò)整體看待每一項(xiàng)來(lái)輔助學(xué)生對(duì)“合并同類項(xiàng)”的乘法分配律逆用的理解。

策略具體引導(dǎo)步驟：1.合并時(shí)添括號(hào)，括號(hào)與括號(hào)之間以加號(hào)連接；2.將同類項(xiàng)置于同一括號(hào)內(nèi)；3.進(jìn)行合并。注意：多項(xiàng)式的每一項(xiàng)已經(jīng)包括符號(hào)，故移動(dòng)時(shí)需視之為整體，整體進(jìn)行加法交換律依據(jù)下的移動(dòng)。

其實(shí)，“合并同類項(xiàng)”與“去括號(hào)”兩點(diǎn)易錯(cuò)，實(shí)質(zhì)上都是乘法分配律的原因，悟其一，則通其二，兩者的易錯(cuò)根源都應(yīng)從乘法分配律的來(lái)源分析和探求解決的策略，首先分步拆出可操作性的步驟，從理論和實(shí)踐方面給予學(xué)生充分的認(rèn)知梳理。其次，為學(xué)生提供充分的運(yùn)算實(shí)踐的機(jī)會(huì)，在運(yùn)算之中逐漸強(qiáng)化運(yùn)算的步驟，體會(huì)“去括號(hào)”“合并同類項(xiàng)”的運(yùn)算法理，逐漸糾正學(xué)生對(duì)易錯(cuò)的思維認(rèn)知，提高學(xué)生運(yùn)算的縝密性和養(yǎng)成依據(jù)原理和步驟自我監(jiān)控運(yùn)算過(guò)程的學(xué)習(xí)習(xí)慣。由此，在每一次的運(yùn)算操作學(xué)習(xí)以及練習(xí)中，逐步滲透給學(xué)生數(shù)學(xué)的法理和邏輯步驟規(guī)范性要求，將提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的目標(biāo)分解細(xì)化，緩步趨近。

總而言之，“去括號(hào)”與“合并同類項(xiàng)”運(yùn)算的易錯(cuò)點(diǎn)需從“源流”即乘法分配律來(lái)分析，構(gòu)建對(duì)整式加減運(yùn)算算理本質(zhì)的總體認(rèn)知，從算理根源即乘法分配律出發(fā)整體處理運(yùn)算以矯正易錯(cuò)。在教學(xué)中，講解整式運(yùn)算問(wèn)題的原理時(shí)，既要有一定的理論高度，又要通俗易懂，用學(xué)生能接受的語(yǔ)言、操作策略讓學(xué)生明白復(fù)雜的法理依據(jù)。而在解題實(shí)踐之中，需提煉出錯(cuò)解背后深層次的原因，從“源流”予以分析、探尋對(duì)策，深化學(xué)生的理解，形成正確認(rèn)知，避免易錯(cuò)、再錯(cuò)。